Upload presentasi
Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu
Diterbitkan olehPutrii Irfan Telah diubah "9 tahun yang lalu
1
M ATHEMATICS III TS 4353 C LASS B Integral Rangkap Herlina Setiyaningsih Civil Engineering Department Petra Christian University
2
I NTEGRAL R ANGKAP D UA Integral garis Integrannya merupakan suatu fungsi f(x) yang terdefinisikan untuk semua x di dalam selang a ≤ x ≤ b pada sumbu x. Integral rangkap dua, integrannya adalah suatu fungsi f(x,y) yang terdefinisikan untuk semua (x,y) di dalam suatu daerah D yang terbatas dan tertutup pada suatu bidang xy. Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
3
I NTEGRAL R ANGKAP D UA a b c d A B P Q Z = F(X k, Y k ) ΔA k = ΔX k ΔY k ΔY k ΔX k D D dibagi n daerah bagian ΔD k dengan luas ΔA k (k=1, 2, 3, …, n). Diambil titik Z misalkan (x k, y k ). Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2 X Y
4
D = daerah integrasi D dicakup oleh pertidaksamaan: a ≤ x ≤ b, APB ≤ y ≤ AQB f 1 (x) ≤ y ≤ f 2 (x) c ≤ y ≤ d, QBP ≤ x ≤ QAP g 1 (y) ≤ x ≤ g 2 (y) Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
5
Diintegralkan terhadap y dengan menganggap x konstan Diintegralkan terhadap x dengan menganggap y konstan Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
6
E XAMPLE 1 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
7
Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2 E XAMPLE 2
8
Diketahui a/. Hitung I dan gambarkan daerah integrasinya b/. Ubah urutan integrasinya & hitung nilai I Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2 E XAMPLE 3 y=x x=y x=y 2/3 y = x 3/2 1 1 x y
9
Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2 E XAMPLE 3
10
Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
11
Diketahui: Y X 1 0 1 2 x=0 x=y y=2 y =1 y=x Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
12
A PLIKASI I NTEGRAL L IPAT D UA Perhitungan Luas dy dx D X Y Elemen luas dL = dx dy Luas: Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
13
E XAMPLE Hitung luas daerah yang dibatasi y=2-x 2 dan y=1 Y X D y=1 1 y=2-x 2 Titik-titik potong y = 2-x 2 2-x 2 = 1 y = 1 1-x 2 = 0 x = -1 or x = 1 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
14
Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
15
E XAMPLE Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x = y 2 dan x+y = 2 X x + y =2 x = y 2 -2 1 Y Titik-titik potong x = y 2 y 2 =2-y x= 2-yy 2 +y-2 = 0 (y-1)(y+2)=0 y=1 or y=-2 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
16
Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
17
Perhitungan Massa dy dx ρ= ρ(x,y) XY Rapat massa (untuk pelat tipis tidak punya ketebalan) Elemen massa dM= ρ dx dy Massa : Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
18
E XAMPLE Tentukan massa pelat tipis yang dibatasi y=2√x, sumbu x dan garis x=4 jika rapat massanya sebanding dengan jaraknya terhadap sumbu x. X Y y = 2√x x = 4 ρ = ky y k = konstanta kesebandingan Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
19
Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
20
Perhitungan Pusat Massa/ Titik Berat Elemen momen terhadap sumbu x: dMx = y ρ dx dy Momen terhadap sumbu x: Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2 dy dx ρ= ρ(x,y) X Y y x
21
Elemen momen terhadap sumbu y: dMy = x ρ dx dy Momen terhadap sumbu y: Pusat Massa Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
22
E XAMPLE Tentukan pusat massa lamina (lapisan tipis (pelat)) homogen (rapat massanya konstan) yang dibatasi kurva y=x dan y=x 2 X Y y=x 2 y=x Dρ = c (konstan) Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2 Titik-titik potong y = x 2 x 2 =x y= xx 2 -x = 0 x(x-1)=0 x=0 or x=1 01
23
Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
24
Pusat massa : (1/2, 2/5) Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
25
Perhitungan Momen Inersia dy dx ρ= ρ(x,y) XY D y x r Elemen momen inersia thd sumbu x: dIx= y 2 ρ dx dy Momen inersia thd sb x: Elemen momen inersia thd sumbu y: dIy= x 2 ρ dx dy Momen inersia thd sb y: Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
26
Momen Inersia thd titik pusat O Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
27
E XAMPLE Tentukan momen inersia terhadap: a/. Sumbu x b/. Sumbu y c/. Titik pusat O yang dibatasi oleh kurva y=x dan y=x 2 X Y y=x 2 y=x Dρ = c (konstan) Titik-titik potong: y=x 2 x 2 =x y=xx 2 -x=0 x(x-1)=0 x=0 or x=1 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
