9.1 Nilai Optimum dan Nilai Ekstrem

Presentasi berjudul: "9.1 Nilai Optimum dan Nilai Ekstrem"— Transcript presentasi:

1 9.1 Nilai Optimum dan Nilai Ekstrem
Bab 9 9.1 Nilai Optimum dan Nilai Ekstrem Dalam ilmu ekonomi kita mengenal tentang maksiminasi dan minimasi dengan istilah umum optimasi, yang berarti “mencari yang terbaik” . Akan tetapi hal ini berbanding terbalik karena istilah tersebut tidak memiliki kaitannya dengan matematika murni. Oleh karena itu, istilah kolektif untuk maksimum dan minimum sebagai konsep matematik ialah nilai ekstremum, yang berarti nilai ekstrem 9.2 Maksimum dan Minimum Relatif : Uji Derivatif-Pertama Ekstrem Relativ Vs Absolut Maksimum absolut pasti merupakan maksimum relatif atau salah satu titik akhir fungsi . Jadi, bila kita mengetahui semua maksimum relatif, maka kita hanya perlu memilih yang terbesar dan membandingkannya dengan titik akhir guna menentukan maksimum absolut

2 Uji Derivatif-Pertama
.Selanjutnya, nilai-nilai ekstrem yang dipertimbangkan akan merupakan ekstrem relatif atau ekstrem lokal, kecuali bila ditentukan lain. Uji Derivatif-Pertama Derivatif pertama adalah turunan pertama suatu fungsi. Misal fungsi y=f(x), maka f’(x) digunakan dalam mencari nilai ekstrem. Uji derivatif pertama untuk ekstrem relatif. Jika derivatif pertama pada fungsi f(x) pada x=x0 adalah f’(x0) = 0, maka nilai fungsi x0,f’(x0) merupakan Maksimum relatif jika f’(x) berubah tanda dari positif ke negatif dari sebelah kiri titik x0 ke sebelah kanannya Minimum relatif jika f’(x) berubah tanda dari negatif ke positif dari sebelah kiri titik x0 ke sebelah kanannya Tidak maksimum maupun minimum relatif bila f’(x) mempunyai tanda yang sama baik sebelah kiri maupun sebelah kanan titik x0

3 Contoh derivatif pertama sampai kelima suatu fungsi:
9.3 Derivatif Kedua dan Derivatif yang Lebih Tinggi Contoh derivatif pertama sampai kelima suatu fungsi: Contoh derivatif pertama sampai keempat suatu fungsi rasional:

4 9.4 Uji Derivatif Kedua a) x = x0 merupakan titik relatif maksimum jika f "( x ) < 0 b) x = x0 merupakan titik relatif minimum jika f "( x ) > 0 c) x = x0 tidak dapat disimpulkan secara pasti atau uji derivatif kedua gagal jika f "( x ) = 0 Cara menguji kecekungan adalah sbb : a) Jika f "( x ) < 0 maka fungsi cekung ke bawah (concave) b) Jika f "( x ) > 0 maka fungsi cekung ke atas (convex) Titik belok (inflection point) adalah suatu titik dimana kecekungan berubah. Cara mencari titik belok adalah mencari solusi dari f "( x ) = 0

5 9.5 Deret Maclaurin Tabel kondisi relative ekstremum : y = f ( x )
Deret MacLaurin adalah sebuah fungsi yang dapat dinyatakan dalam bentuk deret polinomial

6 Tapi tidak semua fungsi bisa dinyatakan dalam bentuk tersebut, contohnya Untuk itu, Taylor membuat deret yang lebih umum,Deret taylor merupakan derivatif dari Deret Maclaurin. Dapat ditulis dengan Teorema Taylor dapat ditulis : Rn = F (n+1)(C) (X-X0 )n+1 (n+1)! Untuk suatu c diantara x dan x0 . Formula Rn disebut bentuk Lagrange (atau bentuk derivatif) dari sisa

7 11.1 Versi Diferensial dari Syarat Optimisasi
Syarat Orde Pertama : Jika diketahui fungsi z=f(x), kita dapat menulis diferensial dz= f’(x) dx Kondisi derivatif orde pertama “f’(x) = 0” dapat diubah dalam kondisi diferensial orde pertama ; “dz = 0 untuk sembarang nilai dx yang tidak nol”. Syarat Orde Kedua : Syarat cukup orde kedua untuk titik ekstrem z adalah, dalam istilah derivatif, f”(x) < 0 (untuk suatu maksimum) dan f”(x) > 0 (untuk suatu minimum) pada titik stasioner. d2x d(dz) = d[f’(x) dx] = [df’(x)] dx =[f”(x) dx] dx = f”(x) dx2

