Ukuran Penyimpangan (Dispersi)

Presentasi berjudul: "Ukuran Penyimpangan (Dispersi)"— Transcript presentasi:

1 Ukuran Penyimpangan (Dispersi)
Ukuran Variabilitas Ukuran Penyimpangan (Dispersi)

2 Ukuran Penyimpangan Dispersi = Variasi data = Keragaman data Definisi
Dispersi adalah data yang menggambarkan bagaimana suatu kelompok data menyebar terhadap pusatnya data atau ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data

3 Macam Ukuran Penyebaran
Range Perbedaan antara data terbesar dengan data terkecil yang terdapat pada sekelompok data. Deviasi Rata-rata/Rata-rata Simpangan Rata-rata penyimpangan data-data dari rata- ratanya, yaitu selisih antara tiap data dengan rata- rata Nilai Mutlak. Deviasi Standar/Simpangan Baku Standar penyimpangan data dari rata-ratanya.

4 Deviasi Rata-Rata/ Rata-Rata Simpangan
Data yang Tidak Dikelompokkan SR = rata-rata simpangan n = banyaknya data pengamatan = rata-rata Xi = frekuensi data ke-i

5 Contoh Data Tidak Dikelompokkan
Diketahui data 30, 40, 50, 60, 70, maka tentukan simpangan rata-ratanya!

6 Deviasi Rata-Rata/ Rata-Rata Simpangan
Data yang Dikelompokkan SR = simpangan rata-rata f = banyaknya frekuensi data rata-rata Xi = frekuensi data ke-i

7 Contoh Data Dikelompokkan
Interval Kelas X f fiXi 0 – 29 30 – 59 60 – 89 90 – 119 120 – 149 14,5 44,5 74,5 104,5 134,5 164,5 3 9 15 20 7 6 43,5 400,5 1117,5 2090,0 941,5 987,0 78,5 48,5 18,5 11,5 41,5 71,5 235,5 436,5 277,5 230,0 290,5 429,0 Σ = 60 5580,0 Σ = 1899,0 Mean (X) = 5580/60 = 93 Deviasi Rata-Rata = 1899/60 = 31,65

8 VARIANS Definisi Varians adalah ukuran keragaman yang melibatkan seluruh data. Varians merupakan rata-rata kuadrat selisih dari semua nilai data terhadap nilai rata-rata hitung. Varians didasarkan pada perbedaan antara nilai tiap observasi (Xi) dan rata-rata ( untuk sampel dan  untuk populasi)

9 VARIANS – DATA TUNGGAL Rumus (sampel) S2 = varians sampel
Xi = data ke-i = rata-rata sampel n = banyaknya sampel Rumus (populasi) σ2 = varians populasi μ = rata-rata populasi N = banyaknya populasi

10 VARIANS – DATA BERKELOMPOK
Rumus (sampel) S2 = varians sampel Xi = nilai tengah kelas ke-i fi = frekuensi kelas ke-i = rata-rata sampel Rumus (populasi) σ2 = varians populasi μ = rata-rata populasi

11 Simpangan Baku – Data Tunggal
Definisi Simpangan baku adalah akar kuadrat positif dari varians. Simpangan baku diukur pada satuan data yang sama, sehingga mudah untuk diperbandingkan. Simpangan baku paling banyak digunakan karena mempunyai sifat-sifat matematis yang sangat penting dan berguna untuk pembahasan teori dan analisis.

12 Simpangan Baku – Data Tunggal
Lambang Simpangan baku dapat ditulis “ S “ Nama Lain Standar Deviasi, dapat ditulis “ SD “ Kelompok data yang heterogen mempunyai simpangan baku yang besar. Simpangan baku populasi (σ) sering dipakai.

13 Simpangan Baku – Data Tunggal
Rumus (sampel)  S = simpangan baku sampel Xi= data ke-i = rata-rata sampel n = banyaknya sampel

14 Simpangan Baku – Data Tunggal
Rumus (populasi) σ = simpangan baku populasi Xi = data ke-i μ = rata-rata populasi N = banyaknya populasi

15 Simpangan Baku – Data Tunggal
Contoh Diketahui data upah bulanan karyawan suatu perusahaan (dalam ribuan rupiah). Hitunglah simpangan baku dari data tersebut. Xi Xi2 X1 30 900 X2 40 1600 X3 50 2500 X4 60 3600 X5 70 4900 5 250 13500

