Matematika Ekonomi PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE-1 DAN TERAPANNYA Toni Bakhtiar Institut pertanian bogor 2012

Pendahuluan Dewasa ini penggunaan PD dalam memodelkan gerak dan perubahan sudah dilakukan di semua bidang ilmu. PD mengekspresikan laju perubahan suatu variabel sebagai fungsi dari variabel itu sendiri pada waktu kini. Contoh: laju perubahan GDP sebanding dengan besarnya GDP waktu berjalan Laju perubahan x terhadap waktu t Konstanta laju pertumbuhan Besar GDP pada waktu t

Besar GDP pada saat awal, t = 0 Pendahuluan Solusi: GDP akan naik seiring waktu jika a > 0, dan akan turun jika a < 0. Di banyak situasi a mungkin dipengaruhi oleh banyak faktor seperti waktu, peubah sistem ekonomi itu sendiri, akumulasi pengetahuan, situasi internasional, dsb: Besar GDP pada saat awal, t = 0

Pengertian Suatu persamaan yang menyatakan hubungan antara fungsi x dengan satu atau lebih turunan-turunannya disebut persamaan diferensial. Contoh: Orde dari suatu PD adalah orde dari turunan tertinggi yang muncul dalam PD tersebut. Derajat dari suatu PD adalah pangkat dari turunan tertinggi pada PD tersebut.

Pengertian Contoh: Dalam kuliah ini dibahas PD orde-1 derajat-1.

Metode Pemisahan Variabel PD berbentuk dikatakan terpisahkan jika dapat ditulis dalam bentuk: Pemisahan peubah: Pengintegralan: Jika f(x) dan g(t) diketahui maka masalah integral di atas dapat diselesaikan dengan teknik penggintegralan seperti sudah dijelaskan di bab sebelumnya.

Metode Pemisahan Variabel Misalkan x(t) menyatakan besarnya konsumsi energi nasional pada saat t dan tumbuh dengan laju konstan 2 persen. Apa artinya?

Bentuk Umum PDL Orde-1 Koefisien konstan: a = konstanta Koefisien variabel: a = a(t) Suku konstan: b = konstanta Suku variabel: b = b(t)

Koefisien Konstan, Suku Konstan PDL dengan koefisien dan suku konstan: PD homogen: b = 0  solusi homogen PD takhomogen: b  0  solusi partikular Solusi umum = solusi homogen + solusi partikular: Nilai awal: y(0) = y0  Solusi khusus

Koefisien Konstan, Suku Konstan Solusi homogen disebut juga fungsi komplementer Solusi partikular disebut juga integral khusus atau integral partikular PD homogen disebut juga persamaan tereduksi dari PD lengkap Solusi khusus disebut juga solusi/penyelesaian definit

PDL Orde-1 Misalkan K(t) menyatakan banyaknya kapital yang tersedia di sektor industri pada saat t. Diasumsikan kapital terdepresiasi dengan laju  > 0 dan laju investasi konstan I0. Pernyataan ini dapat diformulasikan ke dalam bentuk PD: Solusi umum: Jika K(0) = K0 maka diperoleh solusi khusus

Steady State dan Kekonvergenan Steady state (keadaan tunak): suatu keadaan di mana peubah waktu t sudah tidak memengaruhi dinamika suatu sistem y. Solusi steady state ditentukan oleh dy/dt = 0. PDL orde-1 memiliki nilai steady state: Salah satu hal yang menjadi perhatian dalam dinamika ekonomi ialah mengetahui apakah sistem dinamik konvergen ke solusi steady state ataukah tidak. Untuk PDL orde-1, diperoleh

Model Penyesuaian Harga Fungsi permintaan dan fungsi penawaran suatu komoditas: Teori mengatakan bahwa harga naik jika terjadi excess demand dan harga turun jika terjadi excess supply. Oleh karena itu Diperoleh solusi: Asalkan (b + ) > 0, jelas

Model Penyesuaian Harga Harga kesetimbangan: Model pergerakan harga: Solusi khusus: Harga awal:

Model Penyesuaian Harga

Koefisien Variabel, Suku Variabel PDL orde-1 dengan koefisien dan suku variabel: Solusi umum:

PD Homogen Jika b(t) = 0 maka disebut PD homogen: Diperoleh solusi umum: Contoh: tentukan solusi umum dari PD berikut

