Sistem Persamaan Diferensial

Presentasi berjudul: "Sistem Persamaan Diferensial"— Transcript presentasi:

1 Sistem Persamaan Diferensial
Sistem PD

2 Sistem Order Pertama (Linier)
Bentuk: Dikatakan sebagai sistem persamaan diferensial orde pertama Jika f1, f2, …, fn = 0, maka dikatakan sistem homogen, sebaliknya sistem nonhomogen Sistem PD

3 Metode Eliminasi Metode eliminasi untuk sistem PD linier, similar dengan metode eliminasi pada sistem persamaan linier, yaitu dengan mengeliminasi sehingga menyisakan sebuah variabel Sistem PD

4 Metode Eliminasi Contoh: Selesaikan sistem PD linier berikut: lanjut

5 Metode Eliminasi lanjut Solusi: PD Linier Homogen Orde dua Sistem PD

6 Soal Latihan: Tentukan solusi dari sistem PD berikut: . lanjut

7 Operator Linier Sebuah operator diferensial linier orde n dengn koefisien konstan dinyatakan sebagai: Dengan D menyatakan diferensiasi dengan variabel bebas t Sistem PD

8 Operator Linier lanjut Jika L1 dan L2 dua buah operator linier maka berlaku sifat: L1L2[x] = L2L1[x] Mis: Sistem PD

9 Operator Linier lanjut Akan diperoleh: atau: Sistem PD

10 Operator Linier Contoh: Selesaikan sistem PD linier berikut: lanjut

11 Operator Linier lanjut Solusi: PD Linier Homogen Orde dua Sistem PD

12 Soal Latihan: Tentukan solusi dari sistem PD berikut: . lanjut

13 Metode Eigenvalue Pandang:
Misal x1 , x2 , …, xn solusi dari sistem PD maka: x(t) = c1x1 (t)+c2 x2 (t)+ …+cn xn(t) Adalah solusi dari sistem PD tersebut Sistem PD

14 Metode Eigenvalue Solusi x dapat ditulis dalam bentuk matriks:
lanjut Solusi x dapat ditulis dalam bentuk matriks: Dimana λ, v1, v2, …, vn adalah konstanta skalar Sistem PD

15 Metode Eigenvalue lanjut Untuk mendapatkan solusi tersebut pandang bentuk persamaan sistem PD awal sebagai sebuah bentuk matriks: Dimana A = [aij] Sistem PD

16 Contoh lanjut Selesaikan sistem PD berikut: Jawab: Sistem PD

17 Contoh Sebuah sistem yang terdiri dari dua buah pegas dan dua buah benda dan diberikan sebuah gaya eksternal f(t) pada benda m2. x(t) menyatakan pergerakan benda m1 dari posisi diam (f(t) = 0) dan y(t) menyatakan pergerakan benda m2 dari posisi diam Sistem PD

18 Pegas pertama meregang sejauh x unit sedangkan pegas kedua meregang sejauh y – x unit
Maka berdasarkan Newton law of motion diperoleh sistem sebagai berikut: Sistem PD

19 Dari Contoh Kasus sebelumnya, Misalkan: Maka:
m1 = 2, m2 = 1, k1 = 4, k2 = 2 dan f(t) = 40 sin 3t Maka: Atau: Yang merupakan sistem persamaan diferensial orde dua Sistem PD

20 Penyelesaian metode eliminasi: Definisikan: Sehingga:
x1 = x, x2 = x’ = x’1, y1 = y, y2 = y’ =y’1 Sehingga: Yang merupakan sistem PD dengan empat variabel tak bebas Sistem PD

21 Penyelesaian dengan metode operator linier:
Misalkan tidak terdapat gaya eksternal pada kedua pegas tersebut, maka tuliskan sistem PD sebelumnya sebagai: Atau: Sistem PD

22 Sehingga: Maka: Sistem PD

23 Akar karakteristik: Maka akar-akarnya: Solusi umumnya:
i, -i, 2i dan -2i Solusi umumnya: Sistem PD

24 Penyelesaian dengan metode eigenvalue:
Pandang sistem sebagai sebuah bentuk persamaan matriks Dimana: Sistem PD

25 Berdasarkan problem sebelumnya: Persamaan matriks
m1 = 2, m2 = 1, k1 = 100, k2 = 50 dan f(t) = 0 Persamaan matriks Sistem PD

26 Jadi: Eigenvalue 1 = -25 2 = -100 Sistem PD