Logika Proposisional [Tabel Kebenaran (TK) Identis] Simbol =T berarti bahwa pada tabel kebenaran, dua formula mempu nyai nilai kebenaran yang sama (identik). Contoh : 1) (pq) =T (p)(q) ; buatlah TK nya. 2) (pq) =T (p)(q) ; buatlah TK nya. 3) p  q =T p  q ; buatlah TK nya. 4) p  q =T (p  q)  (p  q) ; buatlah TK nya 5) p  (p  q) =T p  q ; buatlah TK nya

Logika Proposisional [Interpretasi dan Model] Andaikan P adalah formula proposisi ( perhatikan disini digunakan huruf murda/capital untuk menyajikan suatu formula sedang huruf kecil untuk variabel proposisi). Suatu interpretasi daripada P adalah suatu penugasan (assignment) daripada nilai kebenaran pada semua variabel proposisi ( pemberian nilai kebenaran) yg muncul pada P. Perhatikan bahwa setiap baris pada tabel kebenaran adalah suatu interpretasi. Untuk setiap interpretasi maka P mempunyai nilai kebe naran (lihat bahwa setiap baris P mempunyai nilai T atau F)

Logika Proposisional [ Interpretasi dan Model ] Andaikan S suatu himpunan daripada formula proposisi, suatu inter pretasi disebut model daripada S jika setiap anggata daripada S ber nilai kebenaran T untuk interpretasi tersebut. Contoh : Andaikan S adalah himpunan dp formula proposisi : { p  q , q  r , r  s } dan interpretasi : I1 : {p=T,q=F,r=T,s=T} ; I2 : { p=T, q=T,s =T , r=T} ; I3 : {p=T,q=T,r=F,s=F} ; I4 : { p=T, q=T,r =T, s=F} ; Interpretasi yang mana yang merupakan model dp S ? Gambarkan ta bel kebenarannya.

Logika Proposisional [interpretasi dan Model] p q r s p  q q  r r  s I1 T F T T F - - I2 T T T T T T T I3 T T F F T T T I4 T T T F T T F Dari tabel diatas maka interpretasi yang merupakan model daripada S adalah I2 dan I3. Perhatikan karena I1 sudah memberikan nilai kebe naran F untuk p  q maka dua yang lain tak perlu dievaluasi, karena je las bahwa I1 bukan model.

Logika Proposisional [Tautologi, Absurditi dan Formula Campur] Sebarang formula yang selalu bernilai kebenaran T, tak tergantung pada nilai kebenaran daripada variabel-variabel proposisinya, dise but tautologi, dan dikatakan sebagai tautologis atau valid. Suatu tautologi adalah suatu formula proposisional yang mengam bil nilai T untuk setiap interpretasi yang mungkin. Semua entri da lam kolom pada tabel kebenaran yang merupakan kolom nilai for mula tersebut bernilai kebenaran T.

Logika Proposisional [Tautologi, Absurditi dan Formula Campur] Contoh : p  p adalah Tautologi karena untuk I1 : p = T, maka p  p = T I2 : p = F, maka p  p = T dan tak ada lagi interpretasi lain. Untuk menyatakan bahwa suatu formula adalah suatu tautologi/valid maka dituliskan dengan menggunakan metasimbol ╞ , maka contoh diatas menjadi : ╞ (p  p)

Logika Proposisional [Tautologi, Absurditi dan Formula Campur] Tabel dari kebenaran p  p adalah : p p p  p T F Tabel dari kebenaran p  (p  (q  p)) adalah : p  ( p  (q   p)) 1 5 2 1 4 1 3 2 1 T F F T F T F F T F T F F F F T T F T T T T F T F T F F T F

Logika Proposisional [Tautologi, Absurditi dan Formula Campur] Perhatikan hubungan antara metasimbol =T dng ╞ yang dapat dili hat pada contoh dibawah ini : Menggunakan ╞ menggunakan =T ╞ p  (p) p =T (p) ╞ (p  q)  (q  p) p  q =T q  p ╞ (p  q)  (p)(q) (p  q) =T (p)  (q) ╞ ((p  ))  ((p)  (q)) ((p  q)) =T (( p)  (q)) Baris pertama kiri dibaca : p  (p) adl suatu tautologi, kanan : Formula p mempunyai tabel kebenaran sm-dng formula (p)

Logika Proposisional [Tautologi, Absurditi dan Formula Campur] Dikatakan bahwa dua formula P dan Q adl Ekuivalen Logis jika ekuivalen logisnya ‘ P  Q’ adl suatu tautologi ( yang dapat dika takan juga dengan bahwa mereka mempunyai tabel kebenaran yang sama) Dikatakan bhw suatu formula P implai logis suatu formula Q jika implikasi logis mereka ‘ P  Q’ adalah tautologi.

Logika Proposisional [Tautologi, Absurditi dan Formula Campur] Absurditi/Kontradiksi Sebarang formula yang selalu bernilai kebenaran F, tak tergantung pada nilai kebenaran dp variabel-variabel proposisinya, disebut Absurditi atau Kontradiksi atau Unsatisfiable dan dikatakan sbg Absurditi atau Invalid. Suatu Absurditi adalah suatu formula proposisional yang ber nilai F untuk setiap interpretasi yg mungkin. Semua entri dalam kolom Pada tabel kebenaran yang merupakan kolom nilai formula tersebut bernilai kebenaran F.

