Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

ALJABAR BOOLEAN. Misalkan B adalah himpunan yang didefinisikan pada dua operator biner  dan  dan sebuah operator uner dan misalkan 0 dan 1 adalah dua.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "ALJABAR BOOLEAN. Misalkan B adalah himpunan yang didefinisikan pada dua operator biner  dan  dan sebuah operator uner dan misalkan 0 dan 1 adalah dua."— Transcript presentasi:

1 ALJABAR BOOLEAN

2 Misalkan B adalah himpunan yang didefinisikan pada dua operator biner  dan  dan sebuah operator uner dan misalkan 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B. Maka tupel (B, +,., ‘ ) disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c ∈ B berlaku aksioma-aksioma atau postulat berikut.

3 1.Identitas ( i ) a + 0=a ( ii ) a  1 =a 2.Komutatif ( i ) a + b= b + a ( ii ) a  b =b  a 3.Distributif ( i )a  (b + c)=(a  b) + (a  c) ( ii ) a + (b  c)=(a + b)  (a + c) 4.Komplemen Untuk setiap a ∈ B terdapat elemen unik a ∈ B sehingga (i) a + a=1 (ii)a  a =0 Aksioma di atas disebut postulat Huntington.

4 Aljabar Boolean dua-nilai didefinisikan pada sebuah himpunan B dengan dua buah elemen 0 dan 1 (sering dinamakan bit-singkatan dari binary digit), yaitu : B = {0,1}, operator biner + dan ,serta operator uner

5 ab abab

6 aba + b

7 a a 01 10

8  Pada aljabar Boolean dua nilai B = {0, 1}. Kedua elemen B disebut elemen biner atau bit (singkatan binary bit). Peubah (variable) x disebut peubah Boolean atau peubah biner jika nilainya hanya dari B  Ekspresi Boolean dibentuk dari elemen- elemen B dan/atau peubah-peubah yang dpt dikombinasikan satu sama lain dengan operator +, , dan.

9 Misalkan (B, +, , ) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +,., ‘ ) adalah : i.Setiap elemen di dalam B, ii.Setiap peubah, iii.Jika e 1 dan e 2 adalah ekspresi Boolean, maka e 1 + e 2, e 1  e 2, e 1 adalah ekspresi Boolean.

10 DEFINISI : Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator +, , dan komplemen, maka jika pernyataan S * diperoleh dgn cara mengganti  dengan + + dengan  0 dengan 1 1 dengan 0 dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S * juga benar. S * disebut sebagai dual dari S.

11  Kita dpt memperoleh hukum-hukum aljabar Boolean dari hukum-hukum aljabar Himpunan(proposisi) dgn cara mempertukarkan :  dengan +atau ν dengan +  dengan  atau Λ dengan  Udengan 1atauT dengan 1  dengan 0atauF dengan 0

12 DEFINISI Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari B n ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai : f : B n  B Yang dalam hal ini B n adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.

13 1. f(x) = x 2. f(x,y) = x’y + xy’ + y’ 3. f(x,y) = x’y’ 4. f(x,y) = (x + y)’ 5. f(x,y,z) = xyz’

14 xyz xy wxyz peubah 3 peubah 4 peubah

15 Contoh Diketahui fungsi Boolean f(x,y,z) = xyz’, nyatakan h dalam tabel kebenaran. xyzz’f(x,y,z) = xy z’

16  Misalkan f dan g adalah dua buah fungsi Boolean dengan n peubah, maka penjumlahan f + g didefinisikan sebagai : (f+g)(x 1 + x 2 +… +x n )= f(x 1 + x 2 +… +x n ) + g(x 1 + x 2 +… +x n ) Sedangkan perkalian f.g didefinisikan sebagai : (f.g)(x 1 + x 2 +… +x n )= f(x 1 + x 2 +… +x n ) g(x 1 + x 2 +… +x n )

17  Bila sebuah fungsi dikomplemenkan, maka akan diperoleh fungsi komplemen.  Fungsi komplemen berguna pada saat melakukan penyederhanaan fungsi Boolean.  Fungsi komplemen dari suatu fungsi f dapat dicari dengan 2 cara, yaitu : 1.Menggunakan Hukum De Morgan. 2.Menggunakan prinsip Dualitas.

