Pertemuan 2 Persamaan dan Fungsi Kuadrat, & Polinomial VENY TRIYANA ANDIKA SARI, M.Pd.

Persamaan Kuadrat Definisi : Persamaan yang berbentuk ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0. Harga x yang memenuhi persamaan tersebut disebut akar persamaan kuadrat. ax2 + bx + c = 0 Persaman Kuadrat y = ax2 + bx + c Fungsi Kuadrat ax2 + bx + c Bentuk Kuadrat Akar Persamaan Kuadrat dapat dicari sebagai berikut: Persamaan Kuadrat Murni Faktorisasi Melengkapkan Kuadrat Rumus Kuadrat Grafik

Persamaan Kuadrat Murni contoh: 1. 𝑥 2 −4=0 maka 𝑥 2 =4 dan akar-akarnya adalah 𝑥=2, −2. 2. 2𝑥 2 −21=0 maka 𝑥 2 =21/2 dan akar-akarnya adalah 𝑥=± 21/2 =± 1 2 42 Faktorisasi 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 jika p dan q adalah akar-akar maka 𝑝+𝑞=𝑏 dan 𝑝×𝑞=𝑎𝑐

contoh : 3. 𝑥 2 −5𝑥+6=0 (-3)+(-2)= -5 dapat ditulis 𝑥−3 𝑥−2 =0 (-3)×(-2)=6 sehingga penyelesaiannya adalah 𝑥−3=0 dan 𝑥−2=0 𝑥=3 𝑥=2 Melengkapkan Kuadrat contoh: 4. selesaikan 𝑥 2 −6𝑥−2=0 langkah 1: ubah bentuk menjadi 𝑥 2 −6𝑥=2

langkah 2: tambahkan kedua sisi dengan 1 2 𝑏 𝑎 2 = 9 𝑥 2 −6𝑥+9=2+9 𝑥−3 2 =11 𝑥−3=± 11 𝑥=3± 11 catatan: 1. koefisien unsur 𝑥 2 harus 1 dan 2. bilangan yang ditambahkan kepada kedua sisi adalah kuadrat dari setengah koefisiean 𝑥. Rumus Kuadrat penyelesaian persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 diberikan dengan rumus 𝑥= −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 dimana 𝑏 2 −4𝑎𝑐 disebut diskriminan persamaan kuadrat.

Grafik akar-akar nyata atau penyelesaian dari 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 adalah harga-harga 𝑥 yang bersesuaian dengan 𝑦=0 pada grafik parabola 𝑦= 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐. Jadi penyelesaian adalah titik potong dengan sumbu absis 𝑥. Apabila grafik tidak memotong sumbu 𝑥 maka akar-akarnya adalah khayal. Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat Jumlah dan hasil akar-akar 𝑥 1 + 𝑥 2 = −𝑏 𝑎 dan 𝑥 1 . 𝑥 2 = 𝑐 𝑎

Syarat- syarat utuk kedua akar persamaan kuadrat: a. Real, jika D ≥ 0 maka: Real berlainan , jika D >0 maka real berlainan tanda: D >0 dan 𝑥 1 . 𝑥 2 <0 real berlawanan: D >0 dan 𝑥 1 + 𝑥 2 =0 Real sama, jika D = 0 Real positif, jika D ≥ 0, 𝑥 1 + 𝑥 2 ≥ 0 dan 𝑥 1 . 𝑥 2 >0 Real negatif, jika D ≥ 0, 𝑥 1 + 𝑥 2 < 0 dan 𝑥 1 . 𝑥 2 <0 Real berkebalikan, jika D ≥ 0 dan 𝑥 1 . 𝑥 2 =1 b. Imajiner, jika D < 0 c. Jika 𝑥 1 =0 𝑑𝑎𝑛 𝑥 2 ≠0 maka D >0 dan 𝑥 1 . 𝑥 2 =0 d. Rasional, jika 𝑎,𝑏,𝑐∈𝑅 serta D merupakan kuadrat bilangan rasional.

