RELASI DAN FUNGSI Pertemuan II Kalkulus Nina Hairiyah, S.TP., M.Si Jurusan Teknologi Industri Pertanian Politeknik Negeri Tanah Laut E-mail : nina.hairiyah@gmail.com Hp/WA : 085248751988

A. RELASI 1. Pengertian Relasi Relasi ( hubungan ) dari himpunan A ke B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B. Relasi dalam matematika misalnya : lebih dari , kurang dari , setengah dari , faktor dari , dan sebagainya . Contoh : Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 1, 2, 3 } . Jika himpunan A ke himpunan B dinyatakan relasi “ kurang dari “ , maka lebih jelasnya dapat ditunjukkan pada gambar di bawah : 10/8/2017

1 . 2 . 3 . 4 . .1 .2 .3 B A Kurang dari Diagram disamping dinamakan diagram panah . Arah relasi ditunjukkan dengan anak panah dan nama relasinya adalah “ kurang dari “ 10/8/2017

1. Jika Anto suka sepakbola , Andi suka voli 2. Menyatakan Relasi Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara , yaitu : Diagram Panah , Diagram Cartesius , dan Himpunan pasangan berurutan . a. Diagram Panah Contoh : 1. Jika Anto suka sepakbola , Andi suka voli dan bulutangkis serta Budi dan Badri suka basket dan sepakbola . Buatlah Diagram Panah keadaan tersebut apabila A adalah himpunan anak dan B adalah himpunan olahraga . 10/8/2017

. Voli . Basket . Bulutangkis . Sepakbola Anto . Andi . Budi . Badri . Suka akan 10/8/2017

2. Diketahui P = { 1, 2, 3, 4 } dan Q = { 2, 4, 6, 8 } 2. Diketahui P = { 1, 2, 3, 4 } dan Q = { 2, 4, 6, 8 } . Gambarlah diagram panah yang menyatakan relasi dari P dan Q dengan hubungan : a. Setengah dari b. Faktor dari Jawab : a. . 2 . 4 . 6 . 8 1 . 2 . 3 . 4 . Q P Setengah dari 1 10/8/2017

b. . 2 . 4 . 6 . 8 . Q P Faktor dari 10/8/2017

b. Diagram Cartesius Contoh : Diketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan B = { 1, 2, 3, …, 10 }. Gambarlah diagram cartesius yang menyatakan relasi A ke B dengan hubungan : a. Satu lebihnya dari b. Akar kuadrat dari 10/8/2017

Jawab : a . Satu lebihnya dari 1 2 3 4 5 6 7 9 8 10 Himpunan B Himpunan A 10/8/2017

Jawab : b. Akar kuadrat dari 1 2 3 4 5 6 7 9 8 10 Himpunan B Himpunan A 10/8/2017

C. Himpunan pasangan berurutan Contoh : Himpunan A = { 1, 2, 3, … , 25} dan B = { 1, 2, 3, … , 10 } . Tentukan himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi A ke B dengan hubungan : a. kuadrat dari b. dua kali dari c. Satu kurangnya dari 10/8/2017

Jawab : a. { (1,1), (4,2), (9,3),(16,4), (25,5) } b. { (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5), (12,6), (14,7),(16,8), (18,9),(20,10) } c. { (1,2) , (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7), (7,8), (8,9), (9,10) } 10/8/2017

B. FUNGSI Pengertian Fungsi Sebuah fungsi f : x  y adalah suatu aturan yang memasangkan tiap anggota x pada suatu himpunan (daerah asal / domain), dengan tepat sebuah nilai y dari himpunan kedua (daerah kawan / kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh disebut daerah hasil / range fungsi tersebut . Untuk lebih memahami pengertian diatas perhatikan contoh berikut : 10/8/2017

Perhatikan diagram panah dibawah ini : Contoh : Perhatikan diagram panah dibawah ini : . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 0 . 2 . 4 . 6 . B A Daerah kawan/ kodomain Daerah asal/ Domain Daerah hasil/ Range 10/8/2017

