Inferensi tentang Variansi Populasi Dalam mempelajari variansi populasi, persamaan yang penting diperhatikan adalah: (n - 1)s2/ 2 Persamaan ini mengikuti sebuah distribusi yang disebut dengan distribusi chi-square (dengan derajat kebebasan n – 1)  dapat digunakan untuk estimasi variansi populasi Semakin meningkatnya derajat kebebasan karena meningkatnya ukuran sampel, maka bentuk distribusi chi-square mendekati distribusi normal

Contoh Distribusi (n - 1)s2/ 2 Dengan derajat kebebasan 2 Dengan derajat kebebasan 5 Dengan derajat kebebasan 10

Estimasi Interval 2 .025 .025 95% nilai 2 yang mungkin 2

Probabilitas untuk memperoleh nilai c2 adalah (1 – a) sehingga Dengan melakukan substitusi (n – 1)s2/s 2 untuk c2 diperoleh: Sehingga

Estimasi Interval untuk variansi populasi Nilai mempunyai distribusi chi-square dengan derajat kebebasan n – 1 dan koefisien kepercayaan 1 - .

Estimasi Interval untuk  Estimasi Interval untuk simpangan baku

Contoh Suatu proses pengolahan seharusnya dilakukan pada suhu 68oC. Selama 10 jam pengolahan, ternyata suhu yang terbaca pada termometer mesin tersebut adalah sebagai berikut: Jam ke- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Suhu 67.4 67.8 68.2 69.3 69.5 67.0 68.1 68.6 67.9 67.2 Dengan interval kepercayaan 95%, Anda ingin membuat estimasi variansi suhu pada mesin tersebut.

Estimasi Interval untuk 2 n =10; a = .05 Nilai dari tabel disttibusi Chi-Square Nilai

n = 10; a = .05 .025 Daerah di Ekor Atas = .975 2 2.700

Nilai dari tabel disttibusi Chi-Square n = 10 ; a = .05 Nilai dari tabel disttibusi Chi-Square Nilai

n = 10 ; a = .05 .025 Daerah di Ekor Atas = .025 2 2.700 19.023

Variansi sampel s2 memberika estimasi titik untuk  2. Estimasi populasi variansi dengan tingkat kepercayaan 95%: .33 < 2 < 2.33

Contoh 2: Anda mengambil keripik kentang yang dikemas berukuran 16 ons secara acak sebanyak 41 bungkus. Simpangan baku sampel tersebut adalah 0.05 ons. Anda ingin melakukan estimasi simpangan baku berat keripik kentang tersebut dengan interval kepercayaan 90% jika berat keripik kentang tersebut terdistribusi secara normal. d.f. = n – 1 = 41 – 1 = 40 = 55.8 = 26.5

Estimasi Perbedaan Antara Mean dari 2 Populasi (Sampel tidak saling bergantung) Jika 1 adalah mean dari populasi 1 dan 2 adalah mean dari populasi 2, maka perbedaan antara 2 mean populasi tersebut adalah 1 - 2. Untuk melakukan estimasi 1 - 2, sampel acak sederhana berukuran n1 diambil dari populasi 1 dan sampel acak sederhana berukuran n2 diambil dari populasi 2. Jika adalah mean dari sampel 1 dan adalah mean dari sampel 2, maka pengestimasi titik untuk perbedaan antara 2 mean dari populasi 1 dan 2 adalah

Distribusi Nilai yang diharapkan Simpangan baku 1 = simpangan baku populasi 1 2 = simpangan baku populasi 2 n1 = ukuran sampel populasi 1 n2 = ukuran sampel populasi 2

Estimasi Interval untuk 1 - 2: Kasus Sampel Besar (n1 > 30 dan n2 > 30) Estimasi interval dengan 1 dan 2 diketahui 1 -  = koefisien kepercayaan Estimasi interval dengan 1 dan 2 tidak diketahui