Rumus-rumus lain, sebagai berikut: c. 𝑥 1 3 + 𝑥 2 3 = 𝑥 1 + 𝑥 2 3 −3 𝑥 1 . 𝑥 2 𝑥 1 + 𝑥 2

Fungsi Kuadrat Fungsi yang berbentuk 𝑥,𝑦 |𝑦= 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 dimana 𝑎≠0 dan 𝑎,𝑏,𝑐∈𝑅 Harga 𝑥 yang menjadikan 𝑦=0 disebut harga nol dari fungsi tersebut. Jadi harga nol dari suatu fungsi adalah akar- akar persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0. 𝑥,𝑦 |𝑦= 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 dapat ditulis dalam bentuk faktor sebagai berikut: Fungsi Kuadrat

𝑥,𝑦 |𝑦= 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 ↔ 𝑥,𝑦 |𝑦= 𝑎𝑥 2 −𝑎 −𝑏 𝑎 𝑥+ 𝑐 𝑎 𝑎 ↔ 𝑥,𝑦 |𝑦=𝑎 𝑥 2 − 𝑥 1 + 𝑥 2 𝑥+ 𝑥 1 . 𝑥 2 ↔ 𝑥,𝑦 |𝑦=𝑎 𝑥− 𝑥 1 𝑥− 𝑥 2 Harga Ekstrim Fungsi Kuadrat untuk a > 0 jika 𝑥= −𝑏 𝑎 , maka y mencapai harga ekstrim minimum −𝐷 4𝑎 . jika D > 0, maka −𝐷 4𝑎 minimum negatif. jika D = 0, maka −𝐷 4𝑎 minimum nol. jika D < 0, maka −𝐷 4𝑎 minimum positif.

untuk a < 0 jika 𝑥= −𝑏 𝑎 , maka y mencapai harga ekstrim maksimum −𝐷 4𝑎 . jika D > 0, maka −𝐷 4𝑎 maksimum positif. jika D = 0, maka −𝐷 4𝑎 maksimum nol. jika D < 0, maka −𝐷 4𝑎 maksimum negatif.

Grafik fungsi 𝑥,𝑦 |𝑦= 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 terhadap sumbu x sebagai berikut: a. Jika a > 0 dan D > 0, maka grafiknya: b. Jika a > 0 dan D = 0, c. Jika a > 0 dan D < 0,

d. Jika a < 0 dan D > 0, maka grafiknya: e d. Jika a < 0 dan D > 0, maka grafiknya: e. Jika a < 0 dan D = 0, f. Jika a < 0 dan D < 0,

Buku paket “PENGENALAN ALJABAR” Halaman 97 – 105 no. 1-30 TUGAS 2 (KELOMPOK): Buku paket “PENGENALAN ALJABAR” Halaman 97 – 105 no. 1-30

Polinomial (Suku Banyak) PENGERTIAN SUKU BANYAK suatu bentuk yang memuat variabel berpangkat. suku banyak dalam x berderajat n dinyatakan dengan: 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎 𝑛−2 𝑥 𝑛−2 +…+ 𝑎 1 𝑥 1 + 𝑎 0 Polinomial (Suku Banyak)

Dengan syarat : n ∈ bilangan cacah dan 𝑎 𝑛 , 𝑎 𝑛−1 , ..., 𝑎 0 disebut koefisien- koefisien suku banyak, 𝑎 0 disebut suku tetap dan 𝑎 𝑛 ≠ 0. NILAI SUKU BANYAK Menentukan nilai suku banyak dapat dilakukan dua cara, yaitu: Cara Substitusi Cara Horner

TEOREMA SISA dan TEOREMA FAKTOR Teorema Sisa untuk Pembagian Bentuk Linear Teorema Sisa : TEOREMA SISA dan TEOREMA FAKTOR 1.Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh pembagi linear berbentuk (x – k), maka sisanya adalah s = f(k). 2.Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh pembagi linear berbentuk (ax + b), maka sisanya adalah s = Bukti : f(x) = (x – k).H(x) + s Jika x = k, maka f(k) = (k – k).H(k) + s f(k) = 0.H(k) + s f(k) = 0 + s  Sisa s = f(k) (terbukti)

Jadi sisa suku banyak di atas adalah 79 Contoh soal : CARA SUBSTITUSI 1. Tentukan sisa pembagian suku banyak (3x4+4x3–x2+5x– 7) oleh (x – 2) Jawab : S = f(2) = 3.24 + 4.23 – 22 + 5.2 – 7 = 3.16 + 4.8 – 4 + 10 – 7 = 3.16 + 4.8 – 4 + 10 – 7 = 48 + 32 – 1 = 79 Jadi sisa suku banyak di atas adalah 79 2. Suku banyak (2x3 + ax2 + bx – 2) memberikan sisa 7 jika dibagi (2x – 3) dan habis dibagi oleh (x + 2). Tentukan nilai a + b !