8 dx ≠ 0 Syarat Diferensial versus Syarat Derivatif
Dapat diterjemahkan masing – masing, menjadi untuk sembarang nilai. Syarat Diferensial versus Syarat Derivatif Secara lebih spesifik, syarat orde nilai pertama(nilai dz yang sama dengan nol) dan syarat orde kedua (untuk d2x negatif atau positif) dapat digunakan dengan validitas yang sama untuk semua kasus yang diberikan dengan umgkapan “untuk sembarang nilai dx yang tidak sama dengan nol” yang harus dimodifikasi untuk menggambarkan perubahan jumah variabel pilihan. dx ≠ 0

9 11.2 Nilai Ekstrem fungsi dua variabel
Syarat Orde 1 Suatu fungsi 2 peubah memiliki nilai maksimum relatif pd titik (xo, yo) jika terdapat lingkaran berpusat di (xo, yo) s.d.h utk setiap (x, y) di dlm lingkaran dan f memiliki nilai maksimum mutlak di (xo, yo) bila utk semua titik (x, y) di domain f Jika f memiliki nilai ekstrim relatif pada titik (xo, yo) dan bila turunan parsialnya ada pada titik tsb maka fx (xo , yo ) = 0 dan f y (xo , yo ) = 0

10 Syarat Orde 2 Misal f fungsi 2 peubah dg turunan parsial orde 2 kontinu dalam beberapa lingkaran pada titik kritis (xo, yo) dan misalkan D = f xx (xo , yo ) f yy (xo , yo )− f xy 2 (xo , yo ) a. Jika D > 0 dan f xx (xo , yo ) > 0 , maka f punya minimum relative b. Jika D > 0 dan f xx (xo , yo ) < 0 ,maka f punya maksimum relatif c. If D < 0 , maka f memiliki titik pelana (a saddle point) d. If D = 0 , maka tdk ada kesimpulan yg dpt digambarkan

11 11.3 Bentuk Kuadrat – Suatu Ekskursi
Setiap suku mempunyai derajat yang sama- yaitu, dimana jumlah eksponen dalam setiap suku sama, plinom ini disebut sebagi suatu bentuk (form). Misal : 4x – 9y + z adalah bentuk linear dalam tiga varibel 4x2 – xy + 3y2 adalah bentuk kuadrat dalam 2 variabel Kita juga akan menjupai kuadrat dalam tiga variabel seperti x2 + 2xy – yw + 7w2, atau juga dalam n variabel Diferensial Total Orde Kedua sebagai Suatu Bentuk Kuadrat Q = au2 + 2huv + bv2 dx = u dy = v Variabel

12 11.4 Fungsi Tujuan dengan Lebih dari Dua Variabel
Syarat Orde Pertama untuk Titik Ekstrem Pembahasan sebelumnya menyatakan bahwa, untuk memperoleh suatu maximum atau minimum dari z diperlukan dz = 0 untuk sembarang nilai dx1, dx2, dan dx3 tidak nol. Karena nilai dz sekarang dz= f1 dx1 + f2 dx2 + f3 dx3 , f1 = f2 = f3 = 0 Jadi, syarat perlu untuk titik ekstrem adalah, bahwa semua derivative parsial orde pertama adalah nol, sama seperti untuk kasus dua variable

13 Syarat Orde Kedua d2z = d (dz) = f11 dx12 dx1 + f12 dx1 dx2 + f13 dx1 dx3 + f21 dx2 dx1 + f22 dx + f23 dx2 dx3 + f31 dx3 dx1 + f32 dx3 dx2 + f33 dx =|H| yang minor utamanya bisa dinyatakan sbb |H1| = f11 |H2| = |H3| = |H| Jadi, berdasarkan criteria determinan untuk kedefinitan p[ositif dan negative, kita dapat menyatakan syarat cukup orde kedua untuk suatu titik ekstrem dari z sebagai berikut Z* adalah suatu bila d2z definit negative atau d2z definit positif

14 Kasus n-Variabel Z= f (x1, x2, … , xn) diferensial totalnya akan menjadi dz = f1 dx1 + f2 dx2 + … + fn dxn Sehingga syarat perlu untuk titik ekstrem (dz = 0 untuk sembarang dz, tidak semuanya nol) berarti bahwa semua n dserivatif positif parsial orde pertama harus sama dengan nol