Dari diagram panah diatas dapat dilihat bahwa : 1. Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. 2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 } disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan { 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ). 10/8/2017

Fungsi/ pemetaan dapat dinotasikan dengan huruf kecil f , g , h , dan 2. Notasi Fungsi Fungsi/ pemetaan dapat dinotasikan dengan huruf kecil f , g , h , dan sebagainya. Misal : f : x  y dibaca f memetakkan x ke y , maka y = f(x) dibaca sama dengan f dari x digunakan untuk menunjukkan bahwa y adalah fungsi dari x . 10/8/2017

Diketahui A = { a, i, u, e, o } dan B = { 1, 2, 3, 4 } Suatu fungsi juga dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu dengan diagram panah , diagram cartesius , dan himpunan pasangan berurutan . Contoh : Diketahui A = { a, i, u, e, o } dan B = { 1, 2, 3, 4 } a. Buatlah diagram panah yang menunjukkan pemetaan f yang ditentukan oleh : a  1 , i  2 , u  1 , e  4 , o  2 . b. Nyatakan pula dengan diagram cartesius c . Nyatakan pula f sebagai himpunan pasangan berurutan . 10/8/2017

Jawab : a . Diagram panah B A . 1 . 2 . 3 . 4 a . i . u . e . o . 10/8/2017

b. Diagram cartesius 1 a i u e o 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10/8/2017

c. Himpunan pasangan berurutan { (a , 1) , (i , 2) , (u , 1) , (e , 4) , (o , 2) } 10/8/2017

3. Banyaknya pemetaan dari dua himpunan Jika n(A) = a , dan n(B) = b , maka banyak pemetaan yang mungkin terjadi dari himpunan A ke B adalah ba dan himpunan B ke A adalah ab Contoh : Berapa banyaknya pemetaan yang mungkin terjadi untuk pemetaan berikut : a. Dari himpunan A = {a} dan B = {1} b. Dari himpunan C = {1} dan D = { a , b } 10/8/2017

Jawab : a. n(A) = 1 , n(B) = 1 Banyak pemetaan 11 = 1 c. Dari himpunan E = {a,b} dan F = {1} d. Dari himpunan G = {1} dan H = { a,b,c } e. Dari himpunan I = {1,2} dan J = { a,b} f. Dari himpunan K = {a,i,u,e,o} dan L = {1,2,3} g. Dari himpunan M = {a,b,c,d} dan N = {1,2,3,4,5} Jawab : a. n(A) = 1 , n(B) = 1 Banyak pemetaan 11 = 1 b. n(C) = 1 , n(D) = 2 Banyak pemetaan 21 = 2 10/8/2017

c. n(E) = 2 , n(F) = 1 Banyak pemetaan 12 = 1 d. n(G) = 1 , n(H) = 3 e. n(I) = 2 , n(J) = 2 Banyak pemetaan 22 = 4 f. n(K) = 5 , n(L) = 3 Banyak pemetaan 35 = 243 g. n(M) = 4 , n(N) = 5 Banyak pemetaan 54 = 625 10/8/2017

4. Merumuskan suatu fungsi f : x  y dibaca f memetakkan x ke y dan dapat dinyatakan dengan f(x) . Maka rumus fungsi dapat ditulis f(x) = y . Contoh : Diketahui suatu fungsi f : x  x + 2 dengan daerah asal fungsi { x/ 1 < x < 6, x  A} a. Tentukan rumus fungsi ! b. Tentukan daerah asal fungsi ! c . Tentukan daerah hasil fungsi ! d. Jika f(x) = 15 , maka tentukan nilai x ! 10/8/2017

Jawab : a. Rumus fungsi f(x) = x +2 b. Daerah asal = { 2, 3, 4, 5 } c. Daerah hasil : f(x) = x + 2 untuk x = 2  f(x) = 2 + 2 = 4 x = 3  f(x) = 3 + 2 = 5 x = 4  f(x) = 4 + 2 = 6 x = 5  f(x) = 5 + 2 = 7 Jadi daerah hasil fungsi : { 4, 5, 6, 7 } d. f(x) = 15 x + 2 = 15 x = 15 – 2 x = 13 Jadi nilai x = 13 10/8/2017

