Penyelidikan Operasi 1. Konsep Optimisasi

Kemampuan Yang Harus Dicapai: Tujuan Mata Kuliah: Membentuk dan menyelesaikan Model Matematika untuk memahami karakteristik dan menyelesaikan permasalahan-permasalahan optimisasi Kemampuan Yang Harus Dicapai: Mampu menganalisis permasalahan optimisasi, merancang model matematika yang dibutuhkan, dan mengevaluasi metode optimisasi yang sesuai, Prasyarat: Matematika Teknik II Pustaka Utama (Main References): Alkaff, A. Diktat Kuliah Penyelidikan Operasi, ITS Hillier and Lieberman., “Introduction to Operation Research”, 10th Ed, Mc Graw Hill International Edition, 2015 Taha, H.A., “Operation Research: an Introduction”, 8th Ed, Prentice Hall, 2006

Metode Kerja Masalah Nyata Model Matematika Penyelesaian Masalah variabel parameter tujuan kendala fungsi variabel dan parameter Masalah Nyata abstracting Model Matematika implementing solving interpreting Penyelesaian Masalah Penyelesaian Model nilai dari variabel Analisis Sensitivitas

Ilustrasi Permasalahan Optimasi Sistem pembangkit tenaga listrik : Tiga pembangkit dengan kapasitas supply 100, 80, 150 Tiga daerah yang membutuhkan daya listrik masing-masing 140, 90, 70 Biaya penyaluran per unit dari tiap pembangkit ke tiap-tiap daerah diketahui : Cari pola penyaluran yang meminimumkan biaya total penyaluran! 1 2 3 4 6 7 5 D P

Skema Persoalan Penyaluran Daya Listrik Pembangkit Daerah 140 1 4 100 1 6 ? ? 80 ? 2 ? 2 ? ? 3 ? 3

1. Penyusunan Model Matematika a. Variabel : - Daya yang disalurkan dari tiap pembangkit ke tiap daerah (𝑋 𝑖𝑗 ) : daya yang disalurkan dari pembangkit i ke daerah j - Biaya total penyaluran (𝑍) b. Parameter : - Kapasitas Pembangkit : 𝐾 1 =100, 𝐾 2 =80, 𝐾 3 =150 - Permintaan Daya : 𝑃 1 =140, 𝑃 2 =90, 𝑃 3 =70 - Biaya penyaluran : C= 4 6 2 7 3 5 1 4 6 Dimana 𝐶 𝑖𝑗 adalah biaya penyaluran per unit dari pembangkit 𝑖 ke daerah 𝑗

c. Tujuan (fungsi dari variabel dan parameter): Meminimumkan biaya total penyaluran Min 𝑍=4 𝑋 11 +6 𝑋 12 + ..... +6 𝑋 33 d. Kendala (fungsi dari variabel dan kendala): - Total daya yang dikirim dari tiap pembangkit tidak boleh lebih dari kapasitas pembangkit 𝑋 11 + 𝑋 12 + 𝑋 13 ≤ 𝐾 1 𝑋 21 + 𝑋 22 + 𝑋 23 ≤ 𝐾 2 𝑋 31 + 𝑋 32 + 𝑋 33 ≤ 𝐾 3

- Total daya yang dikirim ke tiap daerah tidak boleh kurang dari permintaan tiap daerah 𝑋 11 + 𝑋 21 + 𝑋 31 ≥ 𝑃 1 𝑋 12 + 𝑋 22 + 𝑋 32 ≥ 𝑃 2 𝑋 13 + 𝑋 23 + 𝑋 33 ≥ 𝑃 3 - Daya yang dikirim ke tiap daerah tidak boleh negative 𝑋 𝑖𝑗 ≥0

e. Bentuk Umum Model Matematika yang sesuai: Min Z= 𝑗=1 3 𝑖=1 3 𝐶 𝑖𝑗 𝑋 𝑖𝑗 Dengan Batasan: 𝑗=1 3 𝑋 𝑖𝑗 ≤ 𝐾 𝑖 𝑖=1,2,3 𝑖=1 3 𝑋 𝑖𝑗 ≥ 𝑃 𝑗 𝑗=1,2,3 𝑋 𝑖𝑗 ≥0 Model (Matematika) Transportasi