18 Cara pertama : menggunakan hukum De Morgan hukum De Morgan untuk dua peubah x 1 dan x 2 (i)(x 1 +x 2 )’ = x 1 ’. x 2 ’ dan dualnya (ii)(x 1. x 2 )’ = x 1 ’+x 2 ’ hukum De Morgan untuk tiga peubah x 1, x 2 dan x 3 (i)(x 1 +x 2 +x 3 )’ = (x 1 +y)’ yang dalam hal ini y = x 2 +x 3 = x 1 ’. y’ = x 1 ’(x 2 +x 3 )’ = x 1 ’. x 2 ’. x 3 ’ Contoh Misalkan f(x,y,z) = x(y’z’+yz), tentukan fungsi komplemennya! Penyelesaian: f(x,y,z) = (x(y’z’+yz))’ = x’+(y’z’+yz)’ = x’+(y’z’)’. (yz)’ Jadi f ‘(x,y,z) = x’+(y+z)(y’+z’)

19 Cara kedua : menggunakan prinsip dualitas. Penyelesaian: Misalkan f(x,y,z) = x(y’z’+yz), maka dual dari ekspresi Booleannya adalah x+(y’+z’)(y+z) komplemen tiap literal dari dual diatas menjadi x’+(y+z)(y’+z’) Jadi f ‘(x,y,z) = x’+(y+z)(y’+z’)

20  Ada dua macam bentuk term (suku), yaitu minterm (hasil kali) dan maxterm (hasil jumlah)  Suku-suku di dlm ekspresi Boolean dengan n peubah x 1, x 2,…, x n dikatakan minterm jika ia muncul dlm bentuk  Dan dikatakan maxterm jika ia muncul dlm bentuk

21  Ekspresi Boolean yang dinyatakan sbg penjumlahan dari satu atau lebih minterm atau perkalian dari satu atau lebih maxterm disebut dalam Bentuk Kanonik. Ada dua macam bentuk kanonik : 1. Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP), nama lain SOP adalah bentuk normal disjungtif (disjunctive normal form) 2. Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS), nama lain POS adalah bentuk normal konjungtif (conjunctive normal form)

22  Dua bentuk kanonik adalah bentuk dasar yang diperoleh dgn membaca fungsi dari tabel kebenaran.  Cara lain utk mengekspresikan fungsi Boolean adalah bentuk baku (standard).  Dua tipe bentuk baku adalah bentuk baku SOP dan bentuk baku POS

23 1. Aplikasi aljabar boolean pada jaringan pensaklaran (switching network). 2. Aplikasi aljabar boolean pada rangkaian digital elektronik.

24 Aljabar Boolean memiliki aplikasi yang luas dalam bidang keteknikan, antara lain di bidang jaringan pensaklaran dan rangkaian digital. axb axyb Keluaran b ada jika dan hanya jika saklar x ditutup  x Keluaran b ada jika dan hanya jika x dan y keduanya ditutup  xy Jaringan Pensaklaran (Switching Network)

25 ax by c Keluaran c ada jika dan hanya jika x atau y ditutup  x + y

26 Sirkuit Elektronik y x xy x y x+y xx’ Gerbang AND dua-masukan Gerbang OR dua-masukan Gerbang NOT (inverter) Komputer dan peralatan elektronik lain dibuat dari sejumlah rangkaian atau sirkuit (circuit). Elemen dasar dari sirkuit adalah gerbang (gate). Sirkuit elektronik dimodelkan dengan sejumlah gerbang logika (logic gate).

27 x y x y x’x’ xy x’yx’y xy+x ’ y Nyatakan fungsi f(x,y,z) = xy+x ’ y kedalam rangkaian logika. Cara pertama Cara ketiga Cara kedua y y x x

28 y x (xy) ’ x y (x+y) ’ x y y x x  y (x  y) ’ Gerbang NAND Gerbang NOR Gerbang XOR Gerbang XNOR Keempat gerbang di atas merupakan kombinasi dari gerbang-gerbang dasar, misalnya gerbang NOR disusun oleh kombinasi gerbang OR dan gerbang NOT

29  Tiga metode yang dapat digunakan utk menyederhanakan fungsi Boolean : 1. Secara aljabar, menggunakan hukum- hukum aljabar Boolean. 2. Metode Peta Karnaugh. 3. Metode Quine-McCluskey (metode tabulasi)

30  Peta Karnaugh adalah sebuah diagram/peta yang terbentuk dari kotak-kotak (berbentuk bujursangkar) yang bersisian.  Tiap kotak merepresentasikan sebuah minterm.  Tiap kotak dikatakan bertetangga jika minterm- minterm yang merepresentasikannya berbeda hanya 1 buah literal.  Peta Karnaugh dapat dibentuk dari fungsi Boolean yang dispesifikasikan dgn ekspresi Boolean maupun fungsi yang direpresentasikan dengan tabel kebenaran.

