BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

Presentasi berjudul: "BARISAN DAN DERET ARITMETIKA"— Transcript presentasi:

1 BARISAN DAN DERET ARITMETIKA
By : Tri Rahayuningrum T Elektro - UNIKOM

2 A. Barisan Aritmetika Definisi
Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b. Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini. a. 1, 4, 7, 10, 13, ... b. 2, 8, 14, 20, Barisan Aritmetika c. 30, 25, 20, 15, ... Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan).

3 Contoh : 1, 4, 7, 10, 13, ... Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b =3. b. 2, 8, 14, 20, ... Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

4 c. 30, 25, 20, 15, ... – – –5 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya –5 atau b = –5. Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut. Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U ) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut. Jika Un adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlaku b = Un – Un-1

5 U = a U = U + b = a + b U = U + b = (a + b) + b = a + 2b U = U + b = (a + 2b) + b = a + 3b U = U + b = (a + 3b) + b = a + 4b . U = U + b = a + (n – 1)b Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Keterangan: Un = suku ke-n a = suku pertama b = beda n = banyak suku Un = a + (n – 1)b

6 Contoh 1 : Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, .... Jawab: –3, 2, 7, 12, … Suku pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5. Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh : U = –3 + (n – 1)5. Suku ke-8 : U = –3 + (8 – 1)5 = 32. Suku ke-20 : U = –3 + (20 – 1)5 = 92.

7 Contoh 2 : Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Tentukan banyak suku barisan tersebut. Jawab: Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2) = 3,dan U = 40. Rumus suku ke-n adalah U = a + (n – 1)b sehingga; 40 = –2 + (n – 1)3 40 = 3n – 5 3n = 45 Karena 3n = 45, diperoleh n = 15. Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.

8 B. Deret Aritmetika Definisi
Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan S . Dengan demikian, S = U1 + U2 + U U . Untuk memahami langkah-langkah menentukan rumus S , perhatikan contoh berikut : Misalkan U1, U2, U3, ..., Un merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmetika. U1 + U2 + U Un disebut deret aritmetika, dengan Un = a + (n – 1)b.

9 Contoh 1 : Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut. Jawab: Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat dituliskansebagai berikut. S = S = 2S = 2S = 5 x 16 S = S = 40 Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.

10 Menentukan rumus umum untuk S sebagai berikut
Menentukan rumus umum untuk S sebagai berikut. Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalah U = a + (n – 1)b. Oleh karena itu, U = a = a U = a + b = U – (a – 2)b U = a + 2b = U – (n – 3)b U = a + (n – 1)b = U

11 Dengan demikian, diperoleh ;
S = a + (a + b) + (a + 2b) (a + (n – 1)b) = a + (U – (n – 2) b) + (U – (n – 3) b) U (1) Dapat pula dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah b kurang dari suku berikutnya. U = U – b U = U – b = U – 2b U = U – b = U – 3b Demikian seterusnya sehingga S dapat dituliskan S = a + (U – (n – 1)b) + … + (U – 2b) + (U – b) + U (2)

12 Dari persamaan 1 dan 2 jika kita jumlahkan, diperoleh ;
S = a + (U – (n – 2)b) + (U – (n – 3)b) U S = U + (U – b) + (U – 2b) a 2S = (a + U ) + (a + U )+ (a + U ) (a + U ) n suku Dengan demikian, 2S = n(a + U ) S = n(a + U ) S = n(a + (a + (n – 1)b)) S = n(2a + (n – 1)b)

13 Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah
Keterangan: S = jumlah n suku pertama a = suku pertama b = beda U = suku ke-n n = banyak suku Sn = 1/2n(a + U) atau Sn =1/2n [2a + (n – 1)b]

14 Contoh 2: Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret Jawab: Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100. S = x 100 {2(2) + (100 – 1)2} = 50 { } = 50 (202) = Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut adalah

15 Contoh 3: Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100. Jawab: Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh a = 3, b = 3, dan U = 99. Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ; U = a + (n – 1)b 99 = 3 + (n – 1)3 3n = 99 n = 33 Jumlah dari deret tersebut adalah