Contoh Soal Diketahui A = { 2, 3, 4, 5 } dan B = { 0, 1, 2, 3, } Relasi A ke B adalah “ dua lebihnya dari “ , maka : a. Himpunan pasangan berurutan : { ( 2,0), (3,…), (…,2), (…,…) } b. Diagram Panah B A 10/8/2017

Pembahasan Relasi A ke B adalah “ dua lebihnya dari “ , maka : 1. Diketahui A = { 2, 3, 4, 5 } dan B = { 0, 1, 2, 3, } Relasi A ke B adalah “ dua lebihnya dari “ , maka : a. Himpunan pasangan berurutan : { ( 2,0), (3,1), (4,2), (5,3) } b. Diagram Panah B A .0 . 1 . 2 . 3 2 . 3 . 4 . 5 . Dua lebihnya dari 10/8/2017

2. Gambarlah relasi-relasi berikut dengan diagram panah. Kemudian tentukan termasuk fungsi atau bukan fungsi ! a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) } b. { (1,1), (2,2), (3,3) } c. { (3,4), (5,6), (7,8) } d. { (2,3), (3,4), (4,5) } 10/8/2017

Pembahasan a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) } bukan fungsi karena ada anggota x yang berpasangan lebih dari satu dengan anggota y . . 2 . 3 . 4 . 5 1 . 2 . 3 . Bukan fungsi y x 10/8/2017

b. { (1,1), (2,2), (3,3) } 1 . 2 . 3 . . 1 . 2 . 3 Fungsi B A 10/8/2017

c. { (3,4), (5,6), (7,8) } . 4 . 6 . 8 3 . 5 . 7 . Fungsi P Q 10/8/2017

d. { (2,3), (3,4), (4,5) } . 3 . 4 . 5 2 . 3 . 4 . Fungsi K L 10/8/2017

a. Tunjukkan fungsi f dalam diagram panah . 3 . Fungsi f : x  x + 3 mempunyai domain { -2, -1, 0, 1, 2 } . a. Tunjukkan fungsi f dalam diagram panah . b. Nyatakan dalam himpunan pasangan berurutan . c. Tulis range dari f . 10/8/2017

Pembahasan a. Fungsi f : x  x + 3 , jadi f(x) = x + 3 Untuk x = -2 maka f(-2) = -2 + 3 = 1 x = -1 maka f(-1) = -1 + 3 = 2 x = 0 maka f(0) = 0 + 3 = 3 x = 1 maka f(1) = 1 + 3 = 4 x = 2 maka f(2) = 2 + 3 = 5 . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 -2 . -1 . 0 . 1 . 2 . x+3 x 10/8/2017

b. Himpunan pasangan berurutan { (-2,1), (-1,2), (0,3), (1,4), (2,5) } c. Range (daerah hasil ) = ( 1, 2, 3, 4, 5 ) 10/8/2017

4. Suatu persamaan fungsi f(x) = ½ x + 1 dengan daerah asal { 2, 4, 6, 8, 10 } . Tentukan : a. Daerah hasil / bayangan . b. Himpunan pasangan berurutan . 10/8/2017

Jadi Range / daerah hasil / daerah bayangan = { 2, 3, 4, 5, 6 } Pembahasan : a. f(x) = ½ x + 1 f(2) = ½ . 2 + 1 = 1 + 1 = 2 f(4) = ½ . 4 + 1 = 2 + 1 = 3 f(6) = ½ . 6 + 1 = 3 + 1 = 4 f(8) = ½ . 8 + 1 = 4 + 1 = 5 f(10) = ½ . 10 + 1 = 5 + 1 = 6 Jadi Range / daerah hasil / daerah bayangan = { 2, 3, 4, 5, 6 } b. Himpunan pasangan berurutan { (2,2), (4,3), (6,4), (8,5), (10,6) } 10/8/2017

