MATRIKS DEFINISI MATRIKS : Matriks adalah sekumpulan bilangan riil atau bilangan kompleks yang disusun menurut baris dan kolom sehingga membentuk jajaran (array) persegi panjang UKURAN MATRIKS : Matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks m x n atau matriks berorde mxn

Matriks dinyatakan dalam bentuk : banyaknya baris dan banyaknya kolom Contoh Matriks orde m x n :

Ciri-ciri matriks : Matriks dituliskan dalam huruf kapital Bold Matriks ditandai dengan simbol ( “ [aij]”) Notasi 2 indeks suatu elemen matriks am x n merupakan elemen matriks yang terletak pada baris ke - m dan kolom ke - n Elemen Matriks dituliskan dalam numerik yang menyatakan suatu koefisien untuk matriks baris dan matriks kolom dinyatakan dengan huruf kecil tebal

Jenis – Jenis Matriks : Matriks bujur sangkar : matriks yang berorde m x m Matriks Persegi panjang : matriks yang berorde m x n Matriks diagonal : matriks bujur sangkar yang semua elemennya sama dengan nol, kecuali elemen pada diagonal utamanya. Matriks segitiga atas / segitiga bawah : matriks bujur sangkar yang semua elemen di bawah diagonal (segitiga atas) atau dibawah diagonal (segitiga bawah) sama dengan nol

Jenis – Jenis Matriks : Matriks bujur sangkar : matriks yang berorde m x m Matriks Persegi panjang : matriks yang berorde m x n Matriks diagonal : matriks bujur sangkar yang semua elemennya sama dengan nol, kecuali elemen pada diagonal utamanya. Matriks segitiga atas / segitiga bawah : matriks bujur sangkar yang semua elemen di bawah diagonal (segitiga atas) atau dibawah diagonal (segitiga bawah) sama dengan nol

Jenis-jenis Matriks e. Matriks Satuan / Identitas : matriks diagonal yang semua elemen diagonal utamanya sama dengan 1 f. Matriks nol : matriks yang semua elemennya sama dengan nol.

Jenis-jenis Matriks g. Matriks baris : Suatu matriks yang terdiri dari satu baris. h. Matriks kolom : Suatu matriks yang terdiri dari satu kolom i. Matriks berelemen tunggal : Sebuah bilangan dapat di pandang sebagai matriks berukuran 1 x 1, yaitu matriks yang hanya mempunyai 1 baris dan 1 kolom saja.

Kesamaan Matriks Menurut definisi dua buah matriks dikatakan sama jika semua elemen yang bersesuaian letaknya “sama” Karena itu kedua matriks tersebut harus berorde “sama” a = w b = x c = y d = z

Penjumlahan & Pengurangan Matriks : Agar dua matriks dapat dijumlahkan dan dikurangkan maka, orde kedua matriks haruslah sama. Selanjutnya jumlah dan selisihnya diperoleh dengan menambahkan atau mengurangkan elemen - elemen yang bersesuaian.

OPERASI ALJABAR PADA MATRIKS Hukum Komutatif Penjumlahan A + B = B + A Hukum Asosiatif Penjumlahan A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

Perkalian Matriks : Perkalian dengan skalar : Mengalikan matriks dengan sebuah bilangan pada masing - masing elemennya. Perkalian dua buah matriks : Dua buah matriks dapat dikalikan satu terhadap yang lain apabila; banyaknya kolom dalam matriks yg pertama sama dengan banyaknya baris dalam matriks kedua

 ( B + C ) =  B +  C (  +  ) C =  C +  C (   ) C =  (  C ) =  (  C )  ( B C ) = (  B ) C = B (  C ) Keterangan :  dan  adalah bilangan skalar

Hukum Asosiatif Perkalian A ( B C ) = ( A B ) C Hukum Distributif A ( B + C ) = AB + AC ( B + C ) A = BA + CA

Perkalian matriks (3x2) dengan matriks(2x4) menghasilkan matriks berorde (3 x 4). Secara umum, perkalian matriks (l x m) dengan matriks (mxn) akan menghasilkan matriks berode (l x n) Suatu matriks hanya dapat dikuadratkan jika matriks tersebut merupakan matriks bujur sangkar.

dan B adalah matriks ( n x m ) , Jika A adalah matriks (m x n), dan B adalah matriks ( n x m ) , maka perkalian A.B dan B.A keduanya mungkin dilakukan, bila m = n. Perkalian matriks A.B  B.A . Perkalian matriks tidak komutatif.

