TEORI PENDUGAAN STATISTIK MAUDINA DIAH P 201366023 AVELINA TYAS HARIYADI 201366122 SARA AULIA 201366158

Dua cara ini didasarkan pada besaran yang dihitung dari sampel. Ada dua cara untuk mengetahui parameter populasi yang dipelajari dalam statistika inferensia, yaitu : Cara pendugaan (penaksiran/estimasi) Pengujian hipotesis. Dua cara ini didasarkan pada besaran yang dihitung dari sampel.

Teori Pendugaan dikenal dua jenis pendugaan (estimasi) yaitu : Pendugaan Titik (Estimasi Titik). Bila nilai parameter  dari populasi hanya diduga dengan memakai satu nilai statistik  (topi) dari sampel yang diambil dari populasi tersebut Pendugaan Interval (Estimasi Interval). Bila nilai parameter  dari populasi diduga dengan memakai beberapa nilai statistik  (topi) yang berada dalam suatu interval, misalnya 1 (topi) <  < 2 (topi)

Ciri-ciri penduga Tidak Bias (Unbiased) : apabila nilai penduga sama dengan nilai yg diduganya Efisien : apabila penduga memiliki varians yg kecil Konsisten : a. Jk ukuran sampel semakin bertambah mk penduga akan mendekati parameternya b. Jk ukuran sampel bertambah tak berhingga mk distribusi sampling penduga akan mengecil mjd tegak lurus di atas parameter yg sebenarnya dgn probabilitas sama dgn satu

Penduga yang baik Tidak bias E ( ) = µ µ E ( )

efesien sx12 Sx12 < sx22 sx22

konsisten n besar n kecil n sangat besar n tak terhingga

Pendugaan Titik Parameter Sebagai fungsi unsur populasi dinyatakan sebagai berikut: atau sd = f(X1 + X2 + … + Xn) Dimana : Nilai Tengah : Ʃ Xi (X1 + X2 + … + Xn) Stadar deviasi : Ʃ (Xi - )2 S2 = { (X1 - )2 + + … + (Xn - )2 (X2- )2 S2 =

Penduga yang baik Penduga yang baik adalah yang mendekati sebenarnya ( ) atau nilai parameter sebenarnya f( 2) f( 3) f( 1) Nilai Penduga 2

Pendugaan interval Pendugaan yg memp dua nilai sbg pembatasan/ daerah pembatasan Digunakan tingkat keyakinan thd daerah yg nilai sebenarnya/ parameternya akan berada. Nilai (1-α) disebut koefisien kepercayaan Selang kepercayaan : (1-α) x 100%

(S – Zsx < P < S + Zsx) = C Dimana : S : Statistik penduga parameter populasi (P) P : Parameter Populasi yang tidak diketahui Sx : Standar deviasi distribusi sampel statistik Z : Probabilitas yang berhubungan dengan pendugaan interval C : Probabilitas keyakinan (ditentukan terlebih dahulu) S – Zsx : Nilai batas bawah keyakinan S + Zsx : Nilai batas atas keyakinan

C = 0,95 adalah µ ± 1,96 dan untuk C = 0,99 adalah µ ± 2,58 95% 99% Z = -2,58 Z = -1,96 Z = 1,96 Z = 2,58 Untuk interval keyakinan 95%, terhubung dengan nilai Z antara -1,96 sampai 1,96 (bahwa 95% dari rata-rata hitung sampel ( ) akan terletak di dalam ± 1,96 kali standar deviasinya) Untuk interval keyakinan 99%, maka rata-rata hitungnya akan terletak di dalam ± 2,58 kali standar deviasinya. C = 0,95 adalah µ ± 1,96 dan untuk C = 0,99 adalah µ ± 2,58

Pendugaan Interval Menentukan Z (menggunakan kurva normal) 0,50 0,50 0,4750 (0,9/2) 0,4750 (0,9/2) 0,025 (0,50/2) 0,025 (0,50/2) Menentukan Z (menggunakan kurva normal) Luas kurva normal = 1 Kurva normal simetris (sisi kanan = sisi kiri = 0,5)

Pendugaan Interval Contoh Bualah rumus umum untuk interval keyakinan sebesar 80% dan 90%, apabila BPS merencanakan akan melakukan survei tingkat kematian bayi di Indonesia C= 0,8 (S – 1,28.sx < P < S + 1,28.sx) C= 0,9 (S – 1,64.sx < P < S + 1.64sx)

TABEL DISTRIBUSI NORMAL

Kesalahan Standar dari Rata-rata Hitung Sampel Kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel adalah standar deviasi distribusi sampel dari rata-rata hitung sampel. Dihitung dengan rumus berikut : Populasi yang tidak terbatas n/N < 0,05 Populasi yang terbatas n/N > 0,05 sx = sx = : Standar deviasi populasi sx : Standar error/kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel n : Jumlah atau ukuran sampel N : Jumlah atau ukuran populasi