31 xyMintermMaxterm SukuLambangSukuLambang x’y’ x’y xy’ xy m0m1m2m3m0m1m2m3 x + y x + y’ x’ + y x ’+ y’ M0M1M2M3M0M1M2M3

32 xyz MintermMaxterm SukuLambangSukuLambang 000x’y’z’m0m0 x+y+zM0M0 001x’y’zm1m1 x+y+z’M1M1 010x’yz’m2m2 x+y’+zM2M2 011x’yzm3m3 x+y’+z’M3M3 100xy’z’m4m4 x’+y+zM4M4 101xy’zm5m5 x’+y+z’M5M5 110xyz’m6m6 x’+y’+zM6M6 111xyzm7m7 x’+y+z’M7M7 TABEL KEBENARAN MINTERM DAN MAXTERM 3 PEUBAH

33 wxyz MintermMaxterm SukuLambangSukuLambang TABEL KEBENARAN MINTERM DAN MAXTERM 4 PEUBAH

34  Misalkan dua peubah di dalam fungsi Boolean adalah x dan y.  Baris pada peta Karnaugh utk peubah x dan kolom utk peubah y. Baris pertama diidentifikasi nilai 0 (menyatakan x’), sedangkan baris kedua dengan 1 (menyatakan x).  Kolom pertama diidentifikasi nilai 0 (menyatakan y’), sedangkan kolom kedua dengan 1 (menyatakan y) x y 01 0x’y’x’y 1xy’xy

35  Untuk fungsi Boolean dengan 3 peubah (misalkan x, y, z), jumlah kotak di dlm peta Karnaugh meningkat menjadi 2 3 = 8. Terdiri dari 2 baris dan 4 kolom.  Setiap kotak merepresentasikan minterm dari kombinasi baris dan kolom yang bersesuaian. yz x x’y’z’x’y’zx’yzx’yz’ 1xy’z’xy’zxyzxyz'

36  Untuk fungsi Boolean dengan 4 peubah,misalkan w, x, y, z. Jumlah kotak di dlm peta Karnaugh menjadi 2 4 = 16. Terdiri dari 4 baris dan 4 kolom.  Baris pada peta Karnaugh utk peubah wx dan kolom utk peubah yz. yz wx w’x’y’z’w'x’y’zw'x’yzwx’y’z’ 01w’xy’z’w’xy’zw’xyzw’xyz’ 11wxy'z’wxy'zwxyzwxyz' 10wx'y’z’wx'y’zwx'yzwx'yz’

37 1. Nyatakan tiap minterm dalam n peubah menjadi string bit yang panjangnya n, yang dalam hal ini peubah komplemen dinyatakan ‘0’, peubah yang bukan komplemen dengan ‘1’ 2. Kelompokkan tiap minterm berdasarkan jumlah ‘1’ yang dimilikinya.

38 3. Kombinasikan minterm dalam n peubah dengan kelompok lain yang jumlah ‘1’nya berbeda satu, sehingga diperoleh bentuk prima (prime-implicant) yang terdiri dari n – 1 peubah. Minterm yang dikombinasikan diberi tanda “ ” 4. Kombinasikan minterm dalam n-1 peubah dengan kelompok lain yang jumlah ‘1’nya berbeda satu, sehingga diperoleh bentuk prima yang terdiri dari n-2 peubah.

39 5. Teruskan langkah 4 sampai diperoleh bentuk prima yang sesederhana mungkin. 6.Ambil semua bentuk prima yang tidak bertanda “ ”. Buatlah tabel baru yang memperlihatkan minterm dari ekspresi Boolean semula yang dicakup oleh bentuk prima tersebut (tandai dengan “X”. Setiap minterm harus dicakup oleh paling sedikit satu buah bentuk prima.

40 7. Pilih bentuk prima yang memiliki jumlah literal paling sedikit, namun mencakup sebanyak mungkin minterm dari dari ekspresi Boolean semula. Hal ini dapat dilakukan dengan cara berikut :

41 a. Tandai kolom-kolom yang mempunyai satu buah tanda “X” dengan tanda “*”, lalu beri tanda “ ” di sebelah kiri bentuk prima yang berasosiasi dengan tanda “*” tersebut. Bentuk prima ini telah dipilih untuk fungsi Boolean sederhana. b. Untuk setiap bentuk prima yang telah ditandai dengan “ ”, beri tanda minterm yang dicakup oleh semua bentuk prima tsb dengan tanda “ ”

42 c. Periksa apakah masih ada minterm yang belum dicakup oleh bentuk prima terpilih. Jika ada, pilih dari bentuk prima yang tersisa yang mencakup sebanyak mungkin minterm tersebut. Beri tanda “ ” bentuk prima yang dipilih itu serta minterm yang dicakupnya. d. Ulangi langkah c sampai seluruh minterm sudah dicakup oleh semua bentuk prima.

