Pertemuan 8 Transformasi Linier 4.2 bilqis.

Presentasi berjudul: "Pertemuan 8 Transformasi Linier 4.2 bilqis."— Transcript presentasi:

1 Pertemuan 8 Transformasi Linier 4.2 bilqis

2 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat mengetahui matriks-matriks yang digunakan untuk transformasi linier Dapat mengetahui aplikasi transformasi linier bilqis

3 Pemetaan (mapping) dari himpunan A ke himpunan B
Fungsi: Pemetaan (mapping) dari himpunan A ke himpunan B f A B b a Notasi f : A  B Himpunan A disebut DOMAIN(f) Himpunan B disebut CODOMAIN(f) Tiap elemen A dipasangkan dengan (associated with) satu elemen B Himpunan semua elemen b yang punya pasangan di A disebut RANGE(f) Notasi f(a) = b, b disebut bayangan (image) dari a bilqis

4 f : Rn  Rm disebut transformasi dan ditulis T : Rn  Rm
T adalah transformasi linier jika T(u + v) = T(u) + T(v) penjumlahan dua vektor T(cu) = cT(u) perkalian skalar dengan vektor Catatan: u, v vektor-vektor di Ruang-n c adalah skalar T(u + v), T(u), T(v), T(cu), cT(u) vektor-vektor di Ruang-m bilqis

5 T(u + v) = T(u) + T(v) penambahan vektor
T : Rn  Rm T adalah transformasi linier jika T(u + v) = T(u) + T(v) penambahan vektor T(cu) = cT(u) perkalian skalar dengan vektor Catatan: u, v vektor-vektor di Ruang-n, c adalah skalar T(u + v), T(u), T(v), T(cu), cT(u) vektor-vektor di Ruang-m T Rn Rm T(u) T(v) T(u+v) T(cu) u v u+v cu bilqis

6 Ex 1 hal 182 bilqis

7 bilqis

8 bilqis

9 bilqis

10 bilqis

11 bilqis

12 bilqis

13 bilqis

14 Transformasi T dapat “digantikan” oleh perkalian matrix
T : Rn  Rm Transformasi T dapat “digantikan” oleh perkalian matrix (matrix A berukuran m x n) (x1, x2, x3, …, xn)  (w1, w2, …, wm) jika x = (x1, x2, x2, …, xn)T dan w = (w1, w2, …, wm)T maka transformasi dapat “digantikan” dengan persamaan: Ax = w di mana A disebut matriks standar untuk transformasi linier T bilqis

15 Bilqis 5.10 bilqis

16 bilqis

17 Ex 2 hal 183 bilqis

18 Pencerminan operator ilustrasi pencerminan terhadap sumbu-x (x, y)
(w1, w2) persamaan matriks standar w1 = x = 1x + 0y w2 = – y = 0x + (–1)y – 1 bilqis

19 Pencerminan operator ilustrasi pencerminan terhadap garis y = x
(w1, w2) (x, y) persamaan matriks standar w1 = y = 0x + 1y w2 = x = 1x + 0y bilqis

20 Pencerminan operator ilustrasi pencerminan terhadap bidang xy z
persamaan matriks standar w1 = x = 1x + 0y + 0z w2 = y = 0x + 1y + 0z w3 = –z = 0x + 0y + (–1)z –1 bilqis

21 Pencerminan operator ilustrasi pencerminan terhadap bidang xz z
(x, –y, z) (x, y, z) y x persamaan matriks standar w1 = x = 1x + 0y + 0z w2 = y = 0x + (–1)y + 0z –1 0 w3 = –z = 0x + 0y + 1z bilqis

22 Pencerminan operator ilustrasi pencerminan terhadap bidang yz z
(– x, y, z) (x, y, z) y x persamaan matriks standar w1 = x = –1x + 0y + 0z – w2 = y = 0x + 1y + 0z w3 = –z = 0x + 0y + 1z bilqis

23 Proyeksi Ortogonal operator ilustrasi (x, y) (w1, w2) = (x, 0)
pada sumbu-x (x, y) (w1, w2) = (x, 0) persamaan matriks standar w1 = x = 1x + 0y w2 = 0 = 0x + 0y bilqis

24 Proyeksi Ortogonal operator ilustrasi (w1, w2) = (0, y) (x, y)
pada sumbu-y (w1, w2) = (0, y) (x, y) persamaan matriks standar w1 = 0 = 0x + 0y w2 = y = 0x + 1y bilqis

