Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

1 Kuliah Rangkaian Digital Kuliah 2: Aljabar Boolean Teknik Komputer Universitas Gunadarma.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "1 Kuliah Rangkaian Digital Kuliah 2: Aljabar Boolean Teknik Komputer Universitas Gunadarma."— Transcript presentasi:

1 1 Kuliah Rangkaian Digital Kuliah 2: Aljabar Boolean Teknik Komputer Universitas Gunadarma

2 Topik 2 – Aljabar Boolean Aturan-2 u/ menentukan logika digital, atau `switching algebra’ Terkait dengan nilai-2 Boolean – 0, 1 Terkait dengan nilai-2 Boolean – 0, 1 Nilai sinyal dinyatakan dengan variabel-2 – {X, Y, DIN, …} Nilai sinyal dinyatakan dengan variabel-2 – {X, Y, DIN, …} Perjanjian logika positif Tegangan analog (LOW, HIGH)  (0, 1) Tegangan analog (LOW, HIGH)  (0, 1) logika negatif – jarang digunakan logika negatif – jarang digunakan Operator-2: { ·, +, ‘,  } Aksioma-2 dan Teorema-2 … Membantu u/ mereduksi logika kompleks menjadi logika lebih sederhana – meningkatkan “area dan kecepatan” dari rangkaian digital Membantu u/ mereduksi logika kompleks menjadi logika lebih sederhana – meningkatkan “area dan kecepatan” dari rangkaian digital

3 Literal: sebuah variabel atau komplemennya X, X, DIN, TK_L X, X, DIN, TK_L Ekpresi: literals dikombinasikan dengan AND, OR, tanda kurung, komplementasi X+Y X+Y P  Q  R P  Q  R A + B  C A + B  C ((DIN  Z) + TK_L  A  B  C + Q5)  RESET ((DIN  Z) + TK_L  A  B  C + Q5)  RESET Persamaan: variabel = ekspresi P = ((DIN  Z) + TK_L  A  B  C + Q5)  RESET P = ((DIN  Z) + TK_L  A  B  C + Q5)  RESET Definisi: Ekspresi Boolean

4 Aksioma Aksioma kumpulan definisi dasar (A1-A5, A1’-A5’) minimal yang diasumsikan benar dan secara menyeluruh mendefinisikan aljabar switching kumpulan definisi dasar (A1-A5, A1’-A5’) minimal yang diasumsikan benar dan secara menyeluruh mendefinisikan aljabar switching Dapat digunakan untuk membuktikan teorema-2 aljabar switching lainnya (T1-T15). Dapat digunakan untuk membuktikan teorema-2 aljabar switching lainnya (T1-T15). (A1) X=0, if X  1 (A1’) X=1, if X  0 (A2) If X=0, then X’=1 (A2’) If X=1, then X’=0 (A3) 0 · 0 = 0 (A3’) = 1 (A4) 1 · 1 = 1 (A4’) = 0 (A5) 0 · 1 = 1 · 0 = 0 (A5’) = = 1 Each axiom has a dual

5 Teorema-2 variabel tunggal (T1-T5) Dibuktikan melalui induksi sempurna (perfect induction) Karena sebuah variabel switching hanya dapat mempunyai nilai 0 dan 1, kita dapat membuktikan sebuah teorema dengan melibatkan sebuah variabel tunggal X melalui peletakan sederhana: X = 0 atau X =1 Karena sebuah variabel switching hanya dapat mempunyai nilai 0 dan 1, kita dapat membuktikan sebuah teorema dengan melibatkan sebuah variabel tunggal X melalui peletakan sederhana: X = 0 atau X =1 Contoh: (T1) X + 0 = X X=0 : = 0  benar menurut aksioma A4’ X=0 : = 0  benar menurut aksioma A4’ X=1 : = 1  benar menurut aksioma A5’ X=1 : = 1  benar menurut aksioma A5’

6 Teorema-2 dua dan tiga variabel (T6-T11) Dualitas: Tes: 0 & 1, AND & OR  teorema-2 tetap benar? Tes: 0 & 1, AND & OR  teorema-2 tetap benar? Ya!! …kenapa? … setiap aksioma memiliki sebuah dual … Ya!! …kenapa? … setiap aksioma memiliki sebuah dual … Hati-2 dengan` urutan operator (operator precedence_’ – penggunaan tanda kurung

7 Teorema T6, T7 Mirip dengan hukum-2 commutatif dan assosiatif untuk penjumlahan dan perkalian dari bilangan-2 bulat dan riil (Commutatif) (T6) X + Y = Y + X (T6’) X · Y = Y · X (Assosiatif) (T7) (X + Y) + Z = X + (Y + Z) (T7’) (X · Y) · Z = X · (Y · Z)

