DISTRIBUSI TEORITIS

PENGERTIAN DISTRIBUSI TEORITIS Distribusi teoritis adalah distribusi yang frekwensinya diturunkan secara matematis. Pada distribusi frekwensi, frekwensinya diperoleh dari hasil observasi/pengamatan. Perbedaan antara distribusi teoritis dan distribusi frekwensi dapat dilihat pada tabel hasil observasi pelemparan sebuah mata uang sebanyak 100 kali.

Sisi mata uang Percob.1 Percob.2 Percob.3 Percob.4 Sisi gambar 54 61 59 41 Sisi angka 46 39 Jumlah percobaan 100

Kesimpulan: dari percobaan tersebut akan sampai pada teori bahwa mata uang adalah setimbang, artinya probabilita munculnya sisi gambar dan sisi angka adalah sama, yaitu 50%. Distribusi teoritis munculnya sisi gambar dan angka dari pelemparan sebuah mata uang logam sebanyak 100 kali seperti yang terlihat pada tabel. Berdasarkan tabel diketahui bahwa frekwensi teoritis diperoleh dengan mengalikan probabilita dengan jumlah percobaan.

Sisi mata uang Probabilitas Frekwensi teoritis Sisi gambar 1/2 1/2 x 100 = 50 Sisi angka Jumlah 100

Manfaat mempelajari distribusi teoritis Dengan mempelajari distribusi teoritisnya, maka kita menjadi tahu pola distribusi frekwensinya. Contoh: Pengusaha rumah makan perlu mengetahui pola selera makan yang digemari para pelanggannya, dengan melihat pengalaman masa lalu. Dengan demikian pengusaha tersebut dapat menyesuaikan persediaan barang-barangnya.

MACAM DISTRIBUSI TEORITIS Macam distribusi teoritis yaitu: a. Distribusi Binomial b. Distribusi Poisson c. Distribusi Normal

VARIABEL DISKRIT DAN VARIABEL KONTINYU Variabel yang merupakan bilangan bulat dan jumlahnya terbatas Variabel yang merupakan hasil penghitungan Variabel kontinyu: Variabel yang terdiri dari nilai-nilai yang terletak dalam interval tertentu, bisa berupa bilangan bulat maupun pecahan Variabel yang merupakan hasil pengukuran

(Distribusi Probabilitas Diskrit) DISTRIBUSI BINOMIAL (Distribusi Probabilitas Diskrit)

Percobaan Bernoulli : Sifat-sifat sebagai berikut : Percobaan itu terdiri dari n pengulangan Tiap pengulangan memberikan hasil yang dapat diidentifikasi sukses atau gagal Probabilitas sukses dinyatakan dengan p, tetap konstan (tidak berubah) dari satu pengulangan ke pengulangan lainnya, sedangkan probabilitas gagal adalah q = 1- p Tiap pengulangan dan pengulangan lainnya saling bebas.

Distribusi Binomial Banyaknya X sukses dalam n pengulangan suatu percobaan bernoulli disebut sebagai variabel random Binomial, sedangkan distribusi probabilitasnya disebut distribusi Binomial dan nilainya dinyatakan sebagai : b(x,n,p) dimana x = 1, 2, …, n

Rata-rata dan Variansi Distribusi Binomial: dimana : μ = rata-rata n = jumlah percobaan p = probabilita sukses Deviasi standar dari distribusi binomial: σ = √n x p (1-p)

DISTRIBUSI BINOMIAL Contoh: Sebuah mata uang dilempar sebanyak 5 kali. Berapa probabilita munculnya sisi gambar sebanyak 2 kali? Jawab: diketahui n = 5 x = 2 maka P (x,n) = nCx . px . q (n-x) P (2,5) = 5C2 (1/2)2 x (1/2) (5-2) = 10 x 1/4 x 1/8 = 10/32 = 5/16

DISTRIBUSI BINOMIAL Contoh: Berapa rata-rata dan deviasi standar dari pelemparan sebuah mata uang yang dilempar 300 kali? Jawab: p = ½ n = 300 rata-rata (μ ) = 300 x ½ = 150 deviasi standar (σ) = √ 300 (1/2) (1/2) = 8,66 Sehingga dalam jarak ± 2 standar deviasi, rata-rata memperoleh sisi gambar sebanyak 150 – 2(8,66) dan 150 + 2(8,66). Atau 133 sampai 167 kali mendapatkan sisi gambar.

(Distribusi Probabilitas Diskrit) DISTRIBUSI POISSON (Distribusi Probabilitas Diskrit)

Percobaan Poisson: Jika suatu percobaan menghasilkan variabel random X yang menyatakan banyak-nya sukses dalam daerah tertentu atau selama interval waktu tertentu, percobaan itu disebut percobaan Poisson.

