BARISAN DAN DERET

Tujuan Pembelajaran Umum Mahasiswa mampu memahami konsep matematika yang dapat digunakan pada penerapan ekonomi sehingga dapat diaplikasikan untuk memecahkan persoalan-persoalan ekonomi.

Tujuan Pembelajaran Khusus Mampu menjelaskan mengenai pengertian deret. Mampu memahami barisan dan deret hitung (aritmatika) Mampu memahami barisan dan deret ukur (geometrika)

A. Barisan dan Deret Hitung

Pengantar Deret = rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu. Suku = bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret Pola perubahan = keteraturan rangkaian bilangan-bilangan dari sebuah deret, mulai dari satu suku ke suku berikutnya.

Pengantar Dilihat dari jumlah suku yang membentuknya, deret dibedakan menjadi: Deret berhingga  deret yang jumlah sukunya tertentu Deret tak berhingga  deret yang jumlah sukunya tak terbatas Dilihat dari segi pola perubahan bilangan pada suku-sukunya, deret bisa dibedakan menjadi deret hitung, deret ukur, dan deret harmoni.

Barisan Hitung (Aritmatika) Barisan hitung adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berurutan selalu merupakan bilangan tetap. Bilangan yang tetap tersebut disebut dengan istilah “beda” dan dilambangkan dengan b. Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini: 1, 4, 7, 9, 11, 13, ….. 2, 8, 14, 20, …. 30, 25, 20, 15, ….

Contoh Barisan Hitung (Aritmatika) 1, 4, 7, 10, 13, ... +3 +3 +3 +3 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b =3. b. 2, 8, 14, 20, ... +6 +6 +6 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

Contoh Barisan Hitung (Aritmatika) 30, 25, 20, 15, ...... –5 –5 –5 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya –5 atau b = –5. Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut: Jika Sn adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlaku b = Sn – Sn – 1.

Rumus Barisan Hitung (Aritmatika) Pembentuk rumus/formulasi umum suku ke-n barisan aritmetika adalah: suku pertama (U ) dilambangkan dengan a beda dilambangkan dengan b

Barisan Hitung (Aritmatika) S2 = S1 + b = a + b S3 = S2 + b = (a + b) + b = a + 2b S4 = S3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b S5 = S4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b . Sn = Sn-1 + b = a + (n – 1)b Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Keterangan: Sn = suku ke-n a = suku pertama b = beda n = banyak suku Sn = a + (n – 1)b

Contoh 1 Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan: [ –3, 2, 7, 12, .... ] Langkah 1: Suku pertama adalah a = –3 Langkah 2: Bedanya adalah b = 2 – (–3) = 5 Langkah 3: Subtitusikan a dan b, maka akan diperoleh rumusnya  Sn = –3 + (n – 1)5. Suku ke-8 : S8 = –3 + (8 – 1)5 = 32 Suku ke-20 : S20 = –3 + (20 – 1)5 = 92

Contoh 2 Diketahui barisan aritmetika [ –2, 1, 4, 7, ..., 40 ] Tentukan banyak suku barisan tersebut. Jawab: Langkah 1 dan 2  a = –2 dan b = 1 – (–2) = 3 Langkah 3  Sn = 40 Langkah 4  Rumus suku ke-n adalah Sn = a + (n – 1)b, sehingga 40 = –2 + (n – 1)3 40 = 3n – 5 3n = 45 Karena 3n = 45, diperoleh n = 15. Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.

Deret Hitung (Aritmatika) Deret hitung adalah jumlah n suku pertama dari barisan hitungnya. Misalkan S1, S2, S3, ..., Sn merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmetika. Maka Jn = S1 + S2 + S3 + ... + Sn disebut deret aritmetika Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan sebagai J.

Deret Hitung (Aritmatika) Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu tak lain adalah jumlah nilai suku-sukunya, sejak suku pertama (S1, atau bisa juga ditulis a) sampai dengan suku ke-n (Sn) dapat ditulis demikian: 𝐽n= 𝑖=1 𝑛 𝑆i =S1+S2+S3+ ………+Sn 𝐽4= 𝑖=1 4 𝑆i =S1+S2+S3+S4 𝐽5= 𝑖=1 5 𝑆i =S1+S2+S3+S4+𝑆5 𝐽6= 𝑖=1 6 𝑆i =S1+S2+S3+S4+𝑆5+𝑆6

Deret Hitung (Aritmatika) Dengan menguraikan setiap suku maka 𝐽4 , 𝐽5 , dan 𝐽6 akan menjadi seperti di bawah ini: 𝐽4 = a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) = 4a + 6b 𝐽5 = a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + (a+4b) = 5a + 10b 𝐽6 = a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + (a+4b) + (a+5b) = 6a + 15b

