Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

1Universitas Jenderal Achmad Yani. 2 Sumbu mendatar: sumbu-x Sumbu tegak: sumbu-y. Kedua sumbu dsb sumbu koordinat. Perpotongan sumbu: titik asal O:(0,0).

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "1Universitas Jenderal Achmad Yani. 2 Sumbu mendatar: sumbu-x Sumbu tegak: sumbu-y. Kedua sumbu dsb sumbu koordinat. Perpotongan sumbu: titik asal O:(0,0)."— Transcript presentasi:

1 1Universitas Jenderal Achmad Yani

2 2 Sumbu mendatar: sumbu-x Sumbu tegak: sumbu-y. Kedua sumbu dsb sumbu koordinat. Perpotongan sumbu: titik asal O:(0,0). Titik P(x 1,y 1 ): pasangan terurut x 1 dan y 1. Jarak P ke sumbu-y : x 1, dsb absis P Jarak P ke sumbu-x : y 1, dsb ordinat P. Kedua sumbu koordinat membagi bidang atas empat bagian yang dinamakan kuadran.

3 Definisi Grafik suatu persamaan di R 2 adalah himpunan semua titik (x,y) di R 2 yang bilangan koordinatnya memenuhi persamaan tersebut. Grafik suatu persamaan disebut juga tempat kedudukan atau kurva dari persamaan tersebut. Contoh. Sketsa grafik persamaan: (x – 2y + 3 ) ( y – x 2 ) = 0 3 Universitas Jenderal Achmad Yani

4 Cth. Gambar skets grafik persamaan : y =  x-2  Jawab: y =  x-2  untuk x < 2: y =2-x untuk x  2: y = x-2 4Universitas Jenderal Achmad Yani

5 Teorema. ( Uji Kesimetrian ) Grafik persamaan akan: simetri terhadap sumbu-x  simetri terhadap sumbu-y  simetri terhadap titik asal  f(-x,y) = f(x,y) f(x,- y) = f(x, y) f(-x, -y) = f(x,y) 5Universitas Jenderal Achmad Yani

6 Contoh Grafik persamaan y = x 2 simetri terhadap sumbu-y, Grafik persamaan y = x 3 simetri terhadap titik asal, Grafik persaman y 2 – x = 0 simetri terhadap sumbu-x. f(x,y) : y = x² f(-x,y) : y = (-x)² = x² : f(x,y) Simetri thdp sb-y 6Universitas Jenderal Achmad Yani Simetri thdp sb-x

7 1.8 Rumus Jarak, Titik Tengah, dan Lingkaran Teorema. ( Jarak ) Jarak titik P:(x 1,y 1 ) dan Q:(x 2,y 2 ) ditentukan oleh :  PQ  = Teorema. ( Jarak ) Jarak titik P:(x 1,y 1 ) dan Q:(x 2,y 2 ) ditentukan oleh :  PQ  = Titik Tengah ruas garis PQ adalah T : (x t, y t ) = Titik Tengah ruas garis PQ adalah T : (x t, y t ) = Contoh. Buktikan bhw segitiga dg titik sudut P:(3,-6), Q: (8,- 2), dan R: (-1,-1) adalah suatu segitiga siku-siku. 7Universitas Jenderal Achmad Yani

8 Jawab: Universitas Jenderal Achmad Yani8 P:(3,-6), Q: (8,- 2), dan R: (-1,-1) Jarak dua titik merupakan panjang sisi segitiga.

9 Persamaan garis melalui dua titik P:(x 1,y 1 ) dan Q:(x 2,y 2 ) ? Definisi. Jika garis g melalui dua titik P(x 1,y 1 ) dan Q(x 2,y 2 ) yang tidak sejajar dg sumbu-y, maka kemiringan garis g, dinyata-kan dg m, ditentukan oleh: m = …. (1.9.1) Definisi. Jika garis g melalui dua titik P(x 1,y 1 ) dan Q(x 2,y 2 ) yang tidak sejajar dg sumbu-y, maka kemiringan garis g, dinyata-kan dg m, ditentukan oleh: m = …. (1.9.1) Kemiringan garis = tanjakan, slope, garis tangen, atau gradien garis. Misalkan α sudut yang dibentuk garis dengan sumbu-x positif Gradien : m = tan α 9Universitas Jenderal Achmad Yani

