TEORI BILANGAN

Materi Teori Bilangan Pengertian Bilangan Lambang Bilangan Riwayat Perkembangan Bilangan Sistem Numerasi Macam – macam Bilangan Operasi Hitung Bilangan

Pengertian Bilangan Bilangan adalah suatu hal yang penting dalam matematika. Begitu penting dan erat hubungannya dengan matematika, sehingga kalau kita membicarakan matematika maka dengan sendirinya bilangan terlibat di dalamnya. Dalam matematika perkataan bilangan bisa digunakan untuk menyatakan jumlah atau banyaknya sesuatu. Umpamanya kita lihat dalam kalimat “ Anak saya tiga orang “, artinya anak saya banyaknya tiga orang.

Lambang Bilangan Penulisan bilangan diberi lambang yang disebut lambang bilangan. Lambang bilangan itu bermacam – macam dalam sejarah kita mengenal sistem numerasi (angka) Mesir, Babylonia, yunani, cina jepang, Rumawi, Arab, dan lain – lain. Yang lazim digunakan sekarang adalah sistem angka hindu – arab. Lambang bilangan disebut juga angka.

Riwayat Perkembangan Bilangan Pada mulanya di zaman purbakala banyak bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang sungai-sungai besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika, bangsa Babilonia sepanjang sungai Tigris dan Eufrat, bangsa Hindu sepanjang sungai Indus dan Gangga, bangsa Cina sepanjang sungai Huang Ho dan Yang Tze.

Riwayat Perkembangan Bilangan Bangsa-bangsa itu memerlukan keterampilan untuk mengendalikan banjir, mengeringkan rawa-rawa, membuat irigasi untuk mengolah tanah sepanjang sungai menjadi daerah pertanian untuk itu diperlukan pengetahuan praktis, yaitu pengetahuan teknik dan matematika bersama-sama.

Riwayat Perkembangan Bilangan Sejarah menunjukkan bahwa permulaan Matematika berasal dari bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai tersebut. Mereka memerlukan perhitungan, penanggalan yang bisa dipakai sesuai dengan perubahan musim. Diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang dimiliki. Peningkatan peradaban memerlukan cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan dan pemungutan pajak. Untuk keperluan praktis itu diperlukan bilangan-bilangan.

Awal Bilangan Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah namun dalam perkembangannya para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan Bilangan dahulunya digunakan sebagai symbol untuk menggantikan suatu benda

Sistem Numerasi Sistem Numerasi Bangsa Ijir Perhitungan yang paling terdahulu dan paling sederhana adalah perhitungan dengan memakai korespondensi 1-1, sistem ini disebut sistem ijir atau tally, caranya dengan memakai goresan atau tongkat untuk satu objek yang dihitung.

Sistem Numerasi Contoh Sistem Ijir Bila seseorang memepunyai empat ekor kambing, maka ia akan menyusun tongkat (goresan) sebanyak 4 buah, yaitu

Sistem Numerasi Sistem numerasi Mesir Purba Tulisan Mesir Kuno ini berkembang dari sistem ijir yang dikelompokkan sepuluh-sepuluh menjadi bilangan dengan dasar sepuluh. Lambang – lambangnya adalah :

Sistem Numerasi Lambang numerasi Mesir Purba Vertical staff Heel Bone ( tulang lutut ) Scrool ( gulungan surat ) Lotus flower ( bunga teratai ) Pointing finger ( telunjuk ) Polliwing / burbot ( ikan burbot ) A man in astonishment ( orang keheranan )

Sistem Numerasi Sistem Numerasi Babylonia Untuk bilangan kecil di bawah 60 dituliskan dengan menggunakan dasar 10. Untuk bilangan yang lebih besar dari 60 dipergunakan bilangan dasar 60.

Sistem Numerasi Lambang Numerasi Babylonia

Sistem Numerasi Sistem Numerasi Alphabet Yunani Bilangan dasar yang mereka pergunakan adalah 10. Huruf – huruf itu mempunyai nilai sebagai berikut :

Sistem Numerasi Lambang Numerasi Alphabet Yunani

Sistem Numerasi Sistem Numerasi Cina – Jepang Angka tradisional Cina–Jepang menggunakan pengelompokkan dengan bilangan dasar 10. Sistem angka ini mempunyai sistem pengelompokan perkalian (multiplikatif).

Sistem Numerasi Lambang Numerasi Cina – Jepang

Sistem Numerasi Sistem Numerasi Maya Suku Indian Maya dan Inca, di Amerika Selatan zaman dahulu kala telah terkenal memiliki peradaban yang tinggi. Sistem ini dibandingkan dengan sistem numerasi yang lain telah adanya lambang nol. Lambang-lambang dari sistem numerasi ini adalah gabungan antara garis dan noktah. Bilangan dasarnya adalah 20.

