MODUL 4: MATRIK dan determinan

Pengertian Matrik Istilah-istilah : Matrik adalah susunan bilangan real (kompleks) berbentuk empat persegi panjang yang dibatasi oleh tanda kurung, ditulis dengan : Istilah-istilah : Lambang matrik digunakan huruf besar, A, B, C Elemen matrik digunakan lambang huruf kecil, a. b , c … Bagian mendatar disebut baris Bagian tegak disebut kolom Indeks-I menyatkan baris, indeks-j menyatakan kolom Jumlah baris=m, jumlah kolom=n Ukuran matrik disebut ordo Matrik dengan jumlah baris=m, jumlah kolom=n diebut dengan ukuran (mxn) atau matrik berordo (mxn)

CONTOH CONTOH Perhatikan jaringan berikut : 1 2 4 3 Beberapa istilah yang perlu diketahui ; Elemen matrik A dapat berupa bilangan bulat, desimal, rel atau bilangan kompleks Jumlah baris A=4, jumlah kolom a=5, A berukuran (4x5) a32 : elemen baris ke-3 kolom-2 adalah 0.001 Elemen-elemen diagonal matrik A : 1, , 3, 1 Matrik jaringannya adalah sebagai berikut

CONTOH MATRIK-MATRIK KHUSUS Matrik Bujur Sangkar A dikatakan matrik bujur sangkar jika jumlah baris dan jumlah kolom A sama. Matrik A dikatakan berordo n Matrik A berordo 4, elemen-elemen diagonal utama A adalah 0, 0, 0, 0 Elemen-elemen diagonal utama A adalah a11, a22, a33, a44 ….

Matrik Segitiga Atas Matrik Segitiga Bawah A dikatakan matrik segitiga atas, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen dibawah diagonal utama 0 Matrik Segitiga Bawah A dikatakan matrik segitiga atas, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen diatas diagonal utama 0 Elemen-elemen diagonal utama : 3, 9, -7, 2, 8 Elemen-elemen dibawah diagonal utama 0, maka A matrik segitiga atas Elemen-elemen diagonal utama : 1, 4, 7, 2, 8 Elemen-elemen diatas diagonal utama 0, maka A matrik segitiga bawah

Matrik Diagonal = D Matrik Identitas = I A dikatakan matrik diagonal, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen selain diagonal utama 0, dan elemen diagonal utama tak nol. Matrik demikian diberi lambang D. Matrik Identitas = I A dikatakan matrik identitas, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen selain diagonal utama 0, dan elemen diagonal utama 1. Matrik identitas diberi lambang I.

Matrik Simetris, A=AT Transpose Matrik= AT Transpose matrik A ditulis AT adalah sebuah matrik yang diperoleh dari A dimana baris AT adalah kolam A, dan kolom AT adalah baris A. Bila A berukuran (mxn), AT berukuran (nxm) CONTOH Matrik Simetris, A=AT A dikatakan matrik simetris, bilamana A adalah matrik bujur sangkar dimana, AT=A CONTOH Matrik tridiagonal

OPERASI ARITMATIK MATRIK (1) (2) Perkalian dng skalar, kA Perkalian matrik, A=[aij] dengan skalar tak nol k ditulis kA, didefinisikan bahwa setiap elemen A dikalikan dengan konstanta tak nol k, yakni : kA=k[aij]= [kaij] Contoh : (1) Kesamaan, A=B Matrik, A=[aij] dan B=[bij] dikatakan sama ditulis A=B jika hanya jika A dan B berukuran sama Setiap elemen yang seletak nilainya sama, aij = aij ; Contoh : A dan B berukuran sama (2x3), tetapi AB, karena terdapat elemen seletak nilainya tidak sama

OPERASI ARITMATIK MATRIK (2) (3) Penjumlahan, A+B Matrik, A=[aij] dan B=[bij] dikatakan dapat dijumlahkan ditulis A+B bilamana A dan B berukuran sama. Bilamana, A+B=C, maka elemen matrik C diberikan, cij = aij + bij (elemen yang seletak dijumlahkan) Contoh : Diberikan :

OPERASI ARITMATIK MATRIK (3) (4) Perkalian Matrik, AB=C Matrik, A=[aij](m=n) dan B=[bij](pxq) dikatakan dapat dikalikan ditulis AB bilamana jumlah kolom A dan jumlah baris B sama [n=p]. (2) Bilamana, AB=C, maka matrik C=[cij](mxq) dimana elemen cij diberikan oleh : Contoh : Diberikan :