PD Takhomogen Jika b(t)  0 maka disebut PD takhomogen: Kalikan kedua ruas dengan expA(t) = exp( a(t) dt) diperoleh: Karena maka sehingga

PD Takhomogen Solusi umum: Atau:

PD Takhomogen Tentukan solusi umum dan solusi khusus dari PD berikut:

PD Taklinear Metode pemisahan variabel PD Eksak Substitusi sehingga menjadi PD linear  PD Bernoulli

PD Eksak 𝑑𝐹= 𝐹 𝑥 𝑑𝑥+ 𝐹 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 =− 𝑁 𝑥,𝑡 𝑀 𝑥,𝑡 ⇔𝑀 𝑥,𝑡 𝑑𝑥+𝑁 𝑥,𝑡 𝑑𝑡=0. Misal diberikan fungsi dua variabel F = F(x,t). Diferensial total dari F diberikan oleh: Tinjau PD dalam bentuk: PD di atas disebut eksak jika ruas kiri PD tersebut merupakan diferensial total dari suatu fungsi F = F(x,t), yaitu berlaku: 𝑑𝐹= 𝐹 𝑥 𝑑𝑥+ 𝐹 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 =− 𝑁 𝑥,𝑡 𝑀 𝑥,𝑡 ⇔𝑀 𝑥,𝑡 𝑑𝑥+𝑁 𝑥,𝑡 𝑑𝑡=0. 𝐹 𝑥 =𝑀 𝑥,𝑡 𝐹 𝑡 =𝑁(𝑥,𝑡) 𝑑𝐹=𝑀 𝑥,𝑡 𝑑𝑥+𝑁 𝑥,𝑡 𝑑𝑡.

PD Eksak Karena Fxt = Ftx maka Mt = Nx. Jadi Mt = Nx merupakan syarat perlu dan cukup agar PD eksak. Contoh: periksa keeksakannya:

Solusi PD Eksak 𝐹 𝑥,𝑡 = 𝑀 𝑥,𝑡 𝑑𝑥+𝑓 𝑡 . 𝐹 𝑥,𝑡 = 𝑁 𝑥,𝑡 𝑑𝑡+𝑔 𝑥 . 𝐹 𝑥,𝑡 = 𝑀 𝑥,𝑡 𝑑𝑥+𝑓 𝑡 . Karena Fx = M(x,t) maka Karena Ft = N(x,t) maka Solusi PD eksak: F(x,t) = C. Contoh: 𝐹 𝑥,𝑡 = 𝑁 𝑥,𝑡 𝑑𝑡+𝑔 𝑥 .

Solusi PD Eksak

Solusi PD Eksak

Faktor Pengintegralan Kadang-kadang persamaan diferensial takeksak dapat dikonversi menjadi eksak dengan mengalikan setiap sukunya dengan faktor pengintegralan. PD 2t dy + y dt = 0 takeksak karena Mt  Ny. Dengan mengalikan setiap suku dengan faktor pengintegralan y, diperoleh PD eksak:

Faktor Pengintegralan

Faktor Pengintegralan Tentukan faktor pengintegralannya:

Persamaan Bernoulli Persamaan Bernoulli adalah PD taklinear berbentuk: R = R(t), T = T(t), m  0, m  1. Dengan substitusi z = y1m, persamaan Bernoulli dapat diubah menjadi PD linear

Persamaan Bernoulli Contoh:

Diagram Fase Adalah sangat memudahkan apabila model-model ekonomi yang dinyatakan dalam bentuk PD dapat diselesaikan secara eksplisit dalam bentuk fungsi dasar sehingga sifat-sifat dari solusi tersebut dapat diketahui. Namun sayangnya kebanyakan PD tidak mudah diselesaikan atau ditemukan solusi kuantitatifnya. Situasi-situasi berikut biasanya terjadi: (i) solusi eksplisit tidak mungkin ditemukan, dan (ii) persamaan memuat parameter atau bahkan fungsi yang belum dapat ditentukan. Pendekatan berbeda harus dilakukan untuk memelajari perilaku solusinya yaitu dengan menguji sifat-sifat kualitatifnya.

Diagram Fase Banyak PD yang muncul di bidang ekonomi memiliki bentuk PD mandiri (autonomous): Diagram fase merupakan representasi geometrik dari variabel x terhadap variabel di bidang- , yang disebut sebagai bidang fase. Kurva yang terbentuk dalam bidang fase disebut sebagai garis fase. Diagram fase sangat bermanfaat karena dapat digunakan untuk memelajari sifat-sifat dari solusi PD mandiri.