10 Dari sifat ketunggalan gradien, diperoleh: Teorema. Pers. garis yg melalui dua titik P(x 1,y 1 ) dan Q(x 2,y 2 ) adalah ….(*) Teorema. Pers. garis yg melalui dua titik P(x 1,y 1 ) dan Q(x 2,y 2 ) adalah ….(*) 10Universitas Jenderal Achmad Yani Akibat Persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik A:(a,b) adalah:

11 Cth. 1 Tentukan persamaan garis yang melalui titik (6, -3 ) dan ( -2, 3). Jawab: Cth. 2 Tentukan persamaan garis yang melalui titik (6, -3 ) dan membentuk sudut ¼ π radian dengan sumbu-x positif. Jawab: 11Universitas Jenderal Achmad Yani

12 Bentuk Lain Persamaan Garis Lurus Persamaan Ax + By + C = 0, dimana A,B, dan C konstanta; A dan B tidak keduanya nol, adalah persamaan garis lurus Ax + By + C = 0  By = – A x – C  y = (– A/B) x – (C/B) Jika x = 0, maka y = - C/B → garis melalui titik M: (0, - C/B ) → titik potong dg sb-y Jika y = 0, maka x = - C/A → garis melalui titik N: (- C/A, 0) → titik potong dg sb-x 12Universitas Jenderal Achmad Yani

13 Hubungan dua garis Misalkan garis g dan l mempunyai gradien masing-masing mg dan m l g sejajar l ↔ m g = m l g tegak lurus l ↔ m g. m l = Universitas Jenderal Achmad Yani

14 Cth. 4 Dengan menggunakan kemiringan garis, buktikan bhw keempat titik A: (6,2), B: (8,6), C: (4,8), dan D: (2,4) titik sudut suatu persegi panjang. Cth. 5 Garis g dengan pers. 2x + 3y – 5 = 0. Tentukan suatu pers. garis yang tegak lurus garis g dan melalui titik A:( - 1, 3) 14Universitas Jenderal Achmad Yani Petunjuk: Tunjukkan bahwa gradien garis dari sisi yang berhadapan sama (sejajar) Kemudian tunjukkan bahwa sudut persegi adalah siku-siku Misal garis yang dicari: garis l. Karena keduanya tegak lurus, maka:

15 Persamaan Lingkaran Misalkan C: (a,b) menyatakan pusat lingkaran dan r sebagai jari-jari lingkaran, maka untuk sebarang titik P(x,y) pada lingkaran berlaku: Jarak P dan C = jari-jari lingk.   PC  = r Lingkaran adalah himpunan semua titik di bidang yang berjarak tetap (sama) dari suatu titik tetap. Titik tetap tersebut dinamakan pusat dan jarak yang tetap dinamakan jari-jari lingkaran. 15Universitas Jenderal Achmad Yani Persamaan lingkaran dengan pusat C:(a,b) dan jejari r

16 Dengan menjabarkan persamaan sebelumnyadiperoleh: ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2 = r 2  x 2 – 2ax + a 2 + y 2 – 2by + b 2 = r 2  x 2 + y 2 – 2ax – 2by + (a 2 + b 2 - r 2 ) = 0  x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 Menghasilkan : A = -2a atau a = - ½ A, B = -2b atau b = - ½ B, dan C = a 2 + b 2 - r 2 atau r = = Teorema. Persamaan x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 adalah perssamaan lingkaran dengan pusat C:(- ½ A, - ½ B) dan jari-jari r = Teorema. Persamaan x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 adalah perssamaan lingkaran dengan pusat C:(- ½ A, - ½ B) dan jari-jari r = 16Universitas Jenderal Achmad Yani

17 17 Cth. 6 Persamaan x 2 + y 2 + 6x – 2y – 15 = 0 adalah persamaan lingkaran dengan pusat C : ( - 3, 1 ) dan jari-jari r = 5. Tentukan pers. lingkaran yang melalui titik (4,5), (3,-2), dan (1,-4). Jawab: Petunjuk: Gunakan rumus pada teorema sebelumnya Misalkan persamaan lingkaran: x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 Melalui (4, 5) ==> A + 5B + C = (1) Melalui (3, -2) ==> A – 2B + C = (2) Melalui (1, -4) ==> A – 4B + C = (3) Dari ketiga persamaan, dengan eliminasi atau substitusi diperoleh A, B, dan C, sehingga persamaan lingkaran adalah: x 2 + y 2 + 7x - 5y - 44 = 0