2. Penyelesaian Model Diselesaikan dengan metode transportasi, misalkan didapatkan : 𝑋 13 =70 𝑋 31 =140 𝑋 22 =80 𝑋 32 =10 Dan 𝑋 𝑖𝑗 yang lain = 0 Biaya penyaluran total 𝑍 adalah sebesar 560 (minimum dibanding alternatif lain)

Skema Penyelesaian Penyaluran Daya Listrik Pembangkit Daerah 140 1 4 100 1 6 ? ? 80 ? 2 ? 2 ? ? 3 70 ? 3

3. Interpretasi Penyelesaian Pembangkit 1 Menyalurkan Daya 70 MW Ke Daerah 3 Pembangkit 2 Menyalurkan Daya 80 MW Ke Daerah 2 Pembangkit 3 Menyalurkan Daya 140 MW Ke Daerah 1 dan 10 MW Ke Daerah 2 Kebutuhan Daya Di Semua Daerah Terpenuhi Kapasitas Pembangkit Masih Ada Yang Tersisa Yaitu Sebesar 30 MW Pada Pembangkit 1

4. Analisis Sensitivitas Bagaimana bila kapasitas pembangkit 1 berkurang menjadi 90 MW? Bagaimana bila kapasitas pembangkit 3 berkurang menjadi 130 MW? Apa yang terjadi bila biaya penyaluran dari pembangkit 1 ke daerah 2 naik dari 6 menjadi 7? Idem, bila turun dari 6 menjadi 5? Idem, bila turun dari 6 menjadi 2? Bagaimana bila permintaan daerah 3 berkurang menjadi 60 MW? Bagaimana bila permintaan daerah 3 meningkat menjadi 80 MW? Bagaimana bila permintaan daerah 1 meningkat dari 140 MW menjadi 150 MW?

Latihan 1 Sebuah perusahaan menghasilkan tiga jenis produk dengan menggunakan tiga jenis bahan baku. Untuk membuat produk pertama, dibutuhkan 1 unit bahan baku 1. Untuk membuat produk kedua, dibutuhkan 2 unit bahan baku 1, 1 unit bahan baku 2, dan 1 unit produk pertama. Untuk membuat produk ketiga, dibutuhkan 4 unit bahan baku 1, 1 unit bahan baku 2, 1 unit bahan baku 3, dan 1 unit produk kedua. Tersedia bahan baku 1 sebanyak 50 unit, bahan baku 2 sebanyak 20 unit, dan bahan baku 3 sebanyak 5 unit. Cari jumlah masing-masing produk yang harus dibuat agar perusahaan mendapat keuntungan maksimal. Keuntungan dari produk pertama sebesar 1 per unit, produk kedua sebesar 7 per unit, dan produk ketiga sebesar 15 per unit.

Skema Permasalahan

Variabel: Parameter: Kendala: Kriteria:

Model Matematika: Analisis Sensitivitas:

Latihan 2 Perusahaan membuat 2 jenis produk, akan menyusun rencana produksi untuk 3 bulan mendatang agar dapat memenuhi semua permintaan bulanan. Perusahaan bisa bekerja pada jam kerja biasa (RT) atau lembur (OT). Perusahaan dapat memproduksi lebih dari permintaan dan menyimpan hasilnya untuk dipergunakan bulan depan. Kapasitas produksi, permintaan, biaya produksi, biaya penyimpanan bulanan diberikan pada tabel Buat model matematika yang dapat dipergunakan untuk menyusun rencana produksi yang meminimumkan total biaya produksi dan biaya penyimpanan

Skema Permasalahan

Variabel: Parameter: Kendala: Kriteria:

Model Matematika: Analisis Sensitivitas:

