Kuliah ke 9 ESTIMASI PARAMETER SATU POPULASI Estimasi Parameter : Metode statistika yang berfungsi untuk mengestimasi/menduga/memperkirakan nilai karakteristik dari populasi atau parameter populasi berdasarkan nilai karakteristik sampel atau statistik sampel. Syarat : sampel harus dapat mewakili populasi  sampling dilakukan secara acak. Contoh : Hasil pemilu dihitung secara cepat (Quickcount) dengan sampel untuk tiap wilayah pemilihan, valid jika pengambilan sampel dilakukan secara acak. Cara estimasi : Estimasi Titik Parameter populasi diestimasi dengan karakteristik sampel (Statistik) Mean populasi =  = Variansi populasi = 2 = s2 standar deviasi =  = s

P(h-  < H < h  )= 1- …….(1) 2. Estimasi Interval Nilai parameter populasi diestimasi pada kisaran tertentu. Misal X1,X2,X3,…Xn adalah sampel acak dari suatu populasi dengan  adalah parameter populasi maka estimasi interval untuk  adalah : P(B<  < A)=1- Disebut dengan Interval konfidensi/kepercayaan untuk  dari B sampai A yang dihitung pada probabilitas 1-. Bila parameter yang diestimasi adalah H dan distribusi populasi yang digunakan  (misal distribusi Z, t-student, chi-kuadrat, atau F), galat (error)=  dan statistik dari data sampel adalah k, maka kisaran parameter H pada suatu interval kepercayaan (1-) dapat diestimasi dengan persamaan probabilitas: P(h-  < H < h  )= 1- …….(1) Dengan : h-  = titik minimum (limit kepercayaan bawah) h   = titik maksimum (limit kepercayaan atas) 1- = koefisien kepercayaan (1-) 100% = interval kepercayaan  = tingkat kesalahan yang masih ditolerir atau persentase nilai yang tidak dapat diestimasi.

Parameter yang umum diestimasi: Ukuran pemusatan : mean=, Selisih mean = 1 - 2 =  Estimasi mean dan selisih mean dapat dilakukan dengan : Distribusi Z : Jika sampel yang diamati berasal dari populasi yang variansinya (2) dan standar deviasinya () diketahui. Jika sampel yang berasal dari populasi yang variansinya (2) dan standar deviasinya () tidak diketahui ukuran sampel besar (n30). Distribusi t-student (Distribusi t) Jika sampel berasal dari populasi yang tidak diketahui variansinya (2) dan standar deviasinya () ukuran sampel kecil (n30). 2. Ukuran penyebaran : Variansi = 2, Rasio variansi dua populasi = F Estimasi nilai variansi dilakukan dengan distribusi chi-kuadrat (X2), sedangkan estimasi nilai ratio variansi dua populasi dengan distribusi Fisher (F).

A. Estimasi Mean Populasi Estimasi mean populasi sampel besar dengan distribusi Z Misal x1,x2,x3….xn adalah sampel acak dari suatu populasi dengan mean  tidak diketahui dan variasi 2, dan = mean sampel maka : Mean ( )= Var (( )=2/n Menurut teorama limit pusat jika n besar variabel random mendekati distribusi normal Maka rumus 1 akan berubah menjadi : Jika nilai Z diganti menjadi : Biasanya 2 tidak diketahui, tetapi karena n besar maka 2 dapat diasumsikan sama dengan s2.

Sehingga: Contoh : Suatu sampel produk ikan dalam kaleng sebanyak 400 buah mempunyai rata-rata umur simpan 23,4 bulan dan standar deviasi s=6,2 bulan. Berapakah kisaran umur simpan produk ikan dalam kaleng tersebut pada interval kepercayaan 95%. Jawab : Diketahui : n besar maka digunakan distribusi Z dengan =s =23,4 bulan dan s=6,2 1-=95%=0,95  = 0,05 /2 = 0,025 Z0,025 = 1,96. Maka: Kesimpulan: pada tingkat kepercayaan 95% maka umur simpas produk ikan dalam kaleng adalah antara 22,79 – 24,01 bulan.

2. Estimasi mean populasi dengan sampel kecil. Digunakan untuk data sampel dengan variansinya (2) dan standar deviasinya () tidak diketahui dan ukuran sampel kecil (n<30). Jika adalah transformasi t dari sampel X1,X2,X3,…Xn. Jika sampel diambil dari populasi berdistribusi t dengan derajat bebas (n-1) ditulis t(n-1). Distribusi ini tidak tergantung pada µ dan  populasi. P(-tα/2 < t < t α/2)=1-α Jika nilai t diganti menjadi :

Atau

B. Estimasi interval proporsi p suatu populasi Jika X adalah variabel random binomial (n;p) maka variabel random X/n mempunyai mean = p dan variasi untuk n besar harga Mendekati distribusi normal. Pada interval konfidensi 1-α untuk p adalah: = 1 – α Untuk estimasi proporsi jumlah sampel harus besar. C. Estimasi Variansi populasi normal Transformasi S2 dihitung dari suatu sampel random X1,X2,X3,…Xn yang diambil dari populasi berdistribusi normal dengan variansi 2 berdistribusi X2 dengan derajat bebas = n-1.

Untuk 0<α<1 maka : Untuk estimasi standar deviasi  digunakan : Tabel V : Untuk 0<α<1 maka : Untuk estimasi standar deviasi  digunakan :

Contoh : Ingin diteliti interval variansi (2) dan standar deviasinya () dari panjang buncis yang akan dikalengkan. Sampel acak sebanyak 20 buah dan diperoleh S2=0,01 inch dan S = 0,1 inch. Hitunglah interval variansi (2) dan standar deviasinya () yang sebenarnya dari buncis tersebut pada tingkat kepercayaan 95%. Jawab : Diketahui n=20 derajat bebas= 20-1 = 19 1-α=95% s2=0,01 α=5% = 0,05 s=0,1 α/2=0,025 1- α/2=0,975 Dari tabel V diperoleh : X2 (19;0,025)=32,85 dan X2 (19;0,975) =8,91 maka : P(0,0058 < ² < 0,0213) = 95% Atau P(0,076 <  < 0,146) = 95% Kesimpulan : Pada tingkat kepercayaan 95% variansi panjang buncis adalah 0,0058 sampai dengan 0,0213 inch sedangkan standar deviasinya berkisar antara 0,076 sampai 0,146 inch.