18 HUBUNGAN LINGKARAN DAN GARIS Universitas Jenderal Achmad Yani18 Berpotongan pada dua titik: D > 0 Berpotongan pada satu titik (Garis menyinggung lingkaran): D = 0 Tidak berpotongan (Garis di luar lingkaran): D < 0

19 19Universitas Jenderal Achmad Yani

20 2.2 Persamaan dan Pertidaksamaan A. Persamaan Persamaan adalah kalimat terbuka yg mengandung minimal satu variabel yg melibatkan pernyataan “sama dengan”. Misalnya: x = 0 Nilai tertentu variabel x yang membuat kalimat bernilai benar dsb penyelesaian atau akar pers. Misalnya, x = 2 atau x = - 2 adalah akar dari persamaan x 2 – 4 =0. 20Universitas Jenderal Achmad Yani

21 Cth. Persamaan Persamaan Linear. Bentuk umum PL:ax + b = 0 …(1) Penyelesaian (akar)nya : x = - b/a Persamaan Kuadrat BU Pers. kuadrat : ax 2 + bx + c = 0 …(2) dimana a,b, dan c konstanta riil dan a≠0. Penyelesaian/akar-akarnya:, dimana: D = b 2 - 4ac. 21Universitas Jenderal Achmad Yani Persamaan Derajat-n BU Pers. Derajat-n : ax n +a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + … + a 1 x + a 0 = 0 dimana: a i, i=1,2,3, …,n konstanta riil dan a n ≠ 0

22 Sifat Akar Persamaan Kuadrat Jika x 1 dan x 2 akar-akar PK: ax 2 + bx + c = 0, maka berlaku: Cth: Tentukan penyelesaian pers. : 2x 2 – 7x +5 = 0 22Universitas Jenderal Achmad Yani

23 B. Pertidaksamaan. Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka dg minimal satu variabel yg mengandung salah satu tanda berikut: lebih besar dari ( > ), lebih kecil dari ( < ), lebih besar atau sama dengan (  ), atau lebih kecil atau sama dengan (  ). Bentuk Umum: dimana P(x) dan Q(x) merupakan fungsi polinom derajat- n. atau tanda > diganti oleh tanda : <, ≥, ≤ 23Universitas Jenderal Achmad Yani

24 Cara menentukan penyelesaian pertidaksamaan. Menentukan solusi: Untuk mempermudah pemahaman, kita diskusikan melalui contoh berikut ini. Prosedur dan proses penyelesaian pertaksamaan mengacu kepada contoh tersebut. Pembilang: P(x) Penyebut: Q(x) Tanda Pertidaksamaan: ≥ 24Universitas Jenderal Achmad Yani

25 Langkah-1: Faktorkan pembilang P(x) dan penyebut Q(x) dalam bentuk perkalian faktor linear, dan tentukan pembuat nol faktor. Ini untuk menentukan akar atau pembuat nol pembilang dan penyebut. Dalam hal tidak dapat difaktorkan menjadi faktor linear berarti bentuknya adalah kuadrat dan definit (definit positif atau negatif). P(x) = (x-1)(x 2 -2x-3)(x 2 -9) = (x-1)(x-3)(x+1)(x-3)(x+3) = (x-1)(x+1)(x-3) 2 (x+3) Pembuat nol faktor-faktor tersebut adalah: { - 3, - 2, - 1, 1, 2, 3 } Faktor berderajat ganjil adalah: (x-1), (x+1), (2+x), (2-x), dan (x+3) Faktor berderajat genap adalah: (x-3) Q(x) = (4-x 2 )(2-x) 2 = (2-x)(2+x)(2-x) 2 = (2-x) 3 (2+x). 25Universitas Jenderal Achmad Yani