Diagram Fase Di atas sumbu-x, x(t) merupakan fungsi naik. x membesar jika t membesar. Bergerak dari kiri ke kanan. Di bawah sumbu-x, x(t) merupakan fungsi turun. x mengecil jika t membesar. Bergerak dari kanan ke kiri. a merupakan titik kesetimbangan (stabil asimtotik)

Diagram Fase

Diagram Fase PD orde-1: Solusi:

Model Akumulasi Utang Dalam beberapa tahun terakhir banyak negara mengalami defisit anggaran berkepanjangan. Hal ini mengakibatkan peningkatan utang nasional secara dramatis yang dikhawatirkan menimbulkan kebankrutan. Apakah kebankrutan merupakan akibat dari defisit anggaran yang berkepanjangan? Apakah negara-negara yang mengalami defisit berkepanjangan akan selalu menuju kebankrutan? Pertanyaan-pertanyaan tersebut dapat dijawab dengan menganalisis dinamika akumulasi utang dan pertumbuhan pendapatan.

Model Akumulasi Utang Misalkan D(t) adalah besarnya utang (dolar) dan Y(t) besarnya pendapatan nasional (GDP) pada saat t (dolar). Dengan menyatakan semua peubah dalam dolar maka faktor inflasi dapat diabaikan. Karena laju perubahan utang adalah defisit itu sendiri, diasumsikan bahwa besarnya defisit sebanding dengan besarnya pendapatan nasional: Pertumbuhan pendapatan nasional diasumsikan memenuhi: Solusi bagi Y:

Model Akumulasi Utang Diperoleh PDL orde-1 dengan suku variabel: Solusi: Terlihat bahwa utang akan meningkat takterbatas seiring waktu. Misalkan diasumsikan tingkat suku bunga konstan sebesar r. Rasio pembayaran bunga pinjaman rD(t) terhadap pendapatan nasional Y(t) diberikan oleh:

Model Akumulasi Utang Perhatikan bahwa: Jika rb/g < 1 maka dalam jangka panjang, bagian dari pendapatan yang digunakan untuk membayar bunga lebih kecil daripada pendapatan itu sendiri. Ini merupakan kabar baik karena hal tersebut berarti perekonomian, meskipun mengalami defisit sepanjang waktu, selalu mampu membayar bunga dan kebankrutan tidak akan pernah terjadi. Jika rb/g > 1 maka perekonomian akan konvergen ke suatu situasi di mana pembayaran bunga melebihi pendapatan nasional. Situasi akan membawa perekonomian ke arah kebankrutan jika defisit terus berlanjut.

Model Akumulasi Utang Perhatikan bahwa: b/g merupakan rasio pertumbuhan utang terhadap pertumbuhan pendapatan nasional. jika terjadi peningkatan pendapatan nasional sebesar 1 dolar maka akan terjadi peningkatan utang sebesar b/g dolar. jika pendapatan nasional tumbuh lebih cepat daripada utang maka rasio utang dan pendapatan selalu kurang dari 1. Dan karena tingkat suku bunga lazimnya kurang dari 1 maka rb/g < 1.

Model Pertumbuhan Solow Model Domar: proses produksi hanya dipengaruhi oleh kapital (K). Labor (L) diasumsikan merupakan proporsi yang tetap dari K. Model Solow: proses produksi dipengaruhi oleh kapital (K) dan labor (L) dengan berbagai proporsi. Asumsi: Fungsi F diasumsikan linear homogen orde-1:

Model Pertumbuhan Solow Output dari suatu perekonomian dapat dikonsumsi atau disimpan: Stok kapital K akan naik seiring naiknya investasi: Investasi tak lain adalah output yang disimpan: I = sY. Dengan demikian: Karena k = K/L, maka Jika diasumsikan: maka

Model Pertumbuhan Ekonomi Model pertubuhan ekonomi sebuah negara berkembang: Volume produksi (output) X sebanding dengan persediaan kapital K dengan  disebut sebagai average productivity of capital. Pertumbuhan modal berasal dari tabungan dalam negeri dan bantuan luar negeri H, dengan  disebut sebagai savings rate. Populasi tumbuh secara eksonensial dengan laju . Diperoleh PDL:

Model Pertumbuhan Ekonomi Jika diasumsikan H(t) = H0et maka diperoleh solusi: Output per kapita: