Upload presentasi
Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu
1
Fungsi Konveks dan Konkaf
2
Himpunan R konveksjika x., y
Bagi himpunan R Himpunan R konveksjika x., y z= (i-t) x + t y , t [0, 1 ] x z y
3
• Sebuah fungsi f(x) konveks pada jika x., y :
f((1-t) x + t y) < (1-t)f(x) + tf(y), t [0,1]
4
• Sebuah fungsi f(x) konkaf pada jika x., y :
f((1-t) x + t y) (1-t)f(x) + tf(y), t [0,1]
5
TEOREMA 1 Jika f(x) konveks pada maka lokaI minimum adalah global minimum, Jika f(x) konkaf pada maka lokaI maksimum adalah global maksimum.
6
TEOREMA 2 𝑓(𝑥)∈ 𝐶 1 (fungsi konveks yang dapat diturunkan satu kali) adalah konveks pada jika dan hanya jika: 𝑓 𝑦 ≥𝑓 𝑥 + 𝑓 ′ 𝑥 𝑦−𝑥 , ∀𝑥,𝑦∈ x
7
𝑓(𝑥)∈ 𝐶 1 (fungsi konkafyang dapat diturunkan satu kali) adalah konkaf pada jika dan hanya jika:
𝑓 𝑦 ≤𝑓 𝑥 + 𝑓 ′ 𝑥 𝑦−𝑥 , ∀𝑥,𝑦∈ x
8
TEOREMA3: 𝑓(𝑥)∈ 𝐶 2 (fungsi konveks yang dapat diturunkan dua kali) adalah fungsi konveks jika dan hanya jika: 𝑓"(𝑥)≥0,∀ 𝑥∈ 𝑓(𝑥)∈ 𝐶 2 (fungsi konkaf yang dapat diturunkan dua kali) adalah fungsi konkaf jika dan hanya jika: 𝑓"(𝑥)≤0,∀ 𝑥∈
9
Contoh: f(x) = eX dan f(x) = x2 adalah fungsi konveks
10
f(x) = 𝑥 1/2 adalah fungsi konkaf
11
Bagi himpunan dengan dimensi n: Rn
Rn adalah himpunan konveks jikax, y z = (1-t) x + t y , t [0,1] di mana x = (x1 ,…,xn) TEOREMA: f : R adalah fungsi konveks jika x, y : f(( 1-t) x + t y ) < (1-t)f(x) + t f(y), t [0,1] dan f(y) > f(x) + (y-x)' f(x) f : R adalah fungsi konkaf jika x, y : f(( 1-t) x + t y ) ≥ 1-t)f(x) + t f(y), t [0,1] dan f(y) ≤ f(x) + (y-x)' f(x)
12
Dimana 𝛻𝑓(𝑥)= 𝜕𝑓(𝒙) 𝑥 1 𝜕𝑓(𝒙) 𝜕 𝑥 2 … 𝜕𝑓(𝒙) 𝜕 𝑥 𝑛 Adalah vektor gradien
13
Matriks Hessian suatu fungsi
𝛻 2 𝑓(𝒙)= 𝜕𝑓(𝒙) 𝜕 𝑥 𝜕𝑓(𝒙) 𝜕 𝑥 1 𝑥 2 … 𝜕𝑓(𝒙) 𝜕 𝑥 1 𝑥 𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝜕𝑓(𝒙) 𝜕 𝑥 𝑛 𝑥 1 𝜕𝑓(𝒙) 𝜕 𝑥 𝑛 𝑥 2 … 𝜕𝑓(𝒙) 𝜕 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛
14
TEOREMA: Jika 𝛻 2 𝑓(𝑥) bersifat positif semi definit ∀ 𝑥 ∈ maka f adalah fungsi konveks dalam Jika 𝛻 2 𝑓(𝑥) bersifat positif definit ∀ 𝑥 ∈ maka f adalah fungsi konveks ketat dalam Definisi: Matriks A berukuran nx n adaiah matriks positif semi definit jika: Q(x) = x’Ax > 0 x 0 Bersifat positif definit jika:
15
TEOREMA: Jika 𝛻 2 𝑓(𝑥) bersifat negatif semi definit ∀ 𝑥 ∈ maka f adalah fungsi konkaf dalam Jika 𝛻 2 𝑓(𝑥) bersifat negatif definit ∀ 𝑥 ∈ maka f adalah fungsi konkaf ketat dalam Definisi: Matriks A berukuran nx n adaiah matriks negatif semi definit jika: Q(x) = - x’Ax > 0 x 0 Bersifat nagatif definit jika:
16
Definisi: Minor utama ke i dari matriks nx n adalah determinan dari matriks i x i yang diperoleh dari penghapusan n-i baris dan n-i kolom yang bersesuaian dari matriks tersebut
17
TEOREMA: Suatu matriks A dikatakan positif semi definit jika seluruh minor utama dari A bernilai >0 (non negatif) Suatu matriks A dikatakan positif definit jika seluruh minor utama dari A bemilai >0 (positif) Suatu matriks A dikatakan negatif semi definit jika minor utama ke-i dari A bernilai 0 atau bertanda (-1) i ,i = 1, ... ,n. Suatu matriks A dikatakan negatif definit jika seluruh minor utama dari A bertanda (-1) i ,i = 1, ... ,n
18
Dari teorema sebelumnya berlaku:
Jika f(x) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinyu pada x ,maka f(x) adalah fungsi konveks pada jika seluruh minor utama dari 𝛻 2 𝑓(𝑥) adalah >0 (konveks ketat jika seluruh minor utama dari 𝛻 2 𝑓(𝑥) adalah >0). Jika f(x) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinyu pada x , maka f(x) adalah fungsi konkaf pada jika seluruh minor utama dari 𝛻 2 𝑓(𝑥) bertanda (-1) i ,i = 1, ... ,n atau sama dengan 0 ( konkaf ketat jika seluruh minor utama dari 𝛻 2 𝑓(𝑥) bertanda (-1) i ,i = 1, ... ,n)
Presentasi serupa
© 2024 SlidePlayer.info Inc.
All rights reserved.