Ilmu Komputasi BAGUS ADHI KUSUMA Deret Taylor Ilmu Komputasi BAGUS ADHI KUSUMA

Deret Taylor Definisi : Andaikata f dan semua turunannya, f’,f’’,f’’’,… kontinu di dalam selang [a,b]. Misalkan : xoє[a,b], maka nilai-nilai x di sekitar xo dan xє[a,b], f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret Taylor sebagai berikut:

Deret Taylor Jika (x-xo)=h, maka : Contoh : Tentukan fungsi f(x)=sin(x) ke dalam deret Taylor di sekitar xo=1. Penyelesaian : f(x) = sin(x) f’’’(x) = - cos(x) f’(x) = cos(x) f(4)(x) = sin(x) f’’(x) = - sin(x) dst.

Deret Taylor Maka: Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di sekitar xo= 0, maka deretnya dinamakan deret Maclaurin yang merupakan deret Taylor baku

Contoh 1 f(x)= sin(x) dimana xo = 0

Contoh 2 f(x)=ex dimana xo=0

Karena suku-suku deret Taylor tidak berhingga banyaknya, maka untuk alasan praktis deret Taylor dipotong sampai suku order tertentu. Deret Taylor yg dipotong s/d order ke-n dinamakan deret Taylor terpotong yg dinyatakan: Dengan demikian deret Taylor yg dipotong sampai suku order ke-n dapat ditulis :

Soal Latihan Diketahui suatu fungsi 𝑓 𝑥 =0.5+0.25𝑥+0.5 𝑥 2 +0.25 𝑥 3 . Dengan menggunakan deret Taylor order nol, satu, dua, dan tiga; perkirakan fungsi tersebut pada titik 𝑥 𝑖+1 =1, berdasarkan nilai fungsi pada titik 𝑥 𝑖 =0. Titik 𝑥 𝑖+1 =1 berada pada jarak ∆𝑥=1 dari titik 𝑥 𝑖 =0 Untuk memudahkan tentukan nilai eksak fungsi kemudian cari fungsi turunan sampai dengan turunan ketiga.

Grafik Perkiraan dengan deret Taylor

Order 0 𝑓( 𝑥 𝑖+1 =1) ≈𝑓( 𝑥 𝑖 =0)≈0.5 Kesalahan pemotongan adalah: 𝐸 𝑒 =𝑝− 𝑝 ∗ =1.5−0.5=1.0

Order 1 𝑓 ′ 𝑥 𝑖 =0 =0.75 𝑥 2 +𝑥+0.25=0.75(0 ) 2 +0+0.25=0.25 𝑓 ′ 𝑥 𝑖 =0 =0.75 𝑥 2 +𝑥+0.25=0.75(0 ) 2 +0+0.25=0.25 Sehingga diperoleh : 𝑓( 𝑥 𝑖+1 =1) ≈ 𝑓 𝑥 𝑖 + 𝑓 ′ 𝑥 𝑖 Δ𝑥 1! ≈0.5+0.25× 1 1 =0.75 𝐸 𝑒 =𝑝− 𝑝 ∗ =1.5−0.75=0.75

Order 2 𝑓 ′′ 𝑥 𝑖 =0 =1.5𝑥+1=1.5(0 ) 2 +1=1.0 Sehingga diperoleh : 𝑓 ′′ 𝑥 𝑖 =0 =1.5𝑥+1=1.5(0 ) 2 +1=1.0 Sehingga diperoleh : 𝑓( 𝑥 𝑖+1 =1) ≈ 𝑓 𝑥 𝑖 + 𝑓 ′ 𝑥 𝑖 Δ𝑥 1! + 𝑓 ′′ 𝑥 𝑖 Δ𝑥 2! ≈0.5+0.25× 1 1 + 1× 1 1𝑥2 =1.25 𝐸 𝑒 =𝑝− 𝑝 ∗ =1.5−1.25=0.25

Order 3 𝑓 ′′′ 𝑥 𝑖 =0 =1.5 Sehingga diperoleh : 𝑓 ′′′ 𝑥 𝑖 =0 =1.5 Sehingga diperoleh : 𝑓( 𝑥 𝑖+1 =1) ≈ 𝑓 𝑥 𝑖 + 𝑓 ′ 𝑥 𝑖 Δ𝑥 1! + 𝑓 ′′ 𝑥 𝑖 Δ𝑥 2! + 𝑓 ′′′ 𝑥 𝑖 Δ𝑥 3! ≈0.5+ 0.25× 1 1 +1× 1 1𝑥2 +1.5× 1 1𝑥2𝑥3 =1.5 𝐸 𝑒 =𝑝− 𝑝 ∗ =1.5−1. 5=0.0 Terlihat bahwa dengan menggunakan deret Taylor order 3, hasil penyelesaian numeric sama dengan penyelesaian eksak.

Tugas Diketahui suatu fungsi 𝑓 𝑥 =0.5+0.25𝑥+0.5 𝑥 2 +0.25 𝑥 3 . Perkirakan turunan pertama (kemiringan kurva) dan turunan kedua dari persamaan tersebut dititik x=0.5 dengan menggunakan langkah ruang atau Δx=0.5.