Sistem Numerasi Lambang Numerasi Maya

Sistem Numerasi Sistem Numerasi Romawi Sistem romawi ini memakai dasar 10. Lambang – lambang dasarnya adalah :   1 = I 5 = v 10 = x 50 = L 100 = C 500 = D 1000 = M Contoh : 499 = (500 – 100) + (100+10) + (10 -1) = CDXCIX

Sistem Numerasi Sistem Numerasi Attika Sistem ini berkembang sekitar abad ketiga S.M. Tulisan ini ditemukan di daerah reruntuhan Yunani yang bernama Attika. I = 100 M = 104 = 101 H = 102 X = 103

Sistem Numerasi Sistem Numerasi Arab Bangsa Hindu-Arab berasal dari India sekitar tahun 300 SM dan mengalami banyk perubahan yang dipengaruhi oleh penggunaannya di Babilonia dan Yunani.Namun system Hindu-Arab dirasakan lebih efisien,sehingga sekitar tahun 1500 sistem ini banyak digunakan secara umum.meskipun tanpa meninggalkan sepenuhnya system Romawi sampai saat ini. Adapun sifat-sifatnya: Menggunakan 10 angka / digit yaitu 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Menggunakan sistem bilangan dasar sepuluh (basis 10). Artinya setiap sepuluh satuan dikelompokkan menjadi satu puluhan, setiap sepuluh puluhan menjadi satu ratusan, dan seterusnya. Bilangan-bilangan yang lebih besar daripada 9 dinyatakan sebagai bentuk suku-suku yang merupakan kelipatan dari perpangkatan 10. Antar suku dipisahkan oleh tanda plus ( + ). Misalnya :  10 = 1x101+0x100 205= 2x102+0x100+5x100

Macam – Macam Bilangan Bilangan Kardinal Bilangan Kardinal adalah bilangan yang dipergunakan untuk menyatakan banyak dari suatu objek. Misalnya banyak anggota dari suatu himpunan, banyaknya murid dalam suatu kelas. Contoh : Jumlah mahasiswa di STKIP Siliwangi ada 5000 orang.

Macam – Macam Bilangan Bilangan Ordinal Bilangan Ordinal adalah bilangan yang dipergunakan untuk menyatakan urutan (rank). Contoh : Saya merupakan anak ke-2. Dalam olimpiade Barcelona Tim Indonesia menduduki urutan ke-18

Macam – Macam Bilangan Bilangan Asli Bilangan Asli adalah bilangan yang dipergunakan untuk membilang (menghitung satu-satu). Kita membilang suatu objek mulai dari satu, dua, tiga, … (maju dengan penambahan satu-satu).

Macam – Macam Bilangan Bilangan Asli Jadi Himpunan bilangan asli yang biasa di notasikan dengan N = {1,2,3,4, …} Dalam sistem bilangan asli, relasi “=“ merupakan relasi ekivalen. Sebab untuk setiap a, b, dan c bilangan asli, dipenuhi: (1) a = a (sifat refleksif) (2) Jika a = b, maka b = a (sifat Simetrik) (3) Jika a = b & b = c, maka a = c (sifat Transitif)

Macam – Macam Bilangan Bilangan Asli Dalam sistem bilangan dipenuhi juga hukum trichotomi Himpunan Bilangan asli dapat digolongkan menjadi : Bilangan genap positif, Bilangan ganjil positif, Bilangan prima (positif), Bilangan Tersusun (komposit), Bilangan Sempurna.

Macam – Macam Bilangan Bilangan Cacah Bilangan Bulat Bilangan Rasional Bilangan Irasional Bilangan Real Bilangan Imajiner Bilangan Kompleks

Diagram Venn Sistem Bilangan C {Bilangan Kompleks} R {Bilangan Real} Q {Bilangan Rasional} Z {Bilangan Bulat} W {Bilangan Cacah} N {Bilangan Asli}

Operasi Hitung Pada Bilangan Operasi ( pengerjaan ) hitung pada sistem bilangan ada empat macam, yaitu operasi tambah ( + ), operasi kurang ( - ), operasi kali ( x ), dan operasi bagi ( : ).

Operasi Hitung Pada Bilangan Operasi Uner Operasi uner atau operasi monar adalah operasi yang berkenaan dengan sebuah unsur. Operasi ini dapat dipandang sebagai pemetaan o : S S, yaitu pemetaan yang mengkaitkan antara satu unsur di S dengan tepat satu unsur di S lagi. Contoh : Operasi penarikan akar

Operasi Hitung Pada Bilangan Operasi Biner Operasi Biner adlah operasi yang melibatkan dua buah unsur. Operasi Biner dapat dipandang sebagai pemetaan yang mengkaitkan antara himpunan s x s dengan himpunan S. Biasanya ditulis o : s x s S

Sifat – sifat Operasi Hitung Ketertutupan Komutatif ( pertukaran ) Asosiatif ( pengelompokan ) Unsur satuan Unsur Invers Distributif (kali terhadap tambah)

Hukum penghilangan ( Hukum Kanselasi ) Pandanglah a, b, dan c bilangan real Jika a + c = b + c , maka a = b Jika ac = bc dengan c ≠ 0, maka a = b

Urutan Pengerjaan Hitung Dahulu dalam matematika lama ada perjanjian bahwa pengerjaan hitung haruslah diurutkan dari operasi kali, menyusul operasi bagi, operasi tambah, kemudian operasi kurang.

Operasi Hitung yang didefinisikan ( Khusus ) Contoh : Misalkan kita adakan lambang operasi baru “ * “ ( bintang ) yang mempunyai arti “ kalikanlah bilangan pertama dengan 2 kemudian tambahkanlah hasilnya dengan bilangan kedua “, maka nilai dari operasi berikut ini adalah sebagai berikut :

Operasi Hitung yang didefinisikan ( Khusus ) * 4 = 2.3 + 4 = 10 b. ( * 2)*3 = (2.5 + 2 )*3 = 12 * 3 = 2.12 + 3 = 27 5*(2*3) = 5 * (2.2 + 3) = 5*7 = 2.5 + 7 = 17