43 SOAL 1 Sederhanakan fungsi Boolean f(w,x,y,z)=∑(1,4,6,7,8,9,10,11,15) dengan Quine-McCluskey

44 minterm wxyzsukulambang 0000w'x'y'z'm0m0 0001w'x'y'zm1m1 0010w'x'yz'm2m2 0011w'x'yzm3m3 0100w'xy'z'm4m4 0101w'xy'zm5m5 0110w'xyz'm6m6 0111w'xyzm7m7 1000wx'y'z'm8m8 1001wx'y'zm9m9 1010wx'yz'm wx'yzm wxy'z'm wxy'zm wxyz'm wxyzm 15 f(w,x,y,z)=∑(1,4,6,7,8,9,10,11,15)

45 wxyz minterm wxyzsukulambang 0000 w'x'y'z 'm0m0 0001w'x'y'zm1m1 0010w'x'yz'm2m2 0011w'x'yzm3m3 0100w'xy'z'm4m4 0101w'xy'zm5m5 0110w'xyz'm6m6 0111w'xyzm7m7 1000wx'y'z'm8m8 1001wx'y'zm9m9 1010wx'yz'm wx'yzm wxy'z'm wxy'zm wxyz'm wxyzm 15 f(w,x,y,z)=∑(1,4,6,7,8,9,10,11,15)

46 wxyztermwxyz wxyz 10001√1,9−0018,9,10,1110−− 40100√4,601−08,10,9,1110−− 81000√8,9100−√ 60110√8, 1010−0√ 91001√6,7011− √9,1110−1√ 70111√10,11101−√ √7,15− √11,151−11

47 √ 1,9 ** √ 4,6 ** 6,7 ** √ 7,15 ** 11,15 ** √ 8,9,10,11 **** **** √√√√√√√√√ 1,9 term −001x'y'z 4,6 term 01−0w'xz' 7,15 term −111xyz 8,9,10,11 term 10−−wx' f(w,x,y,z)=x'y'z+w'xz'+xyz+wx'

48 SOAL 2 Sederhanakan fungsi Boolean f(w,x,y,z)=∑(0,1,2,8,10,11,14,15) dengan Quine-McCluskey

49 minterm wxyzsukulambang 0000w'x'y'z'm0m0 0001w'x'y'zm1m1 0010w'x'yz'm2m2 0011w'x'yzm3m3 0100w'xy'z'm4m4 0101w'xy'zm5m5 0110w'xyz'm6m6 0111w'xyzm7m7 1000wx'y'z'm8m8 1001wx'y'zm9m9 1010wx'yz'm wx'yzm wxy'z'm wxy'zm wxyz'm wxyzm 15 f(w,x,y,z)=∑(0,1,2,8,10,11,14,15) minterm wxyzsukulambang 0000w'x'y'z'm0m0 0001w'x'y'zm1m1 0010w'x'yz'm2m2 0011w'x'yzm3m3 0100w'xy'z'm4m4 0101w'xy'zm5m5 0110w'xyz'm6m6 0111w'xyzm7m7 1000wx'y'z'm8m8 1001wx'y'zm9m9 1010wx'yz'm wx'yzm wxy'z'm wxy'zm wxyz'm wxyzm 15 f(w,x,y,z)=∑(0,1,2,8,10,11,14,15)

50 wxyz minterm wxyzsukulambang 0000w'x'y'z'm0m0 0001w'x'y'zm1m1 0010w'x'yz'm2m2 0011w'x'yzm3m3 0100w'xy'z'm4m4 0101w'xy'zm5m5 0110w'xyz'm6m6 0111w'xyzm7m7 1000wx'y'z'm8m8 1001wx'y'zm9m9 1010wx'yz'm wx'yzm wxy'z'm wxy'zm wxyz'm wxyzm 15 f(w,x,y,z)=∑(0,1,2,8,10,11,14,15)

51 Term w x y z √0, ,2,8, , √0,8,2, √0, √ √10,11,14, √2, √10,14,11, , √ √ 10, √ √10, √ √ 11, √ √14, √

52 minterm Bentuk prima √ 0,1 x x √ 0,2,8,10 x x x x √ 10,11,14,15 x x x x * * * * * * √ √ √ √ √ √ √ √ 0,1yang bersesuaian dengan term 000− w’x’y’ 0,2,8,10yang bersesuaian dengan term − 0 − 0 x’z’ 10,11,14,15yang bersesuaian dengan term 1 − 1 − wy f(w, x, y, z’) = w’x’y’ + x’z’ + wy

53 SOAL LATIHAN 1.Sederhanakan fungsi Boolean f(x,y,z) = (1,3,4,5,6) dengan Peta Karnaugh & Quine Mc-Cluskey 2.Sederhanakan fungsi Boolean f(x,y,z) = (4,6,7,15) dengan Quine Mc-Cluskey


Download ppt "ALJABAR BOOLEAN. Misalkan B adalah himpunan yang didefinisikan pada dua operator biner  dan  dan sebuah operator uner dan misalkan 0 dan 1 adalah dua."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google