Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

1 INTEGRASI NUMERIK. 2 Metode secara numerik A.Metode Pendekatan Persegi Panjang B.Metode Trapesium A.Metode Pendekatan Persegi Panjang  Bagi interval.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "1 INTEGRASI NUMERIK. 2 Metode secara numerik A.Metode Pendekatan Persegi Panjang B.Metode Trapesium A.Metode Pendekatan Persegi Panjang  Bagi interval."— Transcript presentasi:

1 1 INTEGRASI NUMERIK

2 2 Metode secara numerik A.Metode Pendekatan Persegi Panjang B.Metode Trapesium A.Metode Pendekatan Persegi Panjang  Bagi interval a sampai b atas n sub-interval   Hitung nilai fungsi pada ujung-ujung sub-interval tersebut  f (x k )  Hitung luas tiap-tiap persegi panjang tersebut  P k = h * f (x k )  Jumlahkan semua luas persegi panjang tersebut  METODE PERSEGI PANJANG

3 3 Selain mengambil tinggi persegi panjang ke-k, sama dengan f (x k ) yaitu nilai fungsi pada ujung kanan sub-interval ke-k tersebut, juga dapat mengambil tinggi sama dengan f (x k-1 ) yaitu nilai fungsi pada ujung kiri sub-interval, ataupun juga pada :  yaitu nilai fungsi pada titik tengah sub-interval Contoh: Cari luas daerah di bawah kurva f(x) = x 2, antara x = 0 sampai x = 4 Solusi:  Interval (0, 4) dibagi menjadi 4 bagian sama panjang, n = 4  h = (4 - 0)/4 = 1  Luas persegi panjang  P 1 = 1 * f(1) = 1 * 1 = 1 P 2 = 1 * f(2) = 1 * 4 = 4 P 3 = 1 * f(3) = 1 * 9 = 9 P 4 = 1 * f(4) = 1 * 16 = 16 Luas Total = 30 Penyimpangannya = 30 – =

4 4  Jika interval (0, 4) dibagi menjadi 8 sub-interval, n = 8  h = (4 - 0)/8 = 0.5  Luas persegi panjang  P 1 = 1 * f(0.5) = 1 * 1 = P 2 = 1 * f(1.0) = 1 * 4 = 1 P 3 = 1 * f(1.5) = 1 * 9 = P 4 = 1 * f(2.0) = 1 * 16 = 2 P 5 = 1 * f(2.5) = 1 * 4 = P 6 = 1 * f(3.0) = 1 * 9 = 4.5 P 7 = 1 * f(3.5) = 1 * 16 = P 8 = 1 * f(4.0) = 1 * 16 = 8 Luas Total = 26 Penyimpangannya = 26 – = 4.67  Jika banyaknya sub-interval diperbanyak lagi, misal n = 40, diperoleh L = 22.14, dan untuk n = 100 diperoleh L = METODE PERSEGI PANJANG

5 5  Jika diambil tinggi adalah nilai fungsi pada ujung kiri sub-interval Luas  P 1 = 0.5 * f(0.0) = 0.5 * 0 = 0 P 2 = 0.5 * f(0.5) = 0.5 * 0.25 = P 3 = 0.5 * f(1.0) = 0.5 * 1 = 1 P 4 = 0.5 * f(1.5) = 0.5 * 2.25 = P 5 = 0.5 * f(2.0) = 0.5 * 4 = 2 P 6 = 0.5 * f(2.5) = 0.5 * 6.25 = P 7 = 0.5 * f(3.0) = 0.5 * 9 = 4.5 P 8 = 0.5 * f(3.5) = 0.5 * = Luas Total = 18 + METODE PERSEGI PANJANG

6 6  Jika tinggi sama dengan titik tengah interval, diperoleh: Luas  P 1 = 0.5 * f(0.25) = P 2 = 0.5 * f(0.75) = P 3 = 0.5 * f(1.25) = P 4 = 0.5 * f(1.75) = P 5 = 0.5 * f(2.25) = P 6 = 0.5 * f(2.75) = P 7 = 0.5 * f(3.25) = P 8 = 0.5 * f(3.75) = Luas Total = Perhatikan bahwa hasil terakhir ini adalah yang terbaik. METODE PERSEGI PANJANG