26 Langkah-2: Nyatakan pembuat nol faktor tsb pada garis bilangan dg ketentuan: Jika tanda pertidaksamaan memuat tanda “ sama dengan ” maka pembuat nol pembilang dinyatakan tertutup dan pembuat nol penyebut dinyatakan terbuka ; Jika tanda pertidaksamaan soal tidak memuat sama dengan ( > atau < ) maka semua tanda pembuat nol dinyatakan terbuka, yang berarti tidak ikut. Kemudian tentukan salah satu tanda bagian dengan melakukan uji oleh salah satu nilai x yang diambil sembarang pada bagian itu. (x-1)(x+1)(x-3) 2 (x+3) (2-x) 3 (2+x). X=10 26Universitas Jenderal Achmad Yani

27 Langkah-3: Tentukan tanda bagian lain secara berurutan dari tanda bagian yang telah ditentukan sebelumnya, dengan ketentuan berikut : Jika melewati pembuat nol dari faktor berderajat ganjil maka tanda berubah dari tanda sebelumnya dan jika melewati pembuat nol dari faktor yang berpangkat genap maka tandanya tetap dari tanda sebelumnya. 27Universitas Jenderal Achmad Yani

28 Langkah-4: Arsir daerah penyelesaian kemudian terjemahkan dalam bentuk himpunan, dengan ketentuan berikut: Arsir daerah positif jika tanda soal pertidaksamaan  atau > dan Arsir daerah negatif jika tanda pertidaksamaan soal adalah  atau <. Dalam contoh ini, arsir daerah bertanda (+) karena soal pertidaksamaan bertanda “  0 “. HP = { x/ x  -3 atau -2 < x  -1 atau 1  x < 2 atau x = 3 } 28Universitas Jenderal Achmad Yani

29 Cth. Tentukan solusi dari: 1.3 – 2x  9 + 4x Soal Latihan Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan Buatlah ilustrasinya pada garis bilangan riil. 29Universitas Jenderal Achmad Yani

30 2.3 Nilai Mutlak Notasi yang digunakan adalah: Secara geometri, Nilai mutlak atau nilai absolut dari bilangan riil x didefinisikan sebagai jarak dari x terhadap 0. Berarti nilai mutlak dari setiap bil. selalu bernilai tak negatif. Ini berarti:  4  = 4,  - 4  = - (- 4) = 4,  0  = 0 30Universitas Jenderal Achmad Yani

31 Sifat-Sifat Nilai Mutlak. Misalkan x dan y bilangan riil dan a bilangan riil positif, maka: 1.-  x   x   x  2.  x  2 = x 2 3.  x y  =  x  y  4.  x / y  =  x  /  y , asalkan  y  ≠ 0 5.  x + y    x  +  y  6.  x  y   x 2  y 2 31Universitas Jenderal Achmad Yani

32 7.  x  < a  - a < x < a dan  x  a  - a  x  a 8.  x  > a  x a dan  x  a  x  - a atau x  a 32Universitas Jenderal Achmad Yani

33 Jawab: Cara 1 : Menggunakan sifat 8, diperoleh:  x + 1  > 4  x  x 3 Jadi HP = { x/ x 3 } Contoh. Tentukan penyelesaian dari :  x + 1  > 4 33Universitas Jenderal Achmad Yani

34 Cara 2 : Menggunakan sifat 2 dan 6, diperoleh:  x + 1  > 4  (x + 1) 2 > (4) 2  x 2 + 2x + 1 > 16  x 2 + 2x – 15 > 0  (x-3) (x+5) > 0 Jadi HP = { x/ x 3 } Uji dengan x = 10, maka tanda: f(10) = (+)(+) = (+) Pembuat nol faktor : pnf = { - 5, 3 } 34Universitas Jenderal Achmad Yani

35 Contoh. Tentukan penyelesaian dari: Jawab: Pembuat nol pembilang: { 4/3, 3 } Pembuat nol penyebut : { 2 } Jadi HP = { x/ x  4/3 atau x  3 } Jika diuji dengan x = 5, maka Tanda f(5) = 4/323 ( - )( + ) ( - ) 35Universitas Jenderal Achmad Yani


Download ppt "1Universitas Jenderal Achmad Yani. 2 Sumbu mendatar: sumbu-x Sumbu tegak: sumbu-y. Kedua sumbu dsb sumbu koordinat. Perpotongan sumbu: titik asal O:(0,0)."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google