INTEGRAL RANGKAP DUA Yulvi Zaika

Integral ganda Fungsi dua variabel pada suatu daerah tertutup di bidang x,y yang batas batasnya dikenal dengan kurva mulus bagian demi bagian (piecewise smooth curve) yang tertutup

Sifat – sifat integral ganda

Evaluasi Integral Ganda

Contoh

Latihan

APLIKASI INTEGRAL RANGKAP DUA LUAS BIDANG ANTARA 2 KURVA Luas elemen 𝛿𝐴=𝛿𝑥𝛿𝑦 Luas daerah aksiran≈ 𝑦= 𝑦 1 𝑦= 𝑦 2 𝛿𝑥𝛿𝑦 Luas seluruh aksiran dalam kurva≈ 𝑥=𝑎 𝑥=𝑏 𝑦=𝑦1 𝑦=𝑦2 𝛿𝑥𝛿𝑦 Jika 𝛿𝑥→0 𝑑𝑎𝑛 𝛿𝑦→0, 𝐴= 𝑎 𝑏 𝑦1 𝑦2 𝑑𝑦𝑑𝑥

y=f1(x) y=f2(x) a b x y a b x y x=f1(y) x=f2(y)

CONTOH

Volume elemen 𝛿𝑉=𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 Volume kolom≈ 𝑧=0 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦) 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 Volume dari benda Volume elemen 𝛿𝑉=𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 Volume kolom≈ 𝑧=0 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦) 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 Volume potongan ≈ 𝑦=𝑦1 𝑦=𝑦2 𝑧=0 𝑧=𝑓 𝑥,𝑦 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 Total volume  jumlah semua potongan

Dan jika Akan menjadi

Contoh Tentukan luas area antara 2 kurva y1=(x-1)2 dan kurva y2= 4- (x-3)2 Tentukan titik potong kedua kurva Titik potong kurva

contoh Tebal plat t pada P 𝑡=𝑘𝑂 𝑃 2 =𝑘 𝑥 2 + 𝑦 2 Luas elemen=xy Suatu plat segiempat dibatasi oleh sumbu x dan y dan garis x=6 dan y=4. Ketebalan dari plat berbanding lurus dengan jarak terhadap kuadrat titik ke titik asal. Tentukan volume dari plat tersebut. Tebal plat t pada P 𝑡=𝑘𝑂 𝑃 2 =𝑘 𝑥 2 + 𝑦 2 Luas elemen=xy

Volume elemen pada P Total volume V

contoh Tentukan volume dari benda pada yang dibatasi oleh bidang z=0, x=1, x=3 y=1, y=2 dan permukaan 𝑧= 𝑥 2 𝑦 2

Volume elemen Volume kolom Volume potongan Volume benda padat

Contoh Tentukan volume tetrahedron yang dibatasi oleh bidang bidang koordinat dan Bidang 3x+6y+4z-12=0 Z=0 maka 3x+6y-12=0 atau x+2y-4=0 pada bidang xy Y=0 maka 3x +4z-12=0 pada bidang xz X=0 maka 6y+4z -12=0 pada bidang yz z Z=(12-3x-6y)/4 3 2 Bidang xy maka y=2-x/2 dan x=4-2y daerah R R y R={(x,y)|0≤x≤4,0≤y≤2-x/2} Atau R={(x,y)|0≤x≤4-2y,0≤y≤2} 4 x

LATIHAN Tentukan luas antara dua kurva y1=3x2 dan y2=6x Tentukan volume tetrahedron yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang 20x+12y+15z-60=0 Tentukan volume tetrahedron yang dibatasi oleh bidang bidang koordinat dan bidang x=5 dan y+2z-4=0 𝑅= 𝑃: 𝑥,𝑦 |0≤𝑥≤1, 1 4 𝑥 3 ≤𝑦≤2− 𝑥 4 𝑅= 𝑃: 𝑥,𝑦 | tan 𝑦 ≤𝑥≤2 cos 𝑦 , 0≤𝑦≤ 𝜋 4

KOORDINAT KUTUB

CONTOH

LATIHAN Hitung luasnya dengan koordinat kutub 𝑅 𝑒 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝐴 : R daerah di dalam lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 =4 𝑅 4− 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑑𝐴 : R daerah di kuadran pertama yang dibatasi lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 =4, y=0 dan y=x 𝑅 1 4+ 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝐴 : R daerah di kuadran pertama yang dibatasi lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 =4, y=0 dan y=x 𝑅 𝑦 𝑑𝐴 ; R daearah di dalam 𝑥 2 + 𝑦 2 =4 dan di luar 𝑥 2 + 𝑦 2 =1 yang terletak di kuadran pertama.