Jawab : f(x) = (2x3 + ax2 + bx – 2) s = 7 jika dibagi (2x – 3) 2. Suku banyak (2x3 + ax2 + bx – 2) memberikan sisa 7 jika dibagi (2x – 3) dan habis dibagi oleh (x + 2). Tentukan nilai a + b ! Jawab : f(x) = (2x3 + ax2 + bx – 2) s = 7 jika dibagi (2x – 3)  s = = 7 s = = 2 + a + b – 2 = 7 x 4 27 + 9a + 6b = 36 9a + 6b = 9 : 3 3a + 2b = 3 ......(1) f(x) habis dibagi (x + 2)  s = f(– 2) = 0 s = f(– 2) = 2(– 2)3+ a(– 2)2+ b(– 2) – 2 = 0 s = f(– 2) = – 16 + 4a – 2b – 2 = 0

Jadi a + b = 3 + (– 3) = 0 s = f(– 2) = – 16 + 4a – 2b – 2 = 0 : 2 2a – b = 9 ….......(2) Dari persamaan (1) dan (2), kita cari nilai a dan b : (1)….3a + 2b = 3 x 1 x 2 3a + 2b = 3 (2)….2a – b = 9 4a – 2b = 18 + 7a = 21 a = 3 Untuk menentukan nilai b, substitusikan a = 3 pada persamaan (1) atau (2)  (2)…. 2 . 3 – b = 9  b = – 3 Jadi a + b = 3 + (– 3) = 0

f(x) = (x–a)(x – b) . H(x) + s(x) f(x) = (x–a)(x – b) . H(x) + (px+q) Teorema Sisa untuk Pembagian Bentuk Kuadrat yang dapat difaktorkan (x – a)(x – b) Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (x – a)(x – b) Jika fungsi suku banyak f(x) dibagi oleh (x–a)(x – b), selalu dapat dituliskan : f(x) = p(x) . H(x) + s f(x) = (x–a)(x – b) . H(x) + s(x) f(x) = (x–a)(x – b) . H(x) + (px+q) P adalah koefisien x dan q adalah konstanta

Sehingga didapatkan : Jadi : Contoh soal : Jawab : Tentukan sisa pembagian suku banyak (3x4+4x3–x2+5x– 7) oleh x2 + x – 6 ! Jawab : F(x) = (3x4+4x3–x2+5x– 7) P(x) = x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3)  a = 2 dan b = - 3

Jadi : Jawab : F(x) = (3x4+4x3–x2+5x– 7) P(x) = x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3)  a = 2 dan b = - 3 f(a) = f(2) = 3.24 + 4.23 – 22 + 5.2 – 7 = 48 + 32 – 4 + 10 – 7 = 79 f(b) = f(- 3) = 3.(- 3)4 + 4. (- 3)3 – (- 3)2 + 5. (- 3) – 7 = 243 – 108 – 9 – 15 – 7 = 104 Jadi :

Jadi :

Teorema Faktor 1.Suatu fungsi suku banyak f(x) memiliki faktor (x – k) jika dan hanya jika f(k) = 0. 2.Suatu fungsi suku banyak f(x) memiliki faktor (ax + b) jika dan hanya jika = 0 Contoh soal : Buktikan bahwa (x – 2) dan (x + 3) adalah faktor-faktor dari suku banyak (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18) ! Bukti : f(x) = (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18) (x – 2) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18) maka f(2) = (2.24 + 7.23 – 4.22 – 27.2 – 18)

Karena f(2) = 0, maka (x – 2) adalah faktor dari f(x) Terbukti f(x) = (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18) (x – 2) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18) maka f(2) = (2.24 + 7.23 – 4.22 – 27.2 – 18) = (32 + 56 – 16 – 54 – 18) = 0 Karena f(2) = 0, maka (x – 2) adalah faktor dari f(x) Terbukti (x + 3) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18) maka f(-3) = (2.(-3)4 + 7.(-3)3 – 4.(-3)2 – 27.(-3) – 18) = (162 – 189 – 36 + 81 – 18) = 0 Karena f(-3) = 0, maka (x + 3) adalah faktor dari f(x) Terbukti

Menyelesaikan Persamaan Suku Banyak Menentukan Faktor Linear dari Suku Banyak Jika f(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an dan (x – a) merupakan faktor dari f(x), maka nilai a yang mungkin adalah faktor-faktor bulat dari an Contoh soal : Tentukan faktor-faktor dari suku banyak (2x3 – 5x2 – 14x + 8) Jawab : f(x) = 2x3 – 5x2 – 14x + 8 Nilai a yang mungkin adalah ±8, ±4, ±2, ±1 Dengan cara trial and error, tentukan nilai a yang mungkin dengan mensubstitusikan ke dalan f(x) sehingga f(a) = 0