8 Teorema T8 (Distributif) (T8) X · Y + X · Z = X · (Y + Z) (T8’) (X + Y) · (X + Z) = X + Y · Z Jumlah dari perkalian (sum-of-products (SOP)) vs. Perkalian dari jumlah (product-of-sums (POS)) V · W · Y + V · W · Z + V · X · Y + V · X · Z = V · (W + X) · (Y + Z) (bentuk SOP) (bentuk POS) (bentuk SOP) (bentuk POS) (V · W · X) + (Y · Z ) = (V + Y) · (V + Z) · (W + Y) · (W + Z) · (X + Y) · (X + Z) (V · W · X) + (Y · Z ) = (V + Y) · (V + Z) · (W + Y) · (W + Z) · (X + Y) · (X + Z) Tergantung pd masalah, pilih yang lebih sederhana Yang mana lebih logis menurut anda? Yang mana lebih logis menurut anda?

9 Teorema T9, T10 (Covering) (T9) X + X · Y = X (T9’) X · (X + Y) = X (Kombinasi) (T10) X · Y + X · Y’ = X (T10’) (X + Y) · (X + Y’) = X Perguna dalam penyederhanaan fungsi-2 logika

10 Teorema T11 (konsensus) (T11) X · Y + X’ · Z + Y · Z = X · Y + X’ · Z (T11’) (X + Y) · ( X’ + Z) · (Y + Z) = (X + Y) · (X’ + Z) Pada T11 term Y·Z disebut konsensus dari term X·Y dan X’·Z: Jika Y · Z = 0, maka T11 pasti benar Jika Y · Z = 0, maka T11 pasti benar Jika Y · Z = 1, maka X · Y atau X’ · Z harus 1 Jika Y · Z = 1, maka X · Y atau X’ · Z harus 1 Sehingga term Y · Z : redundan dan harus dibuang Sehingga term Y · Z : redundan dan harus dibuang Tugas buktikan (T11’)?

11 Teorema-2 N-variabel (T12 – T15) Pembuktian menggunakan induksi terbatas (finite induction) Paling penting: teorema-2 DeMorgan (T13 & T13’)

12 Contoh Teorema DeMorgan: NAND (X · Y)’ = (X’ + Y’) (X · Y)’ dirujuk umumnya sebagai gerbang NAND pada ekspresi gerbang logika (X · Y)’ dirujuk umumnya sebagai gerbang NAND pada ekspresi gerbang logika 

13 Contoh Teorema DeMorgan: NOR (X + Y)’ = (X’ · Y’) (X + Y)’ dirujuk sebagai gerbang NOR pada ekspresi gerbang logika (X + Y)’ dirujuk sebagai gerbang NOR pada ekspresi gerbang logika 

14 Gerbang-2 NAND & NOR Menggunakan jumlah rangk. yang lebih sedikit ketimbang gerbang-2 AND & OR Fan-in & Fan-out NAND AND Extra ciruits

15 Generalisasi Teorem DeMorgan (T14) [F(X 1, X 2,..., X n, +, ·)]’ = F(X 1 ’, X 2 ’,..., X n ’, ·, +) Diberikan suatu ekspresi logika n-variabel, komplemennya dapat ditemukan melalui “swapping + dan · dan penkomplemenan seluruh variabel Contoh: F(W,X,Y,Z) = (W’ · X) + (X · Y) + (W · (X’ + Z’)) F(W,X,Y,Z) = (W’ · X) + (X · Y) + (W · (X’ + Z’)) = ((W)’ · X) + (X · Y) + (W · ((X)’ + (Z)’)) = ((W)’ · X) + (X · Y) + (W · ((X)’ + (Z)’)) [F(W,X,Y,Z)]’ = ((W’)’ + X’) · (X’ + Y’) · (W’ + ((X’)’ · (Z’)’)) [F(W,X,Y,Z)]’ = ((W’)’ + X’) · (X’ + Y’) · (W’ + ((X’)’ · (Z’)’)) Gunakan (T4) (X’)’ = X, pers. Diatas dpt disederhanakan menjadi: Gunakan (T4) (X’)’ = X, pers. Diatas dpt disederhanakan menjadi: [F(W,X,Y,Z)]’ = (W + X’) · (X’ + Y’) · (W’ + (X · Z)) [F(W,X,Y,Z)]’ = (W + X’) · (X’ + Y’) · (W’ + (X · Z))

16 REVISI Dualitas Setiap teorema pd aljabar switching tetap benar jika 0 & 1 di-swapped dan · & + di-swapped. Benar karena seluruh duals dari seluruh aksioma adalah benar, sehingga duals dari seluruh teorema aljabar switching dapt dibuktikan dengan menggunakan duals aksioma-2. Kita dapat menuliskan kembali teorema DeMorgan sbg [F(X 1, X 2, …., X n )]’ = F D (X 1 ’, X 2 ’, …., X n ’) [F(X 1, X 2, …., X n )]’ = F D (X 1 ’, X 2 ’, …., X n ’) Catatan … A · B + C  A + B · C A · B + C  A + B · C  (A + B) · C  (A + B) · C Duality bukan berarti ekuivalensi !! Duality bukan berarti ekuivalensi !!