Contoh Perusahaan A ingin membandingkan penilaian konsumen pada produknya terhadap penilaian konsumen pada produk perusahaan B sebagai pesaingnya. Hasil penilaian konsumen adalah sebagai berikut Sampel 1 Sampel 2 Perusahaan A Perusahaan B Ukuran sampel n1 = 120 produk n2 = 80 produk Mean = 235 = 218 Simpangan baku s1 = 15 s2 = 20 Anda diminta untuk membuat estimasi interval dari perbedaan antara 2 mean populasi dengan interval kepercayaan 95%

= 17 + 5.14 atau 11.86 ≤ ≤ 22.14 . 1 - 2

Estimasi Interval untuk 1 - 2: Kasus Sampel Kecil (n1 < 30 dan/atau n2 < 30) Estimasi interval dengan  diketahui

Estimasi Interval untuk 1 - 2: Kasus Sampel Kecil (n1 < 30 dan/atau n2 < 30) Estimasi interval dengan  tidak diketahui

Contoh Anda sedang mengembangkan 2 produk baru (Produk A dan Produk B) dan meminta konsumen untuk memberikan penilaiannya terhadap keduanya. Statistik dari sampel yang Anda berikan kepada konsumen adalah sebagai berikut: Sampel 1 Sampel 2 Produk A Produk B Ukuran sampel n1 = 12 produk n2 = 8 produk Mean = 29.8 = 27.3 Simpangan Baku s1 = 2.56 s2 = 1.81 Anda diminta untuk membuat estimasi interval untuk perbedaan antara 2 mean populasi dengan interval kepercayaan 95%

Asumsi : Penilaian konsumen terhadap kedua produk tersebut harus terdistribusi secara normal Variansi penilaian konsumen untuk kedua produk tersebut harus sama. Dengan menggunakan distribusi t maka df = n1 + n2 - 2 = 18 t.025 = 2.101.

= 2.5 + 2.2 atau .3 ≤ ≤ 4.7 1 - 2

Uji mean dari 2 populasi yang saling terkait Sampel Berpasangan Uji mean dari 2 populasi yang saling terkait Sampel berpasangan Pengukuran berulang (sebelum / sesudah) Menggunakan perbedaan antara nilai yang berpasangan: Asumsi: Kedua populasi terdistribusi secara normal Jika tidak normal, menggunakan ukuran sampel yang besar d = x2 – x1

di = x2i – x1i Estimasi titik untuk mean populasi perbedaan pasangan: Perbedaan pasangan ke-i: di = x2i – x1i Estimasi titik untuk mean populasi perbedaan pasangan: Simpangan baku n adalah jumlah pasangan dalam sampel berpasangan

Estimasi Interval : t/2 mempunyai derajat kebebasan n – 1

Contoh: Anda ingin melakukan estimasi mean keberhasilan pelatihan yang diberikan kepada karyawan bagian pemasaran di perusahaan Anda dengan tingkat kepercayaan 99%. Berdasarkan keluhan dari pelanggan terhadap pelayanan yang diberikan oleh karyawan bagian pemasaran,diperoleh data sbb:  di Jumlah keluhan: (2) - (1) Karyawan Sebelum(1) Sesudah (2) Perbedaan, di C.B. 6 4 - 2 T.F. 20 6 -14 M.H. 3 2 - 1 R.K. 0 0 0 M.O. 4 0 - 4 -21 d = n = -4.2

Estimasi interval tα/2 = 4.604 (-4.2) – (4.604)(2.5357) ≤ -15.874 ≤ ≤ (-4.2) + (4.604)(2.5357) -15.874 ≤ ≤ 7.474

Interval Kepercayaan untuk 2 Proporsi Populasi Asumsi: n1p1  5 , n1(1-p1)  5 n2p2  5 , n2(1-p2)  5 p1 – p2 Estimasi titik untuk perbedaan: Interval kepercayaan untuk p1 – p2 adalah:

Contoh: Sebagai seorang manager produksi Anda ingin mengetahui perbedaan proporsi cacat antara lini produksi 1 dan lini produksi 2. Dari 200 produk yang diambil pada lini produksi 1, ternyata 35 ditemukan cacat , sedangkan pada lini 2 ditemukan 32 cacat dari 400 produk yang diambil. Dengan estimasi interval kepercayaan 90% berapa perbedaan proporsi yang cacat pada kedua lini tersebut?