5. Dengan tanpa membuat diagram panahnya terlebih dahulu , tentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari : a. A = {a, b, c} B = {1, 2} b. A = {1, 2} B = {a, b, c} c. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3} d. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4} e. A = {1, 2} B = {a, b, c, d} 10/8/2017

Pembahasan a. A = {a, b, c} B = {1, 2} ------ 23 = 8 b. A = {1, 2} B = {a, b, c} ----- 32 = 9 c. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3} ------- 33 = 27 d. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4} ----- 43 = 64 e. A = {1, 2} B = {a, b, c, d} ----- 42 = 16 10/8/2017

Terima Kasih ... Selamat Belajar 10/8/2017

C. Menghitung Nilai Fungsi Untuk menghitung nilai fungsi dapat digunakan rumus : f (x) = ax + b Contoh : 1. Suatu fungsi ditentukan dengan f : x  5x -3 Tentukan : a. Rumus fungsi . b. Nilai fungsi untuk x = 4 dan x = -1 . 10/8/2017

Jawab : a. Rumus fungsinya f(x) = 5x – 3 b. Nilai fungsi f(x) = 5x – 3 untuk x = 4 maka f(4) = 5 . 4 – 3 = 17 x = -1 maka f(-1) = 5 .(-1) – 3 = -8 Jadi nilai fungsi untuk x = 4 adalah 17 dan x = -1 adalah -8 10/8/2017

Suatu fungsi dirumuskan g (x) = -4x + 3 Tentukan : a. g ( -2 ) 2. Suatu fungsi dirumuskan g (x) = -4x + 3 Tentukan : a. g ( -2 ) b. Nilai a jika g (a) = -5 10/8/2017

Jawab : a. g (x) = -4x + 3 g (- 2 ) = -4 . (- 2 ) + 3 = 8 + 3 = 11 b. g (a) = - 4a + 3 - 4a + 3 = - 5 - 4a = - 5 – 3 - 4a = - 8 a = 2 10/8/2017

D. MENENTUKAN BENTUK FUNGSI Suatu fungsi dapat ditentukan bentuknya jika data fungsi diketahui . Bentuk fungsi linier dapat dirumuskan sebagai f (x) = ax + b . Contoh : Suatu fungsi ditentukan dengan rumus f (x) = ax + b , jika f (2) = 10 dan f (-4) = -8 . Tentukan : a. Nilai a dan b b. Bentuk fungsinya c. Bayangan dari – 3 10/8/2017

Jawab : a. f (x) = ax + b f (2) = 2a + b = 10  2a + b = 10 f (-4) = -4a + b = -8  -4a + b = -8 - 6a = 18 a = 3 untuk a = 3  2a + b = 10 2 . 3 + b = 10 6 + b = 10 b = 4 Jadi , nilai a = 3 dan b = 4 10/8/2017

b. f (x) = ax + b f (x) = 3x + 4 Jadi , bentuk fungsinya f (x) = 3x + 4 c. Bayangan dari – 3 f (- 3) = 3 ( - 3 ) + 4 = - 9 + 4 = - 5 10/8/2017

Latihan Soal 1 . Sebuah fungsi dirumuskan f (x) = x + 1 a. Tentukan f (2) , f (-3) , f ( ½ ) ! b. Tulislah daerah hasilnya ! c . Jika f (a) = 3 maka tentukan nilai a ! 10/8/2017

Pembahasan a . f (x) = x + 1 f (2) = 2 + 1 = 3 f (-3) = -3 + 1 = -2 f ( ½ ) = ½ + 1 = 1 ½ b. Daerah hasil = { (2,3),(-3,½),(½, 1 ½) } c. f (a) = a + 1 3 = a + 1 a = 2 10/8/2017