7 7 B.Metode Trapesium  Bagi interval (a, b) menjadi n sub-interval yang sama   Hitung nilai fungsi pada ujung-ujung sub-interval tersebut  f (x k )  Hitung luas trapesium  P k = h * f (x k ) Luas trapesium ke-1 = t 1 = ½ ( f(x 0 ) + f(x 1 ) ) * h = h/2 ( f(x 0 ) + f(x 1 ) ) ke-2 = t 2 = ½ ( f(x 1 ) + f(x 2 ) ) * h = h/2 ( f(x 1 ) + f(x 2 ) ) ……………. ke-n = t n = ½ ( f(x n-1 ) + f(x n ) ) * h = h/2 (f(x n-1 ) + f(x n ) ) Luas Total = t 1 + t 2 + ……. + t n = h/2 ( f(x 0 ) + f(x 1 ) ) + h/2 ( f(x 1 ) + f(x 2 ) ) + ……. + h/2 (f(x n-1 ) + f(x n ) ) METODE TRAPESIUM

8 8

9 9 Contoh: Hitung luas daerah di bawah kurva f(x) = x 2, antara x = 0 sampai x = 4 Solusi:  Interval (0, 4) dibagi menjadi 4 sub-interval, n = 4  h = (4 - 0)/4 = 1  Luas total xkxk f(x k ) METODE TRAPESIUM

10 10 Rumusan yang paling akurat untuk integrasi numerik Tinjauan Gauss dalam perhitungan integral F(x) dx berdasarkan nilai f(x) dalam sub interval yang tidak berjarak sama, melainkan simetris terhadap titik tengah interval I = f(x) dx = (a-b) [R 1 (U 1 ) + R 2 (u 2 ) + … + Rn (Un)] U 1,U 2,…,Un adalah titik dalam interval [-1/2,1/2] (U) = f(x) = f[(b-a)u + ] X = (b-a)u + (Tersedia tabel nilai numerik parameter U dan R) METODE KUADRATUR GAUSS

11 11 ALGORITMA KUADRATUR GAUSS Algoritma: a) Inisialisasi tabel koefisien gauss b) Definisikan fungsi integran c) Tentukan batas pengintegralan a dan b d) Inisialisasi : sum = 0 e) Hitung : sum = sum + Ri x (Ui), i = 1 sampai n f) Hitung : I = (b-a) x sum g) Tulis hasil integral

12 12 METODE SIMPSON Paling luas pemakaiannya Untuk pendekatannya memakai parabola yang melalui 3 ordinat dari 2 interval berdampingan Eksak untuk polinim derajat dua atau kurang Lebih teliti dan rumus tidak lebih rumit dari metode trapesium n = banyak interval h = I = (Y 0 + 4Y 1 + 2Y 2 + 4Y 3 + 2Y 4 +…+ 2Y n-4 + 4Y n-3 + 2Y n-2 + 4Y n-1 + Y n ) Kesalahan pemotongan : e T ~ (b-a) f (Q), a

13 13 ALGORITMA METODE SIMPSON Algoritma: a) Definisikan fungsi integran b) Tentukan batas pengintegralan a dan b dan jumlah segmen n (harus genap) c) Hitung : h = (b-a)/n d) Inisialisasi sum = F (a) + 4 x F (a+h) e) Hitung untuk i = 2 sampai i = n-1 dengan indeks pertambahan sama dengan 2 sum = sum + 2 x F (a+ixh) + 4 x F (a+(i+1)h) f) Hitung nilai integral I = h/3 x (sum + F(b)) g) Tulis hasil perhitungan


Download ppt "1 INTEGRASI NUMERIK. 2 Metode secara numerik A.Metode Pendekatan Persegi Panjang B.Metode Trapesium A.Metode Pendekatan Persegi Panjang  Bagi interval."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google