Latihan 3 Perusahan pembuat pesawat terbang ingin memenuhi pesanan pesawat jet yang memenuhi spesifikasi khusus oleh pemesannya. Perusahaan ini mendapatkan permintaan pesanan dari tiga pelanggan. Namun, karena pabrik yang masih sibuk memenuhi pesanan sebelumnya, maka tidak semua pesanan bisa dikerjakan. Maka, sebuah keputusan harus dibuat pada berapa banyak pesawat yang dapat dikerjakan untuk tiap-tiap pemesan. Tabel di atas menunjukan biaya awal pembuatan pesawat, keuntungan yang diperoleh dari setiap pelanggan, kapasitas pabrik yang digunakan dalam pembuatan pesawat, dan pesanan maksimum dari setiap pelanggan. Cari banyaknya pesawat yang dapat diproduksi untuk setiap pelanggan agar keuntungannya maksimum.  Parameter Pelanggan 1 2 3 Biaya awal pembuatan $ 3 Million $ 2 Million Keuntungan tiap pesawat $ 0.8 Million Kapasitas pabrik yang digunakan 20% 40% Pesanan pesawat maksimum 5

Variabel: Banyaknya pesawat yang dibuat untuk pelanggan tertentu ( 𝑥 𝑖 ; 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑒𝑟) Pengerjaan permintaan pelanggan tertentu, untuk start-up cost ( 𝑦 𝑖 ; 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑏𝑖𝑛𝑎𝑟𝑦: 0  tidak dikerjakan, 1dikerjakan) Parameter: 1. Biaya awal pembuatan: Pelanggan 1 = $3 Million Pelanggan 2 = $2 Million Pelanggan 3 = 0 2. Keuntungan dari setiap pesawat: Pelanggan 1 = $2 Million Pelanggan 2 = $3 Million Pelanggan 3 = $0.8 Million 3. Kapasitas pabrik yang digunakan tiap pesawat: Pelanggan 1 = 20% Pelanggan 2 = 40% Pelanggan 3 = 20% 4. Order Maksimum: Pelanggan 1 = 3 Pelanggan 2 = 2 Pelanggan 3 = 5

Tujuan: Memaksimalkan keuntungan yang didapat dari produksi pesawat (keuntungan tiap pesawat dikurangi biaya awal produksi) 𝑀𝑎𝑥 𝑍=2 𝑥 1 +3 𝑥 2 +0,8 𝑥 3 −3 𝑦 1 −2 𝑦 2 Kendala: 20 𝑥 1 + 40𝑥 2 +20𝑥 3 ≤100 (Kapasitas produksi pabrik) 𝑥 1 ≤3 (Maximum order pelanggan 1) 𝑥 2 ≤2 (Maximum order pelanggan 2) 𝑥 3 ≤5 (Maximum order pelanggan 3) 𝑥 1 ≤𝑀 𝑦 1 (Menyatakan bahwa pengerjaan untuk pelanggan 1, jika pesanan pelanggan 1 dikerjakan, maka nilai 𝑦 1 =1, di mana nilai M adalah bilangan yang sangat besar) 𝑥 2 ≤𝑀 𝑦 2 (Menyatakan bahwa pengerjaan untuk pelanggan 2, jika pesanan pelanggan 2 dikerjakan, maka nilai 𝑦 2 =1, di mana nilai M adalah bilangan yang sangat besar)

Formulasi Model Matematika: Solusi: 𝑥 1 =0; 𝑥 2 =2; 𝑥 3 =1; 𝑦 1 =0; 𝑦 2 =1 Z = 4.8 Interpretasi: Memproduksi pesawat untuk pelanggan 1 sebanyak 0, pelanggan 2 sebanyak 2, pelanggan 3 sebanyak 1. Dengan keuntungan maksimum yang didapatkan adalah $4.8 million 𝑀𝑎𝑥 2 𝑥 1 +3 𝑥 2 +0,8 𝑥 3 −3 𝑦 1 −2 𝑦 2 𝑆𝑇 20 𝑥 1 + 40𝑥 2 +20𝑥 3 ≤100   𝑥 1 ≤3 𝑥 2 ≤2 𝑥 3 ≤5 𝑥 1 ≤𝑀 𝑦 1 𝑥 2 ≤𝑀 𝑦 2