25 Proyeksi Ortogonal operator ilustrasi proyeksi ortogonal
pada bidang xy z (x, y, z) y (x, y, 0) x persamaan matriks standar w1 = x = 1x + 0y + 0z w2 = y = 0x + 1y + 0z w3 = –z = 0x + 0y + 0z bilqis

26 Proyeksi Ortogonal operator ilustrasi proyeksi ortogonal z
pada bidang xz z (x, y, z) (x, 0, z) y x persamaan matriks standar w1 = x = 1x + 0y + 0z w2 = y = 0x + 0y + 0z w3 = –z = 0x + 0y + 1z bilqis

27 Proyeksi Ortogonal operator ilustrasi proyeksi ortogonal
pada bidang yz z (0, y, z) (x, y, z) y x persamaan matriks standar w1 = x = 0x + 0y + 0z w2 = y = 0x + 1y + 0z w3 = –z = 0x + 0y + 1z bilqis

28 Rotasi operator ilustrasi (w1, w2) (x, y) persamaan matriks standar
rotasi dengan sudut rotasi Ө (w1, w2) Ө (x, y) persamaan matriks standar w1 = x cos Ө – y sin Ө x cos Ө – y sin Ө w2 = x sin Ө + y cos Ө x sin Ө y cos Ө bilqis

29 Rotasi operator ilustrasi rotasi melawan arah jarum jam dengan
sumbu rotasi z positif dan sudut rotasi  z y (w1, w2, w3) (x, y, z) x persamaan matriks standar w1 = (cos ) x + (–sin ) y + 0z cos  –sin  w2 = (sin ) x + (cos ) y + 0z sin  cos  w3 = 0x y z bilqis

30 Rotasi operator ilustrasi rotasi melawan arah jarum jam dengan
sumbu rotasi z positif dan sudut rotasi  z (x, y, z)  y (w1, w2, w3) x persamaan matriks standar w1 = (cos ) x + (–sin ) y + 0z cos  sin  w2 = (sin ) x + (cos ) y + 0z w3 = 0x y z –sin  cos  bilqis

31 Rotasi operator ilustrasi rotasi melawan arah jarum jam dengan
sumbu rotasi z positif dan sudut rotasi  z (x, y, z) (w1, w2, w3)  y x persamaan matriks standar w1 = (cos ) x + (–sin ) y + 0z cos  –sin  w2 = (sin ) x + (cos ) y + 0z sin  cos  w3 = 0x y z bilqis

32 Kontraksi operator ilustrasi Kontraksi ( penyusutan)
dengan faktor 0  k  1 z (x, y, z) (w1, w2, w3) y x persamaan matriks standar w1 = kx + 0y + 0z k w2 = 0x + ky + 0z k w3 = 0x + 0y + kz k bilqis

33 Dilasi operator ilustrasi Dilasi (pemuaian/perbesaran)
dengan faktor k > 1 z (w1, w2, w3) (x, y, z) y x persamaan matriks standar w1 = kx + 0y + 0z k w2 = 0x + ky + 0z k w3 = 0x + 0y + kz k bilqis

34 bilqis

35 bilqis

36 bilqis

37 Komposisi dua transformasi:
u v w T1 T2 T2 ° T1 v = T1(u) w = T2(v) = T2(T1(u)) = ( T2 ° T1 ) (u) bilqis

38 Komposisi dua transformasi:
u v w T1 T2 T2 ° T1 Matriks standar untuk T1 = A1 Matriks standar untuk T2 = A2 Matriks standar untuk T2 ° T1 = (A2)(A1) bilqis

39 Komposisi dua / lebih transformasi: Tr ° T r-1 ° ……..T2 ° T1
Contoh: u = (–3, 4) T1 refleksi terhadap sumbu-y A1 = -1 0 0 1 T2 proyeksi ortogonal pada sumbu-x A2 = 1 0 0 0 Hasilnya : (3, 0) ? (cek dengan menghitung dan menggambar) bilqis

40 Komposisi dua / lebih transformasi:
Contoh: u = –3 4 T1 refleksi terhadap sumbu-y A1 = A1u = v = 3 T2 proyeksi ortogonal pada sumbu-x A2 = A2 v = w = 3 A2  A1 = – (A2  A1 ) u = 3 bilqis

41 bilqis

42 Ex 7 hal 193 bilqis

43 Ex 8 hal 194 bilqis

44 Ex. 5 hal 202 bilqis

45 PR 4.2 2,a 2.D 3 4.D 6.D 7.B 8.B 9.C 12.B 13.b bilqis