BAB II : PENYELESAIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN Metode Pengurung (Bracketing Methods) Mulai dengan terkaan awal yang mengurung atau memuat akar dan secara bersistem mengurangi lebar kurungan. Contoh : Bisection (Bagi dua), Regula Falsi. Metode Terbuka (Open Methods) Iterasi coba-coba yang sistematis. Contoh : Newton Raphson, Secant, Fixed Point (titik tetap) Metode Jenis Kelebihan Kekurangan Pengurung ● Bisection ● Regula Falsi ● Konvergen ● Lambat konvergen Terbuka ● Newton-Raphson ● Secant ● Fixed-Point ● Cepat konvergen ● Satu terkaan awal ● Turunan harus dicari secara analitis ● Bisa divergen 1 Ir. Antonius Ibi Weking, MT Analisa Numerik

1. Bisection Methods (Binary Search Methods) Rumusan akar : Evaluasi : y x y=f(x) Misalnya : tentukan nilai nol (memotong sumbu x) dari persamaan Pertama kita gunakan nilai awal dengan demikian kita mendapatkan berikut lihat proses sebagai berikut : 2 Ir. Antonius Ibi Weking, MT Analisa Numerik

Pada saat iterasi (i) 1, harga f(x2) dan f(xmid) Algoritma Biseksi Start Cari Posisi akar Sama tanda Stop Y T i x1 x2 xmid f(x1) f(x2) f(xmid) 1 2 3 2,5 -3 13 3.125 2,25 3,125 -0,35937 2,375 1,27148 4 2,3125 0,42895 5 2,28125 0.02811 6 2,26563 -0,167232 7 2,27344 -0,069978 8 2,277345 -0,021040 Keterangan : Pada saat iterasi (i) 1, harga f(x2) dan f(xmid) Memiliki tanda yang sama (+), maka x2=xmid Untuk iterasi ke-2. Pada iterasi ke-2, harga f(x1) dan f(xmid) Memiliki tanda yang sama (-), maka x1=xmid Untuk iterasi ke-3 dstnya. Xmid adalah nilai x yang dicari. 3 Ir. Antonius Ibi Weking, MT Analisa Numerik

2. Regula Falsi Method (Metode Regula Falsi) Berdasarkan interpolasi linear antara 2 harga f(x) yang mempunyai tanda berbeda f(x1) . f(x2) < 0. Konvergensi yang dihasilkan cepat y x y=f(x) f(x1) dan f(x2) berbeda tanda berarti ada akar antara x1 dan x2 Rumusan mencari akar : Evaluasi suatu akar : | f(xi+1) | ≤ ε 4 Ir. Antonius Ibi Weking, MT Analisa Numerik

Algoritma Metode Regula Falsi = Algoritma Metode Biseksi hanya tinggal rumusan Dengan contoh soal yang sama dihasilkan tabel sbb : No x1 x2 f(x1) f(x2) x3 f(x3) 1 2 3 -3 13 2,1875 -1,0949707 2,250619 -0,3518283 2,2703656 -0,1083612 4 2,2763972 -0,0329372 5 2,2782259 -0,0099716 6 2,2787791 -0.0030153 7 2,2789463 -0,0009114 8 2,2789968 -0,0002766 9 2,2790121 -0,0000836 10 2,2790167 -0,0000258 5 Ir. Antonius Ibi Weking, MT Analisa Numerik

3. Newton Methods Tidak perlu mencari 2 harga f(x) yang mempunyai tanda berbeda Konvergensi yang dihasilkan cepat perlu perhitungan turunan fungsi f’(x). Kelemahan : - tidak selalu konvergen (tak menemukan akar) - kemungkinan mencari f’(x) sulit. - Penetapan harga awal sulit. Metode Newton didapat dari deret Taylor : Jika xn+h adalah akar → f(xn+h) = 0 diabaikan Rumusan mencari akar : 6 Ir. Antonius Ibi Weking, MT Analisa Numerik

Algaritma Metode Newton Dengan mengambil dari contoh sebelumnya dimana persamaan y=x3-3x-5 untuk mencari akar yang memotong sumbu x, diambil nilai awal x=2,5. Jika : f(x)=x3-3x-5 → f’(x)= 3x2-3 Didapat tabel sbb : START |f(xn+1)|≤ε xn=xn+1 xn STOP n xn f(xn) f’(xn) xn+1 1 2,5 3,125 15,75 2,301587 2 0,286593 12,891908 2,279356 3 0,004350 12,586391 2,279010 4 0,0000057 12,581650 2,279009 Pada iterasi ke-4 sudah mendapatkan hasil sama dengan iterasi ke-22 pada metode biseksi. 7 Ir. Antonius Ibi Weking, MT Analisa Numerik

4. Secant Methods Tidak perlu mencari 2 fungsi yang mempunyai tanda berbeda Kombinasi Metode Newton dan Regula Falsi tanpa mencari turunan fungsi f’(x). y=f(x) y Subsitusi ke rumus newton A Maka didapat perumusan : B C x xn-3 xn-2 xn-1 xn Algoritma Secant Methods = Algoritma Newton Methods, hanya tinggal mengganti rumusannya. Penggantian nilai dilakukan menurut urutan yang ketat, dengan nilai baru xn+1 menggantikan xn dan nilai xn menggantikan xn+1. Sehingga kadang dua nilai tersebut dapat pada posisi yang sama sehingga kemungkinan divergen. 8 Ir. Antonius Ibi Weking, MT Analisa Numerik

f(x1) = f(2) = -3 dan f(x2) = f(3) = 13 Dengan mengambil dari contoh sebelumnya dimana persamaan y=x3-3x-5 untuk mecari akar yang memotong sumbu x, diambil nilai awal x=2 dan x=3 maka : f(x1) = f(2) = -3 dan f(x2) = f(3) = 13 Itr Xn-1 Xn f(Xn-1) f(Xn) Xn+1 1 2 3 -3 13 2,1875 2,1857 -1,09497 2,25062 -0,35182 2,28050 4 0,018651 2,27899 5 -0,00036 2,27902 6 -0,00000 f(x3) = f(2,1875) = -1,09497 Pada iterasi ke- 5 sudah mendapatkan nilai yang dicari ! Tugas buatkan soft program dengan metode biseksi, regula falsi , newton dan secant untuk persoalan di atas. f(x4) = f(2,250619) = -0,351828 x5 = 2,2805016 9 Ir. Antonius Ibi Weking, MT Analisa Numerik

Fixed Point Iteration Merupakan metode terbuka yang paling sederhana yang biasa disebut metode langsung dalam persamaan f(x) = 0 menjadi bentuk x = g(x) dan prosedur iterasinya adalah Xn+1 = g(xi); i=1,2,3, ….Kondisi berhenti iterasi adalah bila |xn+1|<ε atau bila menggunakan galat relatif hampiran dimana ε dan δ ditentukan sebelumnya Dgn contoh yang sama y=x3-3x-5, y=0 maka x=(3x+5)1/3 didapat : x y s x1 x2 y=x y= g(x) n x 1 2,5 2 2,320794 3 2,287033 4 2,280561 5 2,279316 6 2,279076 7 2,279029 Konvergen berisolasi -1<g’(x)<0 Konvergen Monoton 0<g’(x)<1 10 Ir. Antonius Ibi Weking, MT Analisa Numerik