Pendekatan dan Kesalahan

Pendekatan dan Kesalahan Terdapat ketidakcocokan atau kesalahan antara hasil yang diberikan oleh metode numerik dengan yang dihasilkan oleh metode analitik (eksak) Metode numerik memberikan hasil berupa pendekatan (aproksimasi) yang mendekati hasil dari metode analitik (eksak). Seberapa besar kepercayaan kita terhadap hasil yang diberikan oleh metode numerik? Sampai seberapa besar kesalahan hasil perhitungan yang dapat kita tolerir? Kesalahan perlu diminimalisir dan dibatasi .

Pendekatan dan Kesalahan Jenis kesalahan numerik: 1. Kesalahan pembulatan (round-off error) : mis: kesalahan karena komputer hanya dapat menyatakan besaran dalam sejumlah digit berhingga 2. Kesalahan pemotongan (truncation error) ketidakcocokan yang timbul dari kenyataan bahwa metode numerik memberlakukan suatu aproksimasi untuk menyatakan pengoperasian dan besaran-besaran matematika yang pasti 3. Kesalahan akibat kekeliruan, kesalahan rumus atau model dan ketidakpastian data

Angka Signifikan Angka signifikan (angka berarti) angka yang dianggap dapat dipercaya sebagai hasil pengukuran atau perhitungan. Banyaknya angka signifikan adalah banyaknya digit tertentu yang dapat dipakai dengan meyakinkan. 0,00001845 : 4 angka signifikan 0,0001845 : 4 angka signifikan 0,001845 : 4 angka signifikan 0,0090 : 2 angka signifikan 120,00 : 5 angka signifikan 45300 dapat memiliki 3, 4 atau 5 angka signifikan tergantung apakah harga nol itu telah diketahui dengan yakin jika ditulis dalam notasi ilmiah: 4,53 x 104 : 3 angka signifikan 4,530 x 104 : 4 angka signifikan 4, 5300 x 104 : 5 angka signifikan

Angka Signifikan Angka signifikan menggambarkan seberapa besar keyakinan terhadap hasil pendekatan yang diberikan metode numerik. Misalnya: kita dapat memutuskan bahwa pendekatan dapat diterima jika ia betul sampai 4 angka signifikan, yaitu bahwa 4 digit pertama adalah betul Besaran seperti tidak dapat dinyatakan secara eksak oleh sejumlah digit terbatas π = 3.141592653589793238462643……… Pengabaian angka signifikan sisa dinamakan kesalahan pembulatan (round-off error)

Presisi dan Akurasi Kesalahan sehubungan dengan perhitungan dan pengukuran dapat ditandai dengan presisi (precision) dan akurasi (accuracy) Presisi mengacu pada - jumlah angka signifikan yang menyatakan suatu besaran - penyebaran dalam bacaan berulang dari sebuah alat yang mengukur suatu perilaku fisik tertentu Akurasi mengacu pada dekatnya sebuah angka pendekatan atau pengukuran terhadap harga sebenarnya yang hendak dinyatakan a tidak akurat dan tidak presisi b akurat dan tidak presisi c tidak akurat dan presisi d akurat dan presisi Metode numerik harus cukup akurat dan cukup presisi

Kesalahan Kesalahan numerik timbul dari penggunaan aproksimasi untuk menyatakan operasi dan besaran matematika yang pasti, ini meliputi: - kesalahan pemotongan yang dihasilkan sewaktu aproksimasi digunakan untuk menyatakan suatu prosedur matematika eksak - kesalahan pembulatan yang dihasilkan bila angka-angka aproksimasi dipakai untuk menyatakan angka-angka yang pasti Hubungan antara hasil eksak atau sebenarnya dan aproksimasi dapat dirumuskan: Harga sebenarnya (true value) = pendekatan (approximation) + kesalahan (error) Kesalahan : Et = harga sebenarnya – pendekatan Et : harga pasti (exact) dari kesalahan

Kesalahan Relatif Normalisasi kesalahan terhadap harga sebenarnya: Definisi sebelumnya tidak memperhitungkan orde besar nilai yang diperiksa. Misalnya suatu kesalahan sebesar 1 cm lebih berarti jika kita hendak mengukur sebuah paku dibandingkan dengan sebuah jembatan Normalisasi kesalahan terhadap harga sebenarnya: Subskrip t menandakan bahwa kesalahan dinormalisasi terhadap harga sesungguhnya