Hasil Kali Matriks Sebagai Kombinasi Linear; Hasil kali Ax dari sebuah matriks A dengan sebuah matriks kolom x adalah sebuah kombinasi linear dari matriks-matriks kolom dari A dengan koefisien - koefisien yang berasal dari matriks x. Matriks Terpartisi; Sebuah matriks bisa dibagi atau dipartisi menjadi matriks - matriks yang lebih kecil dengan menyelipkan garis horizontal dan vertikal di antara baris dan kolom yang ditentukan.

TRANSPOSE MATRIKS Jika baris dan kolom suatu matriks dipertukarkan. Maksudnya : Baris pertama menjadi kolom pertama, Baris kedua menjadi kolom kedua, Baris ketiga menjadi kolom ketiga, dst.

Aturan-aturan Aljabar untuk Transpose : ( AT )T = A ( A )T =  AT , dengan  adalah skalar ( A + B )T = AT + BT ( AB ) T = BT AT (AT)-1 =(A-1)T

INVERS MATRIKS Misalkan A matriks bujur sangkar, matriks B yang memenuhi AB = BA = I , disebut sebagai invers dari A. Matriks A yang mempunyai invers disebut sebagai matriks taksingular atau invertible, sedangkan yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.

Contoh : Adalah invers dari Matriks B merupakan invers dari matriks A sebab berlaku AB = I Adalah invers dari

Simbol lain untuk menyatakan invers dari matriks A adalah A-1 Jika A dan B dua matriks tak singular, maka : (i). AB tak singular (ii).AB = BA

Jika : dan ad – bc  0 , maka

Jika A adalah sebuah matriks n x n yang dapat dibalik, maka untuk setiap matriks B yang berukuran n x 1 pada sistem persamaan AX = B mempunyai persis satu pemecahan yaitu X= A-1B Contoh : Selesaikan sistem persamaan linier berikut x1 + 2x2 + 3x3 =5 2x1 + 5x2 + 3x3 =3 x1 + 8x3 =17

Carilah invers dari 1. 2.

Adalah bukan invers dari Karena BA ≠ I Jika A dan B adalah matriks - matriks yang dapat dibalik dan berukuran sama (n x n), maka : (AB)-1 = B-1. A-1

Matriks Elementer & metode mencari A-1 Definisi : Sebuah matriks n x n dinamakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks satuan n x n yakni In x n dengan melakukan sebuah operasi baris elementer tunggal. Jika A taksingular; det(A) ≠ 0 berarti A dapat dibalik Jika A.x = b memiliki satu pemecahan maka A harus taksingular Jika A.x = 0, maka hanya akan mempunyai pemecahan trivial

Jika A taksingular maka A ekivalen baris dengan I, terdapat matriks - matriks elementer E1,E2,…,Ek sehingga: EkEk-1…E1A = I  EkEk-1…E1I = A-1 Dengan demikian dapat dicari A-1 yaitu (A | I ) akan menjadi (I | A-1) Jika E adalah matriks elementer yang berasal dari matriks satuan I m x m yang telah dikenakan suatu bentuk OBE; dan A adalah matriks m x n, maka EA adalah matriks yang terjadi apabila OBE di atas dikenakan pada A

Setiap matriks elementer merupakan matriks tak singular. Invers dari matriks elementer juga merupakan matriks elementer

BAB 2 EKUIVALENSI

TRANSFORMASI ELEMENTER DEFINISI : OPERASI YANG DIKERJAKAN PADA MATRIKS MENURUT SALAH SATU CARA BERIKUT : Menukar letak baris/kolom ke i dengan baris/kolom ke j Mengalikan setiap elemen baris/kolom ke I dengan suatu bilangan k tidak sama dengan 0 Menambah setiap elemen baris/ kolom ke I dengan k kali elemen baris/ kolom ke j ( k bilanagan sembarang)

3 OPERASI TADI APABILA DIKERJAKAN PADA BARIS SAJA MAKA DINAMAKAN OPREASI BARIS ELEMENTER (OBE) DAN JIKA DIKERJAKAN PADA KOLOM SAJA DINAMAKAN OPERASI KOLOM ELEMENTER (OKE)