2. Sebuah fungsi h dirumuskan h (x) = x2 – 4 a 2 . Sebuah fungsi h dirumuskan h (x) = x2 – 4 a. Hitunglah h (-3) , h (5) , dan h (½) ! b. Tentukan p bila h (p) = 0 ! 10/8/2017

Pembahasan a. h (x) = x2 – 4 h (-3) = (-3)2 – 4 = 9 – 4 = 5 h (5) = (5)2 – 4 = 25 – 4 = 21 h (½) = (½)2 – 4 = ¼ - 4 = - 3 3/4 b. h (p) = p2 – 4 h (p) = 0 0 = p2 - 4 p2 = 4 p = 2 10/8/2017

3. Diketahui f (x) = ax + b , jika f (1) = -3 dan f (0) = -1 3 . Diketahui f (x) = ax + b , jika f (1) = -3 dan f (0) = -1 . Tentukan : a. Nilai a dan b b. Bentuk fungsinya 10/8/2017

Pembahasan a. f (x) = ax + b f (1) = a + b = 3  a + b = 3 f (0) = b = -1  b = -1 - a = 4 Jadi a = 4 dan b = -1 b. bentuk fungsinya adalah : f (x) = 4x - 1 10/8/2017

Terima Kasih ... Selamat Belajar 10/8/2017

E. Menggambar Grafik Fungsi Untuk menggambar grafik fungsi ada cara yang mudah yang dapat dilakukan terlebih dahulu yaitu membuat tabel dengan mendaftar semua daerah asalnya . 1. Grafik Fungsi Linier Contoh : 1. Gambarlah grafik fungsi f (x) = x +1 dengan domain {x/0 x 5 , x  C} 10/8/2017

Jawab : f (x) = x +1 daerah asal = { 0,1,2,3,4,5 } {x,f(x)} x+1 x (2,3) 1 2 3 4 5 6 (0,1) (1,2) (3,4) (4,5) (5,6) 10/8/2017

Grafiknya : f (x) = x + 1 , x  c (0,1,2,3,4,5) {(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)} 6 7 8 9 10 x + 1 x 10/8/2017

2. a. Buatlah tabel fungsi g : x  -2x + 1 dengan daerah asal { -4,-3,-2,-1,0,1,2,3 } ! b. Berdasarkan tabel tersebut tentukan : (i) bayangan dari -2 , 0 , dan 2 ! (ii) himpunan pasangan berurutan ! (iii) gambarlah grafik fungsi tersebut pada bidang cartesius , kemudian hubungkan titik-titik tersebut sehingga menjadi suatu garis lurus. 10/8/2017

Jawab : a. g (x) = - 2x + 1 1 x -4 -3 -2 -1 2 3 -2x g (x) 8 6 4 -6 9 7 5 -5 10/8/2017

b. (i) Bayangan dari : -2 adalah 5 0 adalah 1 2 adalah -3 (ii) Himpunan pasangan berurutan : { (-4,9),(-3,7),(-2,5),(-1,3),(0,1),(1,-1), (2,-3),(3,-5) } 10/8/2017

(iii) Grafiknya : g (x) = -2x + 1 9 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 7 8 10/8/2017

Terima Kasih ... Selamat Belajar 10/8/2017

Latihan Soal 1. Tentukanlah f (x) = 2x untuk daerah asal { x/ -4 x < 4 , x  B }. a. Buatlah tabel fungsinya ! b. Tulislah rangenya ! c. Gambarlah grafik fungsinya ! 10/8/2017

Pembahasan x -4 -3 -2 -1 1 2 3 f(x) -8 -6 -4 -2 2 4 6 x, f(x) a. Tabel fungsi : f(x) = 2x x -4 -3 -2 -1 1 2 3 f(x) -8 -6 -4 -2 2 4 6 x, f(x) (-4,-8) (-3,-6) (-2,-4) (-1,-2) (0,0) (1,2) (2,4) (3,6) b. Range : { -8,-6,-4,-2,0,2,4,6 } 10/8/2017

9 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 7 8 Grafiknya : -6 10/8/2017