17 Manipulasi ekspresi Boolean Bagaimana menyatakan (A · B + C)? Gunakan teorema DeMorgan … A · B + C = ( ( A · B + C )’ )’ A · B + C = ( ( A · B + C )’ )’ = ( ( A · B )’ · C’ )’ = ( ( A · B )’ · C’ )’ = ( ( A’ + B’ ) · C’ )’ = ( ( A’ + B’ ) · C’ )’  ( A · B + C )’ = ( A’ + B’ ) · C’

18 Aksioma-2 dan Teorema-2 Aljabar Switching (A1) X = 0 if X  1(A1’) X = 1 if X  0 (A2) If X = 0, then X’ = 1(A2’) if X = 1, then, X’ = 0 (A3) 0. 0 = 0 (A3’) = 1 (A4) 1. 1 = 1(A4’) = 0 (A5) 0. 1 = 1. 0 = 0 (A5’) = = 1 (T1) X + 0 = X (T1’) X. 1 = X(Identities) (T2) X + 1 = 1 (T2’) X. 0 = 0(Null elements) (T3) X + X = X (T3’) X. X = X(Idempotency) (T4) (X’)’ = X(Involution) (T5) X + X’ = 1(T5’) X. X’ = 0(Complements) (T6) X + Y = Y + X (T6’) X. Y = Y. X(Commutativity) (T7) (X + Y) + Z = X + (Y + Z)(T7’) (X. Y). Z = X. (Y. Z)(Associativity) (T8) X. Y + X. Z = X. (Y + Z)(T8’) (X + Y). (X + Z) = X + Y. Z(Distributivity) (T9) X + X. Y = X (T9’) X. (X + Y) = X(Covering) (T10) X. Y + X. Y’ = X(T10’) (X + Y). (X + Y’) = X(Combining) (T11) X. Y + X’. Z + Y. Z = X. Y + X’. Z (T11’) (X + Y). ( X’ + Z). (Y + Z) = (X + Y). (X’ + Z)(Consensus) (T12) X + X X = X(T12’) X. X..... X = X(Generalized idempotency) (T13) (X 1. X X n )’ = X 1 ’ + X 2 ’ X n ’ (T13’) (X 1 + X X n )’ = X 1 ’. X 2 ’..... X n ’(DeMorgan’s theorems) (T14) [F(X 1, X 2,..., X n, +,.)]’ = F(X 1 ’, X 2 ’,..., X n ’,., +) (Generalized DeMorgran’s theorem)

19 Definisi lanjut – Ekspresi Boolean Term perkalian: Z’, (W · X · Y), (X · Y’ · Z), (W’ · Y’ · Z) Z’, (W · X · Y), (X · Y’ · Z), (W’ · Y’ · Z) Term penjumlahan: Z’, (W + X + Y), (X + Y’ + Z), (W’ + Y’ + Z) Z’, (W + X + Y), (X + Y’ + Z), (W’ + Y’ + Z) Ekspresi sum-of-products (SOP): Z’ + (W · X · Y) + (X · Y’ · Z) + (W’ · Y’ · Z) Z’ + (W · X · Y) + (X · Y’ · Z) + (W’ · Y’ · Z) Ekspresi product-of-sums (POS) : Z’ · (W + X + Y) · (X + Y’ + Z) · (W’ + Y’ + Z) Z’ · (W + X + Y) · (X + Y’ + Z) · (W’ + Y’ + Z) Term normal: term perkalian atau penjumlahan di dlmnya tidak ada variabel yang muncul lebih dari sekali Contoh-2 term-2 non-normal: W·X·X·Y’ W+W+X’+Y X·X’·Y Contoh-2 term-2 normal: W·X·Y’ W+X’+Y 0