15 11.5 Syarat orde kedua dalam hubungannya dengan kecembungan dan kecekungan
Z* = f(x*1 ,……x*n) d2z semi definit negatif pada z* (syarat perlu orde kedua) d2z adalah definit negatif pada z* (syarat cukup orde kedua) z* adalah maksimum relatif F adalah cekung sempurna F adalah cekung z* adalah maksimum absolut d2z adalah Definit negatif dimana saja d2z adalah Definit negatif dimana saja z* adalah maksimum absolut yang tunggal

16 Pengecekan kecembungan dan kecekungan
Suatu fungsi f adalah (cembung atau cekung) bila, untuk setiap pasangan titik u dan v yang berbeda dalam domain f, dan untuk 0 < 0 < 1 Dalil untuk fungsi-fungsi dengan jumlah berapapun : Dalil I (fungsi linear) : jika f(x) = fungsi linear, maka f(x) = fungsi cekung dan juga fungsi cembung, tetapi tidak sempurna Dalil II (negatif dari suatu fungsi) : jika f(x) fungsi cekung, maka f(x) adalah fungsi cembung, dsb, demikian juga, bila f(x) = fungsi cekung sempurna, maka f(x) adalah fungsi cembung sempurna, dsb. Dalil III (jumlah dari suatu fungsi) : jika f(x) dan g(x) kedua-duanya = fungsi cekung (cembung), maka f(x) + g(x) juga merupakan fungsi cekung (cembung) dan bila satu atau keduanya cekung sempurna (cembung sempurna), maka f(x) + g(x) adalah cekung sempurna (cembung sempurna)

17 Fungsi yang dapat dideferensialkan Fungsi yang dapat dideferenialkan (fx) adalah (cekung, cembung) jika, untuk setiap titik tertentu u dan setiap titik lain v domain. Fungsi Cembung vs Himpunan Cembung Kombinasi linear dari dua vektor u dan v dapat ditulis sebagai K1u + k2v, dimana k1 dan k2 adalah dua skalar Oquv membentujk jajaran genjang, maka diperoleh u = q + v atau q = u – v Kombinasi cembung dari vektor u dan v dapat dinyatakan delam bentuk vektor q W = Ɵu + (1-Ɵ)v = Ɵu + v – Ɵv = Ɵ(u –v) +v = Ɵq + v

18 11.6 Penerapan Ekonomi R1 = P10Q1 +P20Q2 P = harga
PERMASALAHAN PERUSAHAAN MULTI PRODUK Ausmsikan bahwa perusahaan dengan dua produk berada pada keadaan persaingan sempurna Maka, fungsi pendapatannya akan menjadi : Dengan menetapkan keduanya sama dengan nol,maka : R1 = P10Q1 +P20Q2 P = harga Qi = tingkat output produk ke-i Fungsi biaya perusahaan : C = 2Q12 + Q1Q2 + 2Q22 Yang menghasilkan pemecahan tunggal : Fungsi laba perusahaan : Mencari tingkat Q1 dan Q2 yang,dalam kombinasi,akan memaksimumkan π :

19 L* dan K* adalah persamaan permintaan input perusahaan.
DISKRIMINASI HARGA Fungsi pendapatan total dan fungsi biaya total : R = R1(Q1) + R2(Q2) + R3(Q3) C = C(Q) dimana Q = Q1 +Q 2+ Q3 KEPUTUSAN INPUT DALAM PERUSAHAAN : L* dan K* adalah persamaan permintaan input perusahaan. Jika kita substitusikan L* dan K* ke dalam fungsi produksi ,kita peroleh :

20 Fungsi yang data didiferensikan f(x)= f(x1 ,…,Xn) adalah (cekung cembung) jika, untuk setiantitik tertentu u= (U1 ,…,Un) dan setiap titik lain v= (V1 ,…,Vn) dalam domain, F(v) () f(u) + Σ fj (u) (Vj - Uj ) Dimana fj (u) ≡∂f/ ∂ Xj dievaluasi pada u= (U1 ,…,Un) Fungsi z data didiferensiasikan dua kali secara kontinu z= f(x1 ,…,Xn) adalah (cekung/cembung) jika, dan hanya jika, d2 z di mana saja adalah semidefinit (negative/positif). Fungsi tersebut dikatakan (cekung/cembung) sempurna jika (tetapi tidak hanya jika) d2 z dimana saja adalah definit (negative/positif). 11.7 B y F(v) C F A F(u) D u v X