Contoh Sandar deviasi dari harga saham kelompok real estate pada bulan agustus 2013 adalah 232. Apabila diambil sampel sebanyak 33 perusahaan dari anggota real estate, berapa standar errornya ? Jawab Jumlah sampel 33 dan tidak ada jumlah N untuk populasi, sehingga termasuk populasi tidak terbatas sx = = = 40,38 Jika diketahui bahwa seluruh anggota real estate Indonesia sebanyak 508 Jawab Nilai n/N = 33/508 = 0,065 atau lebih besar dibandingkan 0,05, maka termasuk dalam populasi terbatas sx = = = 40,38 x 0,968 = 39,09

Perusahaan Dian menjual kue sebanyak 500 buah dari berbagai ukuran dan harga. Rata-rata kue yang terjual per kotaknya sebesar Rp 35.000 dengan simpangan baku Rp 15.000. Jika diambil sampel sebanyak 60 buah yang dibeli konsumennya, buatlah perkiraan interval rata-rata harga kue dengan interval keyakinan 96%? Diket : x = 35.000 σ = 15.000 n = 60 N = 500 n/N = 60/ 500 = 0,12 Confidence interval = 96%  96%/2 = 0,48  2,05

= 15.000/√60 x √ (500-60)/(500-1) = 1936,49 x 0,94 = 1820,30 X - Z σx< μ < X + Z σx 35.000 – (2,05 x 1820,30) < μ < 35.000 + (2,05 x 1820,30) 35.000 – 3731,615 < μ < 35.000 + 3731,615 31.268,385 < μ < 38.731,65 Perkiraan interval rata-rata harga kue adalah antara 31.268,385 sampai 38.731,65

Menyusun interval keyakinan Nilai parameter yang sebenarnya diharapkan akan terdapat pada interval 1 -  dengan batas bawah -t /2 dan batas atas t /2.

Distribusi dan standart deviasi Probabilitas ( x – Z/2 x <  < ( x  Z/2 s/(N – n)/N – 1n sx ) = C atau Probabilitas (x  Z/2 sx ) = C x : Rata-rata dari sampel Z/2 : Nilai Z dari tingkat kepercayaan   : Rata-rata populasi yang diduga x : Standar error / kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel C : Tingkat keyakinan  : (1 – C)

Kebijakan pemerintah menemukan harga bbm sebesar 28,7% pada bulan mei 2008 telah memberikan dampak pada ukm. Hasil kajian dari 25 orang responden dari930 anggota 930 orang ukm, menunjukan biaya produksi rata-rata meningkat 20% apabila standar deviasi 8% buatlah interval dugaannya dengan keyakinan 99% Diketahui S = 20 n/N = 25/930 n =25 = 0,02 N =930 = 8 C = 99%/2 Z = 2,58

S- Z(1−𝛼)/2. Sx < µ< S + Z(1−𝛼)/2 20 – (2,58

Standar eror untuk populasi tidak terbatas Standar error untuk populasi yang terbatas dan n/N > 0,05:

Distribusi dan standar deviasi ( x – t/2 sx<  < ( x+ t/2 sx ) x : Rata-rata dari sampel t/2 : Nilai t dari tingkat kepercayaan  µ : Rata-rata populasi yang diduga sx : Standar error/kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel C : Tingkat keyakinan  : 1 – C

Probabilitas (p - Z/2.Sp<P< p + Z/2.Sp) Untuk populasi yang tidak terbatas Untuk populasi yang terbatas Rumus pendugaan proporsi populasi Probabilitas (p - Z/2.Sp<P< p + Z/2.Sp) p : Proporsi sampel Z/2: Nilai Z dari tingkat keyakinan  P :Proporsi populasi yang diduga Sp : Standar error/kesalahan dari proporsi C :Tingkat keyakinan  :1 – C

Interval keyakinan untuk selisih rata-rata Di mana standar error dari nilai selisih rata-rata adalah: Apabila standar deviasi dari populasi tidak ada, maka dapat diduga dengan standar deviasi sampel yaitu: Di mana: x1-x2 : Standar deviasi selisih rata-rata populasi sx1-x2 : Standar error selisih rata-rata sx1, sx1: Standar deviasi sampel dari dua populasi n1, n2: Jumlah sampel setiap populasi

Interval keyakinan untuk selisih proporsi p1, p2 : Proporsi sampel dari dua populasi Sp1, sp1: Standar error selisih proporsi dari dua populasi n1, n2 : Jumlah sampel setiap populasi