Persamaan Diferensial Biasa 1

Presentasi berjudul: "Persamaan Diferensial Biasa 1"— Transcript presentasi:

1 Persamaan Diferensial Biasa 1
Analisa Numerik Persamaan Diferensial Biasa 1

2 Metode Numerik utk. PDB Persoalan syarat awal order pertama :
y’=f(x, y), y(x0) = y0, y ∈ RN, x ∈ [x0, xf] (*) y(xf) = ? Persamaan order ke-p : y(p) = f(x, y, y’, ..., yp-1) Dapat diubah menjadi (dng. y1 = y) y1’ = y2 y2’ = y3 y3’ = y4 ... yp-1’ = yp yp’ = f(x, y1, y2, ..., yp)

3 Integrasi Numerik dng. Deret Taylor
Jk. f dapat diturunkan thd. x maupun y, mk. (*) mempunyai jawab unik jk kontinu pada [x0, xf]. Kembangkan y(x) ke dlm. deret Taylor di sekitar x = x0 y(x) = y0 + (x – x0)y’(x0) + ((x-x0)2/2!)y’’(x0) + ... Cari turunan y yang lebih tinggi y’ = f(x, y) y’’ = f’ = fx + fyy’ = fx + fyf y’’’ = f’’ = fxx + fxyf + fyxf + fyyf2 + fyfx + fy2f = fxx + 2fxyf + fyyf2 + fxfy + fy2f : y(n) = rumit bentuknya maka (n) dibatasi.

4 Integrasi Numerik dng. Deret Taylor
Misal xn = x0 + nh, n = 0, 1, 2, ... Pada xn misal y(xn) solusi eksak, yn solusi pendekatan. Definisikan Tk(x, y) = f(x, y) + h/2! f’(x, y) hk-1/k! f(k-1)(x, y) k = 1,2, ... Algoritma Taylor order k Diket. y’ = f(x, y), y(a) = y0, [a, b], y(b) = ? Pilih h = (b-a)/N xn = a + nh, n = 0, 1, ..., N yn+1 = yn + hTk(xn, yn), n = 0, 1, ..., N-1 Metode ini disebut juga metode langkah-tunggal karena hanya memakai satu informasi (di satu titik) Tk(xn, yn) utk. mendapatkan yn+1.

5 Error

6 Error Persamaan lokal zn’ = f(x, zn), zn(xn) = zn0 x ∈ [xn, xn+1]
= solusi eksak Kesalahan lokal = Kesalahan global = y(xn) - zn Kesalahan lokal metode Taylor order k adalah

7 Metode Euler k = 1, metode Euler yn+1 = yn + hf(xn, yn)
E = (h2/2)y’’() Contoh : y’ = y, y(0) = 1, h = 0.01 y(0.01)  y1 = = 1.01 y(0.02)  y2 = (1.01) = y(0.03)  y3 = (1.0201) = y(0.04)  y4 = ( ) = Dibutuhkan h kecil agar hasil baik untuk metode Euler. Jd. Euler jarang dipakai.