16 S = n (a + U ) S = x 33(3 + 99) = Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 1.683

17 PENERAPAN KONSEP BARISAN DAN DERET

18 Kaidah barisan dan deret dapat digunakan untuk memudahkan penyelesaian perhitungan, misalnya bunga bank, kenaikan produksi, dan laba/rugi suatu usaha. Untuk menyelesaikan persoalan tersebut, kita harus dapat membedakan apakah persoalan tersebut termasuk barisan aritmetika, barisan geometri, deret aritmetika ataupun deret geometri. Kemudian, kita dapat menyelesaikan persoalan tersebut menggunakan rumus-rumus yang berlaku.

19 Contoh 1: Ketika awal bekerja, seorang karyawan sebuah perusahaan digaji Rp ,00 per bulan. Setahun berikutnya, gaji per bulannya akan naik sebesar Rp ,00. Demikian seterusnya untuk tahun-tahun berikutnya. Berapa gaji karyawan itu per bulan untuk masa kerjanya sampai pada tahun ke-9? Jawab: Kasus ini adalah aplikasi dari barisan aritmetika. Suku awal a = Beda b = n = 9

20 Jadi suku ke-9, dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi suku ke-9, dapat ditentukan sebagai berikut. U = a + (n – 1)b U = (9 – 1) = = Jadi, gaji per bulan karyawan itu pada tahun ke-9 adalah Rp ,00.

21 Contoh 2: Setiap awal bulan Nyoman menabung Rp50.000,00 di suatu bank yang memberikan bunga 1% per bulan. Pada tiap akhir bulan, bunganya ditambahkan pada tabungannya. Berapakah uang Nyoman di bank itu pada akhir tahun ke-1 jika ia tidak pernah mengambil tabungannya sampai akhir tahun ke-1? Jawab: Misalkan tabungan awal adalah Rp50.000,00. Pada akhir bulan ke-1 Jumlah uang Nyoman adalah sebagai berikut ; Bunga yang ia peroleh = × 1% = × 0,01 Jumlah uang Nyoman = ( × 0,01) = (1 + 0,01) = (1,01)

22 Pada akhir bulan ke-2 Uang yang sudah dimasukkan sejak bulan ke-1 adalah jumlah uang pada akhir bulan ke-1 ditambah bunga sehingga diperoleh ; = (1,01) + (50.000(1,01) × 1%) = (1,01)(1 + 0,01) = (1,01) Uang yang dimasukkan pada awal bulan ke-2 menjadi = ( × 1%) = (1 + 0,01) Jadi, jumlah uang Nyoman pada akhir bulan ke-2 adalah (1,01) (1,01) .

23 Pada akhir bulan ke-3 Uang yang sudah dimasukkan sejak bulan ke-1 adalah (1,01) + (50.000(1,01) × 1%) = (1,01) (1 + 0,01) = (1,01) (1,01) = (1,01) Uang yang dimasukkan pada awal bulan ke-2 menjadi (1,01) + (50.000(1,01) × 1%) = (1,01)(1 + 0,01) = (1,01)(1,01) Uang yang sudah dimasukkan pada awal bulan ke-3 menjadi ( × 1%) = (1 + 1%)

24 Jadi, jumlah uang Nyoman pada akhir bulan ke-3 adalah 50
Demikian seterusnya, sampai akhir bulan ke-12. Dari hasil perhitungan sampai bulan ke-3, dapat disimpulkan bahwa jumlah uang tabungan Nyoman adalah (1,01) (1,01) (1,01) (1,01)12 = {1,01 + (1,01)2 + (1,01) (1,01)12} Deret 1,01 + (1,01) (1,01)12 merupakan deret geometridengan a = 1,01, r = 1,01, dan n = 12. S =

25 = = 12,83 Oleh karena itu, jumlah uang Nyoman setelah 1 tahun adalah {1,01 + (1,01) (1,01)12} = × 12,83 = Jadi, jumlah uang Nyoman setelah 1 tahun adalah Rp ,00.