Analisis Sensitivitas

Latihan 4 Sebuah perusahaan angkutan bus harus menyediakan supir untuk bus-busnya. Kebutuhan setiap jamnya bervariasi. Terdapat 3 jenis supir, yaitu supir part-time yang bekerja selama 4 jam dengan gaji $8/jam, supir full-time yang bekerja selama 8 jam secara kontinyu dengan gaji $12/jam, kemudian supir split-time yang bekerja 4 jam, kemudian istirahat 4 jam, dan kembali bekerja 4 jam dengan gaji $14/jam. Jumlah supir yang tersedia terbatas. Supir full-time dan split-time berasal dari penyedia jasa supir bus yang sama yaitu sebanyak 20 orang. Jumlah ketersediaan orang tersebut dapat ditambahkan dengan syarat menaikan gaji sebanyak 25% dari gaji awal. Sedangkan, untuk ketersediaan supir part-time sebanyak 10 orang. Setiap supir hanya dapat bekerja paling banyak 1 shift dalam 1 hari. Akan tetapi, shift yang dimulai pada akhir dari hari tersebut dapat dilanjutkan keesokan harinya. Berapa banyak supir yang dibutuhkan dari setiap jenisnya agar dapat memenuhi kebutuhan setiap harinya dengan biaya (gaji) paling sedikit?

Latihan 4

Variabel: 1. Banyaknya supir yang dibutuhkan dari setiap jenisnya pada periode waktu tertentu. a. ful-time  𝑓 𝑇 b. part-time  𝑝 𝑇 c. split-time  𝑠 𝑇 d. full-time tambahan  𝑛 𝑇 e. split-time tambahan  𝑚 𝑇 Parameter: 1. Gaji supir (part-time = $8/jam, full-time = $12/jam, split-time = $14/jam, full-time tambahan = $15/jam, split-time tambahan = $17.5/jam) 2. Kebutuhan akan supir pada tiap periode waktunya. ( 𝑑 𝑇 ) Ketersediaan supir part-time = 10 Ketersediaan supir full-time f dan split-time s = 20 𝑑 1 = 4 𝑑 2 = 8 𝑑 3 = 10 𝑑 4 = 7 𝑑 5 = 12 𝑑 6 = 4 𝑑 1 = 4 𝑑 2 = 8 𝑑 3 = 10 𝑑 4 = 7 𝑑 5 = 12 𝑑 6 = 4

Tujuan: Total biaya (gaji) minimum yang harus dikeluarkan perusahaan angkutan bus. 𝑍= 4 8 𝑝 1 +8 12 𝑓 1 +8 14 𝑠 1 +8 15 𝑛 1 +8 17.5 𝑚 1 +… + 4 8 𝑝 6 +8 12 𝑓 6 + 8 14 𝑠 6 +8 15 𝑛 6 +8 17.5 𝑚 6 Kendala: Jumlah supir yang bekerja pada periode waktu tertentu tidak boleh melebihi dari jumlah supir yang tersedia. 𝑓 1 + 𝑠 1 + 𝑓 2 + 𝑠 2 + 𝑓 3 + 𝑠 3 + 𝑓 4 + 𝑠 4 + 𝑓 5 + 𝑠 5 + 𝑓 6 + 𝑠 6 ≤20 𝑝 1 + 𝑝 2 + 𝑝 3 + 𝑝 4 + 𝑝 5 + 𝑝 6 ≤10 Jumlah supir yang bekerja pada periode waktu tertentu tidak boleh lebih sedikit dari permintaan supir pada periode waktu tersebut. 𝑓 1 + 𝑓 6 + 𝑝 1 + 𝑠 1 + 𝑠 5 + 𝑛 1 + 𝑛 6 + 𝑚 1 + 𝑚 5 ≥4 𝑓 2 + 𝑓 1 + 𝑝 2 + 𝑠 2 + 𝑠 6 + 𝑛 2 + 𝑛 1 + 𝑚 2 + 𝑚 6 ≥8 𝑓 3 + 𝑓 2 + 𝑝 3 + 𝑠 3 + 𝑠 1 + 𝑛 3 + 𝑛 2 + 𝑚 3 + 𝑚 1 ≥10 𝑓 4 + 𝑓 3 + 𝑝 4 + 𝑠 4 + 𝑠 2 + 𝑛 4 + 𝑛 3 + 𝑚 4 + 𝑚 2 ≥7 𝑓 5 + 𝑓 4 + 𝑝 5 + 𝑠 5 + 𝑠 3 + 𝑛 5 + 𝑛 4 + 𝑚 5 + 𝑚 3 ≥12 𝑓 6 + 𝑓 5 + 𝑝 6 + 𝑠 6 + 𝑠 4 + 𝑛 6 + 𝑛 5 + 𝑚 6 + 𝑚 4 ≥4