20 Minterm dan Maxterm Minterm: Sebuah minterm n-variabel merupkan sebuah term perkalian normal dgn n literals. Sebuah minterm n-variabel merupkan sebuah term perkalian normal dgn n literals. Terdapat 2 n term perkalian yang demikian. Terdapat 2 n term perkalian yang demikian. Contoh-2 minterm 4-variabel: Contoh-2 minterm 4-variabel: W · X’ · Y’ · Z’ W · X · Y’ · Z W’ · X’ · Y · Z’ W · X’ · Y’ · Z’ W · X · Y’ · Z W’ · X’ · Y · Z’ Dapat didefinisikan sebagai sebuah term perkalian yang = 1 pada benar-benar satu baris dari tabel kebenaran Dapat didefinisikan sebagai sebuah term perkalian yang = 1 pada benar-benar satu baris dari tabel kebenaran Maxterm: Sebuah maxterm n-variabel merupakan sebuah term penjumlahan normal dengan n literals. Sebuah maxterm n-variabel merupakan sebuah term penjumlahan normal dengan n literals. Terdapat 2 n term-2 penjumlahan yang demikian. Terdapat 2 n term-2 penjumlahan yang demikian. Contoh-2 maksterm 4-variabel: Contoh-2 maksterm 4-variabel: W’ + X’ + Y + Z’ W + X’ + Y’ + Z W’ + X’ + Y + Z W’ + X’ + Y + Z’ W + X’ + Y’ + Z W’ + X’ + Y + Z Dpt didefiniskan sebgaia sebuah term penjumlahan yang = 0 pada benar-2 satu baris dari tabel kebenaran Dpt didefiniskan sebgaia sebuah term penjumlahan yang = 0 pada benar-2 satu baris dari tabel kebenaran

21 Minterms/Maxterms u/ sebuah fungsi 3- variabel

22 Representasi Penjumlahan Kanonis Minterm i : Baris i dari tabel kebenaran yang memiliki keluaran 1 1 Baris i dari tabel kebenaran yang memiliki keluaran 1 1 Penjumlahan Kanonis (Canonical sum): Jumlah dari seluruh minterms u/ suatu fungsi yang diberikan (tabel kebenaran) Jumlah dari seluruh minterms u/ suatu fungsi yang diberikan (tabel kebenaran) Notasi  : Contoh:  X,Y,Z (0, 3, 4, 6, 7) Contoh:  X,Y,Z (0, 3, 4, 6, 7) = X’·Y’·Z’ + X’·Y·Z + X·Y’·Z’ + X·Y·Z’ + X·Y·Z Representasi ini biasa direalisasi dgn menggunakan rangkaian logika AND-OR 2 level dengan inverter-2 pada masukan-2 gerbang AND, sperti yang diperlukan Representasi ini biasa direalisasi dgn menggunakan rangkaian logika AND-OR 2 level dengan inverter-2 pada masukan-2 gerbang AND, sperti yang diperlukan

23 Contoh penjumlahan kanonis Fungsi direpresenyasikan dengan tabel kebenaran: mempunyai representasi penjumlahan kanonis sbb: F =  X,Y,Z (0, 3, 4, 6, 7) F =  X,Y,Z (0, 3, 4, 6, 7) = X’·Y’·Z’ + X’·Y·Z + X·Y’·Z’ + X·Y·Z’ + X·Y·Z = X’·Y’·Z’ + X’·Y·Z + X·Y’·Z’ + X·Y·Z’ + X·Y·Z Row X Y Z F Daftar Minterm menggunakan notasi  Penjumlahan minterms kanonis secara aljabar

24 Representasi perkalian kanonis Maxterm i: baris i dari tabel kebenara yang mempunyai keluaran 0 baris i dari tabel kebenara yang mempunyai keluaran 0 Pekalian kanonis: Perkalian dari maxterms u/ suatu fungsi yang diberikan (tabel kebenaran) Perkalian dari maxterms u/ suatu fungsi yang diberikan (tabel kebenaran) Notasi  : Contoh:  X,Y,Z (1,2,5) Contoh:  X,Y,Z (1,2,5) = (X + Y + Z’). (X + Y’ + Z). (X’ + Y + Z’) Representasi direalisasi dgn menggunakan rangk. logika OR-AND 2 –levels dengan inverter-2 pada masukan-2 gerbang OR, seperti dibutuhkan Representasi direalisasi dgn menggunakan rangk. logika OR-AND 2 –levels dengan inverter-2 pada masukan-2 gerbang OR, seperti dibutuhkan

25 Contoh perkalian kanonis Fungsi direpresentasi dengan tabel kebenaran: memiliki representasi perkalian kanonis: F =  X,Y,Z (1,2,5) = (X + Y + Z’) · (X + Y’ + Z) · (X’ + Y + Z’) = (X + Y + Z’) · (X + Y’ + Z) · (X’ + Y + Z’) Row X Y Z F Daftar Maxterm  notasi  Perkalian maxterms kanonis secara aljabar

26 Konversi antara daftar Minterm/Maxterm Dapatkan komplemen dari set … Contoh:  X,Y,Z (0,1,2,3) =  X,Y,Z (4,5,6,7)  X,Y (1) =  X,Y (0,2,3)  W,X,Y,Z (0,1,2,3,5,7,11,13) =  W,X,Y,Z (4,6,8,9,12,14,15)


Download ppt "1 Kuliah Rangkaian Digital Kuliah 2: Aljabar Boolean Teknik Komputer Universitas Gunadarma."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google