Deret Hitung (Aritmatika) Masih ingat dengan rumus  Sn = a + (n – 1)b ?? Masing- masing Ji tersebut dapat pula ditulis ulang dalam bentuk sebagai berikut: 𝐽4=4𝑎+6𝑏=4𝑎+ 4 2 4−1 𝑏 𝐽5=5𝑎+10𝑏=5𝑎+ 5 2 5−1 𝑏 𝐽6=6𝑎+15𝑏=6𝑎+ 6 2 6−1 𝑏 Rumus umum  𝐽𝑛=𝑛.𝑎+ 𝑛 2 𝑛−1 𝑏 atau  𝐽𝑛= 𝑛 2 {2𝑎+(𝑛−1)𝑏} atau  𝐽𝑛= 𝑛 2 {𝑎+𝑎+(𝑛−1)𝑏} atau  𝐽𝑛= 𝑛 2 (𝑎+𝑆𝑛}

Contoh Deret Hitung (Aritmatika) Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret [2 + 4 + 6 + 8 +....] Jawab: Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100. J100 = 100 2 {2 . (2) + (100 – 1) . 2} = 50 {4 + 198} = 50 (202) = 10.100 Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut adalah 10.100

Contoh Deret Hitung (Aritmatika) Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100. Jawab: Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh  a = 3, b = 3, dan Sn = 99. Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ; Sn = a + (n – 1)b 99 = 3 + (n – 1)3 3n = 99 n = 33

Contoh Deret Hitung (Aritmatika) Jumlah dari deret tersebut adalah Jn = 𝑛 2 (a + Sn ) J33 = 33 2 (3 + 99) = 1.683 Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 1.683

TUGAS MANDIRI 2 Carilah suku ke – 20 dari barisan hitung (aritmatika) 3, 8, 13, 18, … 2. Carilah suku ke – 27 pada setiap barisan hitung (aritmatika) berikut ini : a. 3, 7, 11, … b. 15, 13, 11, 9, … c. -8, -4, 0, 4, … d. -6, -1, 4, 9, … Suku ke -3 dan suku ke -16 dari barisan hitung (aritmatika) adalah 13 dan 78. Tentukanlah suku pertama dan bedanya. Berapakah S30 dan J30 Carilah jumlah dari: 40 bilangan bulat positif ganjil yang pertama 25 bilangan bulat positif genap yang pertama 60 bilangan bulat positif yang pertama

B. Barisan dan Deret Ukur

Barisan Ukur (Geometri) Barisan Ukur (Geometri) adalah susunan bilangan yang dibentuk menurut urutan tertentu, di mana susunan bilangan di antara dua suku yang berurutan mempunyai rasio yang tetap (dilambangkan dengan huruf r). Jika a1 adalah suku pertama dan r adalah rasio yang tetap, maka suku ke 2 dan seterusnya adalah a2 = a1r a3 = a2r = a1r . r = a1r2 a4 = a3r = a1r2 . r = a1r3

Barisan Ukur (Geometri) Sehingga bentuk umum dari barisan geometri untuk suku ke-n adalah an = a1rn-1 atau Sn = a1rn-1 Di mana, an = Sn = suku ke – n a1 = suku pertama r = rasio yang tetap n = banyaknya suku

Contoh 1 Carilah suku kedelapan dari barisan ukur di mana suku pertamanya adalah 16 dan rasionya (r) adalah 2 Jawab: Diketahui : a1 atau S1 = 16 , r = 2, n=8 Ditanyakan: S8 = …? S8 = a1r8-1= a1r7 = 16(2)7 = 2.048

Contoh 2 Carilah suku kesebelas dari barisan ukur di mana suku keempat adalah 24 dan suku kesembilan adalah 768. Jawab: a4 = a1r3 = 24 & a7 = a1r8 = 768 Maka, 𝑎1𝑟8 𝑎1𝑟3 = 768 24 =32=𝑟5  r = 2 Karena, a1r3 = 24 dan r = 2  a1 = 3 Sehinga, a11 = S11 = a1r10 = 3 x (2)10 = 3.072

Deret Ukur Adalah jumlah suku – suku atau bilangan – bilangan dalam suatu barisan ukur Bentuk deret ukur Dn = a1 + a1r + a1r2 +…..+ a1rn-1 Atau dapat ditulis secara singkat: Dn = 1=1 𝑛 a1rn−1

Rumus Deret Ukur Jika rasionya l r l kurang dari 1, 𝐷𝑛= 𝑎1 (1 −𝑟𝑛) (1−𝑟) Jika rasionya l r l lebih dari 1, 𝐷𝑛= 𝑎1 (𝑟𝑛−1) (𝑟−1) Jika rasionya l r l sama dengan 1, Dn = a1 + a1 +……….+ a1 Dn = n.a1

Contoh Carilah jumlah suku ke-8 yang pertama dari barisan ukur berikut ini: 3, 6, 12, 24, …. Jawab: Diketahui: a1 = 3 ; r = 2 ; n = 8 Maka, 𝐷8= 3(28 −1) (2−1) =𝟕𝟔𝟓

Tugas Mandiri 3.1 1. Carilah jumlah suku ke-8 yang pertama dari setiap deret ukur dengan a dan r diketahui di bawah ini a = 4; r =1/4 a = 10; r = -2/3 a = 15 3/4 ; r = 1

C. Penerapan Ekonomi

Model Perkembangan Usaha Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha—misalnya produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal—berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prinsip deret hitung dapat digunakan untuk menganalisis perkembangan variabel tersebut. Berpola deret hitung di sini maksudnya adalah bahwa variabel yang bersangkutan bertambah secara konstan dari satu periode ke periode berikutnya

Model Perkembangan Usaha: Contoh Besarnya penjualan PT. Cemerlang adalah Rp 720 juta pada tahun kelima dan Rp 980 juta pada tahun ketujuh. Apabila pola perkembangan penjualannya seperti deret hitung, maka: Berapakah jumlah perkembangan penerimaannya per tahun? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp 460 juta?