Untuk a = -2  f(- 2) = 0, sehingga (x + 2) merupakan faktor dari f(x) Untuk menentukan faktor-faktor yang lain dapat dilakukan dengan cara HORNER sebagai berikut : 2 – 14 – 5 8 x = – 2 – 4 + – 9 18 4 – 8  f(-2) Sehingga : f(x) = (x – k).H(x) + s 2x3 – 5x2 – 14x + 8 = Jadi faktor dari 2x3 – 5x2 – 14x + 8 adalah (x + 2), (2x – 1) dan (x – 4) (x + 2).(2x2 – 9x + 4) + 0 (x + 2).(2x – 1)(x – 4)

Pembagian Suku Banyak Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (x – k) Hitunglah 1.256 dibagi 3 dengan cara bersusun ! Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (x – k) 1. Cara bersusun Contoh soal : Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7 dibagi (x – 2) ! Jawab : 3x3 + 10x2 + 19x (x – 2) 3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7 3x4 – 6x3 - 10x3 – x2 + 5x – 7 10x3 – 20x2 - 19x2 + 5x – 7 19x2 – 38x -

Jadi hasil baginya = 3x3 + 10x2 + 19x + 43 dan sisanya adalah 79 3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7 3x4 – 6x3 - pembagi 10x3 – x2 + 5x – 7 10x3 – 20x2 - 19x2 + 5x – 7 19x2 – 38x - 43x – 7 43x – 86 - 79  sisa Jadi hasil baginya = 3x3 + 10x2 + 19x + 43 dan sisanya adalah 79

2. Cara Bagan/Horner/Sintetis : Contoh soal : + 2. Cara Bagan/Horner/Sintetis : Contoh soal : Jawab : 3 - 1 4 - 7 5 x = 2 6 10 20 19 38 43 79 86  Sisa Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7 dibagi (x – 2) ! Koefisien Hasil Bagi Jadi hasil baginya = 3x3 + 10x2 + 19x + 43 dan sisanya adalah 79

Pembagian Suku Banyak Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (ax+b) 1. Cara bersusun Contoh soal : Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 6x4 – 4x2 + 2x – 1 dibagi (2x + 4) ! Jawab : 3x3 – 6x2 + 10x (2x + 4) 6x4 + 0x3 – 4x2 + 2x – 1 6x4 + 12x3 - – 12x3 – 4x2 + 2x – 1 – 12x3 – 24x2 - 20x2 + 2x – 1 20x2 + 40x -

Jadi hasil baginya = 3x3 - 6x2 + 10x -19 dan sisanya adalah 75 – 19  Hasil bagi (2x + 4) 6x4 + 0x3 – 4x2 + 2x – 1 6x4 + 12x3 - pembagi – 12x3 – 4x2 + 2x – 1 – 12x3 – 24x2 - 20x2 + 2x – 1 20x2 + 40x - – 38x – 1 – 38x – 76 - 75  sisa Jadi hasil baginya = 3x3 - 6x2 + 10x -19 dan sisanya adalah 75 6x4 – 4x2 + 2x – 1= (2x + 4)(3x3 - 6x2 + 10x -19) + 75

2. Cara Bagan/Horner/Sintetis : Contoh soal : Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 6x4 – 4x2 + 2x – 1 dibagi (2x + 4) ! Jawab : 6 – 4 2 – 1 x = – 2 – 12 24 – 40 76 + 6 – 12 20 – 38 75  Sisa H(x) = = 3x3 – 6x2 + 10x – 19 Jadi hasil baginya : H(x) = 3x3 – 6x2 + 10x – 19 dan sisanya adalah f(– 2) = 75

Pembagian Suku Banyak Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (ax2+ bx + c) 1. Cara bersusun Contoh soal : Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 4x4 – 5x2 + 3x – 1 dibagi (2x2 + x – 1) ! Jawab : 2x2 – x – 1  Hasil bagi (2x2 + x – 1) 4x4 + 0x3 – 5x2 + 3x – 1 4x4 + 2x3 – 2x2 pembagi - – 2x3 – 3x2 + 3x – 1 – 2x3 – x2 + x - – 2x2 + 2x – 1 – 2x2 – x + 1 - 3x – 2  sisa

SOAL-SOAL LATIHAN 2. Cara Bagan/Horner/Sintetis Contoh soal : Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 4x4 – 5x2 + 3x – 1 dibagi (2x2 + x – 1) ! TUGAS 3 (INDIVIDU): SOAL-SOAL LATIHAN

SOAL-SOAL LATIHAN

SOAL-SOAL LATIHAN

SOAL-SOAL LATIHAN

SOAL-SOAL LATIHAN