Model Matematika: Solusi: Interpretasi: 𝑀𝑎𝑥 𝑆𝑇 𝑝 1 =1; 𝑓 2 =8; 𝑝 3 =2; 𝑓 4 =7; 𝑝 5 =5; 𝑓 6 =3; 𝑝 6 =1 Dengan nilai 𝑍= 2016 Interpretasi: Menyediakan supir full time 8 orang untuk periode 2, 7 orang untuk periode 4, 3 orang untuk periode 6. Menyediakan supir part time 1 orang untuk periode 1 dan 6, 2 orang untuk periode 3. Mengeluarkan biaya sebesar $2,016 untuk membiayai gaji supir dalam satu hari. 𝑀𝑎𝑥 𝑍=4 𝑡=1 6 (8 𝑝 𝑡 +2(12 𝑓 𝑡 )+2(14 𝑠 𝑡 )+2(15 𝑛 𝑡 )+2(17.5 𝑚 𝑡 )) 𝑆𝑇 𝑓 𝑡 + 𝑓 𝑡−1 + 𝑝 𝑡 + 𝑠 𝑡 + 𝑠 𝑡−2 + 𝑛 𝑡 + 𝑛 𝑡−1 + 𝑚 𝑡 + 𝑚 𝑡−2 ≥ 𝑑 𝑇 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑡=1,2,3,4,5,6   𝑡=1 6 𝑓 𝑡 + 𝑠 𝑡 ≤20 𝑡=1 6 𝑝 𝑡 ≤10

Rencana Perkuliahan Konsep optimisasi Dasar-dasar matematika optimisasi Penyelesaian analitis persoalan optimisasi Penyelesaian numerik persoalan optimisasi: bisection, bisection with derivative, golden section, steepest descent, conjugate gradient, Newton Pemrograman linier: standar dan tidak standar Variasi pemrograman linier: integer, mixed, kuadratik, transportasi, penugasan, dan transhipment Pemrograman dinamik: standar, kontinyu, stokastik, pengaturan optimal, dan jangka panjang Metode Heuristik

Penilaian Tugas Mingguan (+/- 8 Tugas): 35-40% UTS, UAS/PAS: 50-60% Laporan Paparan UTS, UAS/PAS: 50-60% UTS/UAS: Buku Terbuka Partisipasi Kelas: 10% Tugas Mingguan Atau PAS Dikerjakan Kelompok @ 2 Orang Tugas Dinilai Berdasarkan: Substansi (Kompleksitas, Realistik, Kebenaran) Sistematika (Kelengkapan, Urutan) Kebahasaan Kerapian

Tugas 1 Kerjakan latihan 2 Ubah paparan ini menjadi tulisan dalam format word Cari persoalan optimasi sembarang dari mana saja Berikan diskripsi yang jelas tentang permasalahannya Definisikan dan simbolkan: variable yang harus dicari nilainya, parameter yang harus digunakan, kendala yang harus dipenuhi, dan kriteria yang harus dioptimalkan Buat model matematikanya Tentukan penyelesaiannya yaitu nilai dari variable yang dicari (sembarangan atau ambil dari sumber yang dipakai) Beri interpretasi terhadap penyelesaian tersebut, yaitu interpretasi dari nilai variable yang diperoleh Pikirkan sejumlah analisis sensitivitas yang mungkin terjadi pada permasalahan tersebut Dikumpulkan dalam bentuk softcopy lewat email ke abealkaff@gmail.com dengan cc ke drahmadi41@gmail.com dan ke share-its pada hari Sabtu paling lambat jam 23:59