16 Simpangan Baku – Data Tunggal
Jawaban Jadi simpangan baku dari data tersebut adalah 14,14 (Rp14.140,00)

17 Simpangan Baku – Data Berkelompok
Rumus simpangan baku populasi (umum) σ = simpangan baku populasi Xi = nilai tengah dari kelas ke-i, i = 1, 2, …, k μ = rata-rata populasi N = banyaknya populasi

18 Simpangan Baku – Data Berkelompok
Rumus (sampel) S = simpangan baku sampel Xi= nilai tengah kelas ke-i fi = frekuensi kelas ke-i = rata-rata sampel

19 Rumus Deviasi Standar dapat ditulis sbb:
Untuk Populasi 𝜎= 𝑖=1 𝑘 𝑓𝑖 𝑖=1 𝑘 ( 𝑓 𝑖 𝑋𝑖 2 ) − 𝑖=1 𝑘 ( 𝑓 𝑖 𝑋𝑖) 2 𝑖=1 𝑘 𝑓𝑖 2 Untuk Sampel 𝑠= 𝑖=1 𝑘 𝑓𝑖 𝑖=1 𝑘 ( 𝑓 𝑖 𝑋𝑖 2 ) − 𝑖=1 𝑘 ( 𝑓 𝑖 𝑋𝑖) 2 ( 𝑖=1 𝑘 𝑓𝑖 )( 𝑖=1 𝑘 𝑓𝑖 −1)

20 Contoh Interval Fi Xi 𝐗𝐢 𝟐 Fi 𝐗𝐢 𝟐 Fi Xi 0 – 29 30 – 59 60 – 89
0 – 29 30 – 59 60 – 89 90 – 119 120 – 149 3 9 15 20 7 6 14,5 44,5 74,5 104,5 134,5 164,5 210,25 1980,25 5550,25 10920,25 18090,25 27060,25 630,75 17822,25 83253,75 218405,00 126631,75 162361,50 43,50 400,50 1117,50 2090,00 941,50987,00 60 63811,50 609105,00 5580,0 𝜎= − = − = 1502,75 =38,765

21 Skor Standar Merupakan angka yang menunjukkan perbedaan antara besar suatu hal (variabel) dengan rata-ratanya yang dinyatakan dalam satuan deviasi standar. Semakin besar angka standar maka semakin tinggi kenaikan dibandingkan kebiasaan. Semakin kecil angka standar maka semakin rendah kenaikan dibandingkan kebiasaan.

22 Rumus Skor Standar Untuk Populasi 𝑍 𝑖 = 𝑋 𝑖 −𝜇 𝜎 Untuk Sampel 𝑧 𝑖 = 𝑋 𝑖 − 𝑋 𝑠

23 Contoh Skor Standar Diketahui data 2, 8, 10, 4, 1 Maka: 𝜇= 25 5 =5 𝜎 = (2−5) 2 + (8−5) 2 + (10−5) 2 + (4−5) 2 + (1−5) 2 5 =3,46

24 Lanjutan 𝑍1= 2−5 3,46 =−0.87 𝑍2= 8−5 3,46 =0.87 𝑍3= 10−5 3,46 =1,45 𝑍4= 4−5 3,46 =−0.29 𝑍5= 1−5 3,46 =−1,16

25 Koefisien Variasi Yaitu presentase deviasi standar terhadap nilai rata-rata dari sekumpulan data. Semakin kecil koefisien variasi berarti semakin seragam data tersebut. Semakin besar koefisien variasi berarti semakin data tersebut tidak seragam. Jika kelompok data lebih besar dibandingkan kelompok data yang lainnya, maka data kelompok tersebut lebih bervariasi atau lebih heterogen.

26 Rumus Koefisien Variasi
Untuk Populasi 𝐾𝑉= 𝜎 𝜇 𝑥100% Untuk Sampel 𝐾𝑉= 𝑠 𝑋 𝑥100%

27 Contoh Menurut hasil sensus, pendapatan rata-rata per bulan penduduk Malaysia adalah RM 5,000 dengan simpangan baku RM 1,500. Sedangkan hasil sensus di Indonesia, pendapatan rata-rata per bulan adalah Rp dengan simpangan baku Rp Dari pendapatan rata-rata kedua negara tersebut, negara manakah yang lebih merata pendapatannya?

28 Penyelesaian Untuk Malaysia 𝐾𝑉= 𝑥100%=30% Untuk Indonesia 𝐾𝑉= 𝑥100%=32% Jadi, penduduk yang lebih merata pendapatannya adalah Malaysia karena koefisien variasinya lebih kecil daripada Indonesia yaitu sebesar 30%