Pertemuan 4 Geometri sferik
Pengkajian tentang geometri segitiga sferik (lanjutan) Sasaran Pengkajian tentang geometri segitiga sferik (lanjutan)
Geometri segitiga sferik (lanjutan) Pokok Bahasan Geometri segitiga sferik (lanjutan)
Catatan: Dalam Geometri Euklid, bila 3 informasi dari sudut-sudut atau sisi-sisi dari segitiga diketahui, maka dengan Formula Sinus dan Formula Cosinus 3 informasi lainnya dapat dicari. Dalam Geometri Sferik hasil yang mirip juga berlaku.
Formula cosinus untuk sudut-sudut (sferik) Teorema 3.3 Misalkan segitiga ABC terletak pada bola satuan dengan sisi-sisi a, b, c berturut-turut terletak di depan sudut-sudut A, B, C. Maka berlaku: cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos c.
Bukti Teorema 3.3: Misalkan D pada AB sedemikian sehingga CD tegaklurus pada AB. Tulis C1 = sudut ACD dan C2 = sudut DCB. Misalkan AD = x dan DB = c-x. Maka didapat cos C = cos (C1 + C2) = cos C1 cos C2 – sin C1 sin C2 = [(cos x sin h / sin b)( cos(c-x) sin h / sin a)] - [(sin x / sin b)(sin(c-x) / sin a)]
Bukti Teorema 3.3 (lanjutan): = [(cos c + sin x sin (c-x)] sin h sin h – sin x sin (c-x)] / sin a sin b = [(cos c sin h sin h + sin x sin (c-x) (sin h sin h – 1)] / sin a sin b =[cos c sin h sin h – sin x sin (c-x) cos h cos h] / sin a sin b.
Bukti Teorema 3.3 (lanjutan): Dengan ekspansi ruas kanan dari formula cosinus di atas didapat - cos A cos B + sin A sin B cos c = -[cos h sin x / sin b] [[cos h sin (c-x) / sin a] + [(sin h / sin b) (sin h / sin a) cos c]. Dengan menggabungkan dua hasil di atas, diperoleh bukti teorema di atas.
Gambar dari Teorema 3.3 C A D B
Catatan: 1. Jumlah sudut-sudut dalam segitiga sferik tidak konstan. 2. Untuk menyelesaikan problem SdSSd (sudut-sisi-sudut), diperlukan Teorema 3.3.