28
Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
29
Perhitungan Volume Z X Y D Z= f(x,y) Elemen volume dV = z dx dy Volume: Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
30
XYZOktan (ruang) +++I -++II --+III +-+IV ++-V -+-VI ---VII +--VIII Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
31
E XAMPLE Hitung volume benda yang dibatasi 2x+3y+z = 6 di oktan pertama! 6 2 3 z = 6 – 2x – 3y Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2 X Y Z
32
Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
33
E XAMPLE Hitung volume benda di oktan pertama yang dibatasi z=y, y=x 2 dan x=y 2 Z X Y z = y y=x 2 x=y 2 y=x 1/2 x=0 y=x 2 x=1 y=x 2 x=y 2 z = y Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2 x=y 2 y=x 2 X Y
34
Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
35
Perhitungan Luas Permukaan Kulit Z X Y Z= f(x,y) k = ? Elemen luas permukaan/ kulit: Luas permukaan/ kulit: Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
36
E XAMPLE Hitung luas permukaan bidang 3x + 2y + z = 6 di oktan I Z X Y Y X 2 3 3x + 2y = 6 y = (6-3x)/2 z = 6 - 3x – 2y Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
37
Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
38
S ISTEM K OORDINAT P OLAR / K UTUB Transformasi sistem koordinat kartesius ke sistem koordinat polar: x = r cos θ y = r sin θ Y X y x r θ P(x,y) = P(r,θ) Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2 O
39
N ILAI J ACOBIAN Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
40
E XAMPLE Hitung luas daerah yang dibatasi x 2 + y 2 = 4 X Y 2 -2 Sistem Koordinat Polar Sistem Koordinat Kartesius r 2 b 2π2π Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
41
E XAMPLE Hitung momen inersia terhadap titik pusat dari lamina homogen x 2 + y 2 = a 2 di atas sumbu x Sistem koordinat kartesius: -aa x 2 +y 2 =a 2 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
42
I NTEGRAL R ANGKAP T IGA ∆x k ∆y k ∆z k f(x,y,z) Z Y X Diintegralkan thd z dengan menganggap x,y konstan Diintegralkan thd y dengan menganggap x konstan Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
43
Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
44
A PLIKASI I NTEGRAL L IPAT T IGA Perhitungan Volume Elemen volume: dV = dx dy dz Volume: ∆x k ∆y k ∆z k Z Y X Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
45
E XAMPLE Hitung volume benda yang dibatasi tabung x 2 + z 2 = 4, bidang XOZ, bidang y=x, bidang XOY yang terletak di oktan I. Tabung x 2 + z 2 =4 z=√4-x 2 Bidang XOZ y = 0 X Bid XOY z =0 Bid Y=X Z Y Y X y = x Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2 2
46
Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
47
Perhitungan Massa dx dy dz Z Y X ρ = ∫(x, y, z) = rapat massa Elemen massa: dM= ρ dx dy dz Massa: Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
48
Perhitungan Pusat Massa/ Titik Berat Momen terhadap bidang:Titik Berat: Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
49
E XAMPLE Hitung titik berat benda homogen yang dibatasi z=1-x 2, bid XOY, bid YOZ, bid XOZ dan bid y=2 yang terletak di oktan I! Z X Y z = 1-x 2 y = 2 1 2 Bidang XOZ y = 0 Bidang XOY z = 0 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
50
Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
51
Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
52
Perhitungan Momen Inersia dx dy dz Z Y X ρ = ∫(x, y, z) = rapat massa Momen inersia thd sb x: Momen inersia thd sb y: Momen inersia thd sb z: Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
53
E XAMPLE Hitung momen inersia thd sb x dari balok homogen dgn panjang p, lebar l dan tinggi t, jika ρ = 2! Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
54
S ISTEM K OORDINAT T ABUNG Z Y X P(x,y,z)= P(r,θ,z) Transformasi Koordinat: x = r cos θ y = r sin θ z = z Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
55
N ILAI J ACOBIAN Dengan demikian Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
56
E XAMPLE Hitung momen inersia terhadap sb z dari tabung homogen x 2 + y 2 = 4 dan tingginya 3. Z Y X x 2 + y 2 = 4 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
57
Sistem koordinat polar Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 2
Presentasi serupa
© 2024 SlidePlayer.info Inc.
All rights reserved.