Soal Latihan Hitunglah (a). AB ; BC dan CA (b). (AB)C = A(BC) (c). (BC)(A)=B(CA) (d). (CA)B = C(AB)

DETERMINAN MATRIK Kasus, n=3, Metode Sarrus Kasus n=1 Kasus n=2 Fungsi determinan matrik bujur sangkar A dinyatakan dengan det(A)=|A|, didefinisikan sebagai jumlahan hasil kali elementer elemen-elemen bertanda A Kasus n=1 A=[a], det(A) =|a| = a Kasus n=2 Kasus, n=3, Metode Sarrus (–) (–) (–) (+) (+) (+)

METODE EKSPANSI LAPLACE Andaikan, A=[aij] (nxn) adalah matrik bujur sangkar berordo (nxn). (1). Minor elemen matrik A baris ke-i dan kolom ke-j (a-ij) ditulis Mij didefinisikan sebagai determinan matrik berordo (n-1)x(n-1) yang diperoleh dari A dengan cara menghilangkan baris ke-I dan kolom ke-j (2). Kofaktor elemen matrik A baris ke-i kolom ke-j ditulis C-ij didefinisikan sebagai : CONTOH : M21 baris ke-2 dan kolom ke-1 dihilangkan

CONTOH : Minor M23 determinan matrik berordo (3x3) baris ke-2 dan kolom ke-3 dari matrik A dihilangkan M32 determinan matrik berordo (3x3) baris ke-3 dan kolom ke-2 dari matrik A dihilangkan

DETERMINAN METODE EKSPANSI LAPLACE Andaikan, A=[aij] (nxn) adalah matrik bujur sangkar berordo (nxn), dan Cij = (-1)i+j Mij adalah kofaktor elemen matrik A baris ke-i kolom ke-j. CONTOH Hitung det (A) dengan ekspansi kofaktor

CONTOH CONTOH Hitunglah determinan matrik A Ekspnasi kofaktor baris Ekspansi kofaktor kolom

DETERMINAN : METODE CHIO Andaikan, A=[aij](nxn), dan a110, maka : Rumus diatas dikenal pula dengan, rumus menghitung determinan dengan mereduksi orde / ukuran matrik. Reduksi ordenya dapat pula menggunakan elemen matrik yang lain, tidak harus a11.

CONTOH CONTOH Hitunglah, det(A) dari : Hitunglah, det(A) dari : Jawab : Karena, a11= 2, dan n=4, maka : CONTOH Hitunglah, det(A) dari : Jawab : Karena, a11= –2, dan n=3, maka :

SIFAT-SIFAT DETERMINAN (2). Jika A dan B adalah matrik bujur sangkar yang berordo sama maka det(AB) = det(A) det(B) Contoh : (1). Jika A matrik bujur sangkar maka det(A) = det(AT) Contoh : Menurut sifat (1), maka : det(A) = det(AT) = –42

SIFAT-SIFAT DETERMINAN (3). Jika A matrik bujur sangkar yang memuat baris atau kolom dimana elemennya 0 atau sebanding, maka det(A) = 0 Contoh : (4). Jika A matrik segitiga atas (bawah) yang berordo (nxn) dimana elemen diagonal utama tak nol, maka : det(A) = a11a22a33 … ann Contoh : Baris-2 matrik A elemennya 0, maka det(A)=0 Kolom-3 matrik A elemennya 0, maka det(A)=0 A matrik segitiga atas, maka : det(A) = (2)(3)(4)(5) = 120

SIFAT-SIFAT DETERMINAN CONTOH : (5). Jika A dan B matrik bujur sangkar yang berordo sama. Jika matrik B diperoleh dari A dengan cara mengalikan sembarang baris (kolom) dengan konstanta k tak nol, maka : det(B) = k det(A) Operasi elementarnya adalah : Hi  k Hi : Baris ke-i baru = kx baris ke-i lama Kj  k Kj : Kolom ke-j baru = kxkolom ke-j lama det(A)=21 H2  2 H2 k1= 2 H2  3 H2 k2=3 det(B) = k1 k2 det (A) = (2) (3) 21 = 126