Logika Proposisional [Tautologi, Absurditi dan Formula Campur] Absurditi/Kontradiksi Contoh : (p  p) dan (p  p) adalah absurditi/kontradiksi karena untuk : I1 : p = T, maka (p  p) = F I2 : p = F, maka (p  p) = F dan tak ada lagi interpretasi lain. Perhatikan bahwa suatu formula proposisional P yg adalah suatu absur diti, maka formula P adalah suatu Tautologi, begitu pula sebaliknya. Jika sebarang formula P adalah suatu absurditi, maka ditulis : ╞ P

Logika Proposisional [Tautologi, Absurditi dan Formula Campur] Sebarang formula yang, tergantung pada nilai kebenaran dp vari abel-variabelnya, dapat bernilai baik nilai T maupun nilai F dise but suatu formula campur, atau ada yang menyebut contingent. Contoh : Tentukan yang mana yang tautologi, absurditi atau formula cam pur : a) p  (q  p) ; b) p  (p  (q  p) ; c) p  (p  (q  p)).

Logika Proposisional [Tautologi, Absurditi dan Formula Campur] p  ( q  p) 1 4 2 1 3 1 T T F T T T T T T F T T F F F T T F F T T F F F p 1 T F  5 ( 2  4 (q  3  

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] GP DALIYO Bentuk daripada suatu formula proposisional perlu di manipulasi sehingga bentuk menjadi lebih sederhana, tetapi mempunyai tabel kebenaran yang tetap sama, sehingga tetap ekuivalen dengan formula aslinya. Bentuk sederhana dimaksud adalah bentuk jumlahan hasilkali minimal, yaitu bentuk jumlahan hasilkali dan tak ada bentuk yang lebih sederhana daripada ia. Sederhana artinya cacah literalnya serta cacah yang dijumlahkan paling sedikit. (lihat buku “Essential Computer Mathematics”, Schaum’s out line Series, Seymour Lipschutz, Ph.D. hal 194)

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] GP DALIYO Identitas Baku (Standard Identities) Andaikan p, q, r suatu proposisi, maka konsekuen si-konsekuensi dan ekuivalensi-ekuivalensi di bawah ini benar : Hukum Tetapan : pT p , pF F , pT T, pF p , 2. Hukum excluded middle : p  ¬p T 3. Hukum Kontradiksi : p ¬p F T

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] GP DALIYO Identitas Baku(Standard Identrities 4. Hukum negasi ganda : ¬¬ p p 5. Hukum Idempotensi : p  p p , p  p p 6. Hukum Komutatif : pq qp , pq qp 7. Hukum Asosiatif : p(qr) (pq)r , p(qr) (pq)r T T T T T T T

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] GP DALIYO Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] Identitas Baku (Standard Identities 8. Hukum Distributif : p(qr) (pq)(pr) p(qr) (pq)(pr) 9. Hukum De Morgan : ¬(pq) (¬p¬q) ¬(pq) (¬p¬q) 10. Hukum Implikasi p→q ¬pq T T T

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] GP DALIYO Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] Identitas Baku (Standard Identities) 11. Hukum De Morgan : ¬(pq) (¬p¬q) ¬(pq) (¬p¬q) 12.Hukum Implikasi p→q ¬pq 13. Hukum Kontraposisi/Kontrapositif : p→q ¬q→¬p 14. Hukum Bikondisional : p↔q (p→q)(q→p) T T T GP DALIYO T

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] GP DALIYO Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] Contoh Contoh Tanpa menggunakan tabel kebenaran tunjukan bahwa : p  ((r  s)  (r  s))  (p  q) =T p  q  r Jawab : p  ((r  s)  (r  s))  (p  q) =T ((r  s)  (r  s))  p  (p  q) Aturan 6 =T (r  (s  s))  p  (p  q) Aturan 8 =T (r  T)  p  (p  q) Aturan 2 =T r  p  (p  q) Aturan 1 =T r  ((p  p)  (p  q)) Aturan 8 =T r  (F  (p  q) ) Aturan 3 =T r  (p  q) Aturan 1 =T p  q  r Aturan 6 GP DALIYO

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] GP DALIYO Contoh Contoh Tanpa menggunakan tabel kebenaran tunjukan bahwa : p  (p  q) =T p Jawab : p  (p  q) =T (p  F)  (p  q) Aturan 11 =T p  (F  q) Aturan 7 =T p  F Aturan 10 =T p Aturan 11 GP DALIYO

Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] GP DALIYO Logika Proposisional [Manipulasi Formula Proposisional] Soal Kerjakan tanpa menggunakan tabel kebenaran 1. p  (p  (p  q))  q =T p  q 2. (p  q)  (p  q) =T (p  q)  (p  q) 3. p  q =T (p  q)  (p  q) 4. (p  q) =T p  q 5. (p  q)  r =T (p  r)  q GP DALIYO