Kesalahan Relatif Harga sebenarnya hanya diketahui jika fungsi dapat dipecahkan secara analitik. Pada aplikasi dunia nyata seringkali kita tidak mengetahui sebelumnya harga sebenarnya Normalisasi kesalahan dengan menggunakan taksiran (estimasi) terbaik dari harga sebenarnya terhadap aproksimasi itu sendiri, yaitu sebagai : Tantangan dari metode numerik adalah menentukan taksiran kesalahan tanpa pengetahuan mengenai harga sebenarnya. Metode numerik menggunakan salah satunya pendekatan iterasi untuk menghitung jawaban. Dalam hal ini, suatu aproksimasi sekarang dibuat berdasarkan suatu aproksimasi sebelumnya. Proses tersebut dilakukan berulang (iterasi) agar dapat menghitung aproksimasi yang lebih baik dan semakin baik. Untuk hal demikian kesalahan seringkali ditaksir sebagai perbedaan antara aproksimasi sebelumnya dengan aproksimasi sekarang. Jadi kesalahan relatif persen ditentukan menurut: subskrip a menandakan bahwa kesalahan dinormalisasi terhadap sebuah harga aproksimasi

Kesalahan Relatif Kesalahan bisa positif atau negatif. Pada saat perhitungan yang lebih diperhatikan adalah apakah harga absolut lebih kecil dari suatu toleransi praspesifikasi εs . Karena itu seringkali bermanfaat untuk melakukan harga absolut sari persamaan-persamaan sebelumnya. Komputasi diulangi sampai : Jika kesalahan dihubungkan dengan jumlah angka signifikan pada pendekatan, kita dapat menjamin bahwa hasil adalah betul hingga sekurang-kurangnya n angka signifikan

Contoh : Perluasan Deret Maclaurin Hitung e0.5 (= 1.648721271) sampai 3 angka signifikan. Selama proses perhitungan, hitung kesalahan relatif sebenarnya εt dan kesalahan aproksimasi relatif εa pada setiap step. Tambahkan suku-suku pada deret sampai harga absolut dari kesalahan aproksimasi yang ditaksir εa jatuh di bawah suatu kriteria kesalahan praspesifikasi εs menjadikan sampai 3 angka signifikan Toleransi kesalahan Terms 1 1+(0.5) 1+(0.5)+(0.5)2/2 1+(0.5)+(0.5)2/2+(0.5)3/6 Step Hasil εt (%) True εa (%) Approx. 1 39.3 2 1.5 9.02 33.3 3 1.625 1.44 7.69 4 1.6458333 0.175 1.27 5 1.6484375 0.0172 0.158 6 1.648697917 0.00142 0.0158

Kesalahan Pembulatan Kesalahan pembulatan berasal dari kenyataan bahwa komputer hanya menyimpan sejumlah tertentu angka signifikan selama kalkulasi. Mis: komputer memakai π= 3,141592…… Ketidaksesuaian akibat pengabaian suku-suku sisa dalam desimal lengkap disebut kesalahan pembulatan (round-off atau chopping) jika diambil π= 3,141592…… - kesalahan pembulatan Et= 0.00000065 …. jika diambil π = 3,141593 - kesalahan pembulatan berkurang menjadi Et= 0,00000035….lebih teliti

Kesalahan Pembulatan Kesalahan pembulatan menjadi kritis dalam beberapa metode numerik karena alasan: - metode tertentu membutuhkan jumlah manipulasi aritmetika yang besar untuk mencapai jawaban. Tambahan pula komputasi ini seringkali saling bergantung, artinya perhitungan terakhir tergantung pada perhitungan sebelumnya. Akibatnya walaupun suatu kesalahan pembulatan individu dapat menjadi kecil, efek kumulatif yang meliputi sejumlha besar komputasi dapat menjadi berarti - pengaruh pembulatan bisa diperbesar sewaktu melaksanakan manipulasi aljabar secara simultan dengan menggunakan angka-angka yang sangat besar dan sangat kecil Contoh: Jika dinaikkan 0,001%, akan menjadi 32.981.437,9345 + 0,1245 + 329,9356 0.4000 x l04 0.0000001 x lO4 0.4000001 x 104 + Dibulatkan 0.4000 x l04