SIFAT-SIFAT DETERMINAN CONTOH : (6). Jika A dan B matrik bujur sangkar yang berordo sama. Jika matrik B diperoleh dari A dengan cara menukarkan semua elemen sembarang baris (kolom) , maka : det(B) = – det(A) Operasi elementarnya adalah : Hi  Hj : Baris ke-i baru = baris ke-j lama Ki  Kj : Kolom ke-i baru = kolom ke-j lama det(A)=21 H2  H3 det(B)= –det(A) = –21 K2  K3 det(C)= –det(B) = –(–21)=21

SIFAT-SIFAT DETERMINAN CONTOH : (7). Jika A dan B matrik bujur sangkar yang berordo sama. Jika matrik B diperoleh dari A dengan cara mengalikan sembarang baris (kolom) dengan konstanta k tak nol dan hasilnya dijumlahkan pada baris (kolom) yang lain, maka : det(B) = det(A) Operasi elementarnya adalah : Hi  Hi+kHj : Baris ke-i baru = Baris ke-i lama + k baris ke-j lama Kj  Kj+k Kj : Kolom ke-j baru = kolom ke-j lama + k kolom ke-i lama a11 = pivot a21 dan a31 direduksi menjadi 0 H2  H2 – 2 H1 H3  H3 – 3 H1 a22 = pivot a32 = direduksi – 0 H3  H3 – 2H2 Jadi, det(A) = (1)(-2)(4) = -8

Matrik Awal 2 4 40 3 1 6 Iterasi 1 PIVOT = a11 -1 -6 H2=H2-(a21/a11)H1 H3=H3-(a31/a11)H1 H4=H4-(a41/a11)H1 Iterasi 2 PIVOT=a22 -10 5 H3=H3-(a32/a22)H2 -12 8 H4=H4-(a42/a22)H2 Iterasi 3 PIVOT=a33 H4=H4-(a43/a33)H3

CONTOH : Matrik Awal 2 4 8 6 7 5 14 9 12 Iterasi3 2 4 8 -4 -10 -8 -14 -4 -10 -8 -14 1 -1 3 -2 H4=H4-(a43/a33)H3 H5=H5-(a53/a33)H3 Iterasi 1 2 4 8 -64 -4 -10 -8 -14 H2=H2-(a21/a11)H1 -9 -11 H3=H3-(a31/a11)H1 -2 H4=H4-(a41/a11)H1 1 H5=H5-(a51/a11)H1 Iterasi4 2 4 8 -4 -10 -8 -14 1 -1 3 -2 Iterasi 2 2 4 8 -64 -4 -10 -8 -14 1 -1 3 H3=H3-(a32/a22)H2 -2 H4=H4-(a42/a22)H2 5 11 H5=H5-(a52/a22)H2 H5=H5-(a54/a44)H4

DEKOMPOSISI MATRIK DAN DETERMINAN TEKNIK MENGHITUNG DEKOMPOSISI, A=LU Metode Crout, mendekomposisi matrik yang menghasilkan elemen diagonal utama matrik segitiga atas U adalah satu. Metode Doollite, mendekomposisi matrik yang menghasilkan elemen diagonal utama matrik segitiga bawah L adalah 1 Metode Cholesky mendekomposisi matrik diagonal utama L dan U sama. Metode ini hanya untuk matrik simetris. Metode Operasi Elementer, mendekomposisi matrik menjadi segitiga atas atau segitiga bawah Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didekomposisi, jika terdapat matrik segitiga bawah L dan matrik segitiga atas U sedemikian rupa sehingga : A = LU Akibatnya : det(A) = det(L) det (U) CONTOH

DEKOMPOSISI : METODE CROUT Kasus n=3 Rumus perhitungannya : Rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode Crout adalah :

CONTOH : Hitunglah determinan matrik berikut dengan metode dekomposisi Jawab :

KASUS n=4 : METODE CROUT Rumus iterasi perhitungannya adalah :

CONTOH : Hitunglah determinan matrik berikut dengan metode dekomposisi Jawab :

DEKOMPOSISI : METODE DOOLITTLE Kasus n=3 Rumus perhitungannya : Rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode Doolittle adalah :

KASUS n=4 : METODE DOOLITTLE Rumus iterasi perhitungannya adalah :

TUGAS II,III dan IV Hitunglah det(A) dengan cara : Ekspansi kofaktor baris (genap/ganjil) Ekspansi kofaktor kolom (ganjil/genap) Sifat-sifat determinan (reduksi menjadi matrik segitiga) Metode CHIO Dekomposisi matrik (CROUT dan Doolite) Hitunglah det (A) dengan cara : sifat-sifat determinan Metode CHIO Dekomposisi matrik (Crout dan Doolite)