Model Perkembangan Usaha: Contoh Asumsi angka dalam jutaan. S7 = 980  a + 6b = 980 S5 = 720  a + 4b = 720 2b = 260  b = 130 Penerimaan pada tahun pertama: a + 4b = 720  a = 720 – 4(130) = 200 Penerimaan sebesar 460 juta pada tahun ke?? Sn = a + (n-1)b  460 = 200 + (n-1).130 460 = 200 + 130.n – 130 130n = 390 n = 3

Model Bunga Majemuk Merupakan penerapan deret ukur dalam kasus simpan-pinjam dan investasi. Dengan model ini, dapat dihitung besarnya pengembalian kredit di masa datang berdasarkan tingkat bunganya. Bisa juga untuk mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang akan diterima di masa depan.

Rumus Model Bunga Majemuk Fn = P.(1+i)n  bila bunga dibayarkan per tahun Fn = P.(1+ 𝑖 𝑚 )m.n  bila bunga dibayarkan beberapa kali dalam setahun Dimana, Fn = Jumlah akumulatif modal di masa depan P = Nilai saat ini i = tingkat bunga per tahun m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun n = jumlah tahun Rumus ini identik dengan rumus deret ukur Sn+1

Rumus Model Bunga Majemuk 𝑃= 1 1+𝑖 𝑛 .𝐹 dan/atau 𝑃= 1 1+ 𝑖 𝑚 𝑚𝑛 .𝐹 Suku (1 + i) dan (1 + 𝑖 𝑚 ) dalam dunia bisnis dinamakan “faktor bunga majemuk” (compounding interest factor) Suku 1 (1 + 𝑖) dan 1 (1 + 𝑖 𝑚 ) dalam dunia bisnis dinamakan “faktor diskonto” (discount factor)

Model Bunga Majemuk: Contoh Seorang nasabah meminjam uang di bank Rp 10 juta, dengan masa pinjamannya 3 tahun dan tingkat bunga 10% per tahun. Berapa total uang yang harus dikembalikannya pada saat pelunasan? (petunjuk: pokok & bunga) Seandainya pembayaran bunganya dilakukan setiap bulan, berapa jumlah yang ia harus kembalikan?

Model Bunga Majemuk: Contoh Jawab: P = 10.000.000 Fn = P.(1+i)n N = 3 F3 = 10.000.000 (1+0,1)3 i = 10% = 0,1 F3 = 13.310.000 Bunga yang dibayarkan setiap bulan = 10% / 12 = 0,83% Fn = P.(1+i/m)m.n  F3 = 10.000.000 (1+0,0083)12.3 F3 = 13.465.783

Model Bunga Majemuk: Contoh Diperkirakan tabungan milik seorang mahasiswa akan menjadi Rp 10.000.000 pada masa 5 tahun mendatang jika menabung di Bank Joker. Jika tingkat bunga Bank Joker adalah 5% per tahun, maka berapa jumlah uang yang harus disiapkan mahasiswa tersebut saat mulai menabung?

Model Bunga Majemuk: Contoh Jawab: F = 10.000.000 𝑃= 1 1+𝑖 𝑛 .𝐹 n = 5 𝑃= 1 1+0,05 5 .10.000.000 i = 5% = 0,05 𝑷=𝟕.𝟖𝟑𝟓.𝟐𝟔𝟏

Tugas Mandiri 3.2 1. Besarnya penjualan PT. Sentosa adalah Rp 520 juta pada tahun keempat dan Rp 970 juta pada tahun ketujuh. Apabila pola perkembangan penjualannya seperti deret hitung, maka: Berapakah jumlah perkembangan penerimaannya per tahun? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp 1 Miliar 420 juta?

Tugas Mandiri 3.2 2. Seorang nasabah meminjam uang di bank Rp 5 juta, dengan masa pinjamannya 3 tahun dan tingkat bunga 8% per tahun. Berapa total uang yang harus dikembalikannya pada saat pelunasan? (petunjuk: pokok & bunga) Seandainya pembayaran bunganya dilakukan setiap bulan, berapa jumlah yang ia harus kembalikan?

Tugas Mandiri 3.3 3. Diperkirakan tabungan milik seorang salesman akan menjadi Rp 20.000.000 pada masa 10 tahun mendatang jika menabung di Bank BNI. Jika tingkat bunga BNI Syariah adalah 2% per tahun, maka berapa jumlah uang salesman tersebut di tabungannya saat ini?