Ciri-ciri distribusi poisson: Digunakan pada percobaan binomial jika n >50 dan P < 0,1. Percobaan bersifat random/acak, misalnya: a. Kedatangan pasien di RS b. Kedatangan mobil di POM bensin c. Kedatangan mahasiswa di perpustakaan d. Jumlah telepon yang masuk Percobaan bersifat independen Variabel diskrit

Distribusi Poisson Jumlah X dari keluaran yang terjadi selama satu percobaan Poisson disebut Variabel random Poisson, dan distribusi probabilitasnya disebut distribusi Poisson. Bila x menyatakan banyaknya sukses yang terjadi , μ adalah rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam interval waktu atau daerah tertentu, dan e = 2,718 , maka rumus distribusi Poisson adalah : P(x) =

μ = n x p Dimana: P(x) = probabilita peristiwa x μ = rata-rata x = jumlah sukses e = bilangan alam = 2,7182 Rata-rata distribusi poisson: μ = n x p

DISTRIBUSI POISSON Contoh Soal: Berdasarkan pengalaman, setiap mencetak 10.000 lembar kertas terdapat 100 lembar yang rusak. Pada suatu waktu perusahaan mencetak 1000 lembar kertas. Hitunglah probabilitanya: a. Tepat mendapat 5 lembar kertas yang rusak. b. Mendapatkan paling banyak 2 lembar kertas yang rusak. c. Paling sedikit mendapat 2 kertas yang rusak.

DISTRIBUSI POISSON Jawab: Diketahui: Probabilita mendapatkan kertas yang rusak P = 100/10.000 = 0,01 μ = n x p = 1000 x 0,01 = 10 a. P (x = 5) = (10 5 x e -10)/ 5! = (100000 x 0,000045) / 120 = 0,0375 b. P (x ≤ 2) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)

Hubungan Distribusi Poisson dengan Distribusi Binomial Distribusi Poisson sebagai suatu bentuk pembatasan distribusi Binomial pada saat n besar, sedangkan p mendekati 0, dan np konstan. Sehingga bila n besar dan p mendekati 0, distribusi Poisson dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas Binomial, dengan  = np

(Distribusi Probabilitas Kontinyu) Distribusi Normal (Distribusi Probabilitas Kontinyu)

Kurva Normal dan Variabel Random Normal Distribusi probabilitas kontinyu yang terpenting adalah distribusi normal dan grafiknya disebut kurva normal. Variabel random X yang distribusinya berbentuk seperti lonceng disebut variabel random normal.  x 

Sifat kurva normal, yaitu : Kurva mencapai maksimum pada Kurva setangkup terhadap garis tegak yang melalui Kurva mempunyai titik belok pada Sumbu x merupakan asimtot dari kurva normal Seluruh luas di bawah kurva, di atas sumbu x adalah 1

DISTRIBUSI NORMAL Sifat-sifat distribusi normal : Bentuknya menyerupai lonceng dengan sebuah puncak Nilai rata-rata (mean) pada distribusi normal akan terletak ditengah-tengah dari kurve normal. Bentuknya simetris dengan nilai mean = median =modus Ujung masing-masing sisi kurve sejajar dgn sumbu horisontal dan tidak memotong sumbu horisontal tsb. Sebagian besar data ada ditengah-tengah dan sebagian kecil ada pada masing-masing sisi/tepi. 68% data berada dalam jarak ± 1 standar deviasi , 95% data berada dalam jarak ± 2 standar deviasi, 99% data berada dalam jarak ± 3 standar deviasi.

Distribusi Normal Variabel random X berdistribusi normal, dengan mean dan variansi mempunyai fungsi densitas

luas daerah di bawah kurva dinyatakan dengan : x X1  X2

Distribusi Normal Standar (1) apabila variabel X ditransformasikan dengan substitusi maka : ternyata substitusi menyebabkan distribusi normal menjadi , yang disebut distribusi normal standar.

Distribusi Normal Standar (2): Karena transformasi ini, maka selanjutnya nilai ini dapat dihitung dengan menggunakan tabel distribusi normal standar.

Hubungan Distribusi Normal & Distribusi Binomial: Jika n besar dan p atau q menuju 0, maka distribusi binomial dapat didekati oleh distribusi normal, sehingga bila X adalah variabel random yang berdistribusi Binomial dengan mean dan variansi maka berdistribusi normal standar

DISTRIBUSI NORMAL Contoh penggunaan kurve normal Nilai rata-rata mata kuliah statistik dari 200 orang mahasiswa adalah 6 dengan standar deviasi 2. Berapa jumlah mahasiswa yang mendapat nilai 8 keatas? jawab :

DISTRIBUSI NORMAL Dengan melihat tabel kurve normal dapat dilihat bahwa luas daerah 0 sampai dengan 1 adalah 34,13 % (prosentase jumlah mahasiswa yang nilainya 6 sampai 8) Jadi prosentase mahasiswa yang nilainya di atas 8 adalah 50% - 34,13% = 15,87% Dengan demikian jumlah mahasiswa yang nilainya di atas 8 adalah 200 x 15,87% = 31,74 = 32 orang.

DISTRIBUSI NORMAL 50% 34,13% 15,87% 6 8

DISTRIBUSI NORMAL Setelah dimulainya suatu program pelestarian energi, PLN mencatat bahwa penghematan penggunaan listrik yang dilakukan oleh para pemakai di daerah tertentu rata-rata adalah 10,4 KWH setiap bulannya dengan standar deviasi 7,8 KWH. Apabila rekening untuk seseorang pelanggan dipilih secara acak. Hitunglah probabilitanya: 1. Penghematan listrik yang digunakan lebih dari 5 KWH 2. Penghematan listrik yang digunakan antara 5-15 KWH. 3. Penghematan listrik yang digunakan kurang dari 5 KWH