DISTRIBUSI PROBABILITAS DAN DISTRIBUSI SAMPLING Statistika 8

Kompetensi Pokok Bahasan Mahasiswa dapat : Menjelaskan distribusi probabilitas diskrit dan macamnya Menjelaskan distribusi probabilitas kontinut dan macamnya Pokok Bahasan Macam-macam distribusi Probabilitas diskrit Macam-macam distribusi Probabilitas kontinu

Variabel Random Variabel random X yang didefinisikan suatu cara memberi harga kepada setiap elemen ruang sampel. Eksperimen pelemparan sebuah mata uang sebanyak tiga kali. Menghasilkan ruang sampel sebagai berikut. S = Misal: variabel random X didefinisikan sebagai banyaknya M dalam tiap elemen, maka variabel random ini dapat menjalani harga 0, 1, 2, 3 sehingga harga variabel random X (MMM) = 3, X(MMB) = 2, X (MBB) = 1, X(BBB) = 0, X(MBM) = 2, X(BMB) = 1, X(BMM) = 2, X(BBM) = 1.

Pengertian variabel random diskrit variabel random kontinu ~ Suatu variabel yang hanya dapat menjalani sebanyak terhingga harga-harga berbeda variabel random kontinu ~ suatu variabel random yang dapat menjalani setiap harga dalam suatu interval

Peubah acak Diskrit Peubah Acak Suatu fungsi yang nilainya berupa nbilangan nyata yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang contoh Ruang contoh Diskrit Bila suatu ruangan contoh mengandung jumlah titik contoh yang terhingga atau suatu barisan unsur yang tidak pernah berakhir tetapi yang sama banyaknya dengan bilangan cacak. Ruang contoh kontinu Bila suatu ruangan contoh mengandung tak hingga bnyaknya titik contoh yang sama dengan banyaknya titik pada sebuah garis .

Peubah acak diskrit Digunakan untuk data yang diukur, Tinggi, bobot, suhu, jarak dll. Digunakan untuk data yang

Distribusi Probabilitas Distribusi probabilitas didefinisikan dengan semua harga yang berbeda dari variabel random bersama dengan probabilitasnya masing-masing Contoh: Harga 0,1,2,3 merupakan variabel random, probabilitas mempunyai nilai 0 dengan jumlah = 1. Apabila serangkaian kejadian ditabelkan bersama dengan probabilitas maka terbentuklah distribusi probabilitas

Model distribusi probabilitas Distribusi Probabilitas Distkrit Distribusi seragam diskret (discrete uniform distribution) Distribusi Hypergeometris (Hypergeometric distribution) Distribusi Bernoulii (Bernoulli ddistribution) Distribusi Binomial (binomial distribution) Distribusi Binomial negatif atau Pascal (negative binomial distribution or Pascal distribution) Distribusi Geometris (Geometric distribution) Distribusi Poison (Poissin distribution)

Model distribusi probabilitas Distribusi Probabilitas kontinu Normal (Normal distribution) Binomial (binomial distribution) Uniform (Uniform distribution) Log Normal (Log Normal distribution) Gamma (Gamma distribution)

DISTRIBUSI NORMAL Ditemukan Karl Friedrich (1777-1855) disebut distribusi Gauss Fungsi padat perubah acak normal X, dengan rata-rata dan variansi dinyatakan sebagai: Dengan - < x < 

Sifat-sifat Kurva Normal Rata-rata berada di tengah Mean = median = modus Rata-rata = 0 , standart deviasi =1 Modus (nilai x maksimun) terletak di Simetris terhadap sumbu vertikal melalui Mempunyai titik belok pada x =  Memotong sumbu mendatar secara asimtotis. Luas daerah dibawah kurva dg sumbu mendatar sama dg 1

Gambar 7.3 Kurva normal dengan rata-rata sama Gambar 7.4 Kurva normal dengan mean dan standart deviasi yang berbeda sama

Luas di bawah kurve Normal Ruangan yang dibatasi daerah kurva dengan absisnya disebut daerah kurva normal. Luas daerah kurva normal biasa dinyatakan dalam persen atau proporsi Dengan kata lain luas daerah kurva normal adalah seratus persen, apabila dinyatakan dalam persen, dan apabila dinyatakan dengan proporsi, luas daerah kurva normal adalah satu

Luas daerah kurve normal antara x=a dan x=b dinyatakan sebagai berikut Peubah acak z dengan rata-rata =0 dan variansi 1. Jika x mendapat nilai padanannya diberikan oleh z . Jadi jika X bernilai x=x1 dan x=x2, maka peubah acak Z akan bernilai dan kemudian dinyatan sebagai

Kurva normal standard (kurva normal baku)

Dicari nilai z yang berpadanan X1 =62 adalah : Contoh: Diketahui suatu distribusi normal dengan = 50 dan  = 10. Carilah probabilitas bahwa x mendapatkan nilai antara  dan X1 = 62 Dicari nilai z yang berpadanan X1 =62 adalah : Lihat tabel nilai Z Luas A pada z =1,2  0,3849 P(50< X <62) =0,3849

Luas kurva normal antara X2 =55 dan X3=72 adalah Luas antara =50 dan X2 adalah : Dari tabel nilai z Z2=0,5 0,1915 Luas antara =50 dan X2 = 72 adalah : Dari tabel nilai z Z3=2,2 0,4861 Luas antara x2=50 dan X3 = 72 adalah luas 2 - luas 1: =0,4861-0,1915=0,2946 sehingga P(55<x<72)=0,2946

Luas kurva normal antara X4=55 dan =50 adalah Luas antara =50 dan X4=36 adalah : Dalam tabel nilai z tidak terdapat harga z yang negatif, maka harga -1,3 sama dengan harga 1,3 sehingga Z4= -1,3 0,4012

Luas kurva normal antara X5 =36 dan X6=72 adalah Luas antara =50 dan X2 adalah : Dari tabel nilai z Z5=-1,3 0,4032 Luas antara =50 dan X6 = 72 adalah : Dari tabel nilai z Z6=-2,2 0,4861 Luas antara x5=36 dan X6 = 72 adalah luas 2 + luas 1: =0,4032-0,4861=0,8893 sehingga P(55<x<72)=0,2946

Sehingga luas P(X 72) = 0,5 + 0.4861 = 0,9861 Luas kurva normal antara X7 =72 ke kiri (P(X 72) adalah Luas antara  dan  adalah setengah dari kurva normal (Luas = 0,5) Sedangkan luas antara luas antara  dan X7 bernilai : Luas antara =50 dan X7 = 72 adalah :  Dari tabel nilai z Z7=2,20,4861 72 Sehingga luas P(X 72) = 0,5 + 0.4861 = 0,9861

Luas kurva normal antara X8 =72 ke kanan P(X 72) adalah Luas antara  dan  ke kanan adalah setengah dari kurva normal (Luas = 0,5). Sedangkan luas antara X8 =72 dan  bernilai :  Luas antara =50 dan X8=72 adalah : Dari tabel nilai z Z7=2,20,4861 72 Sehingga luas P(X 72) = 0,5 - 0.4861 = 0,0139

DISTRIBISI t (Student) Student t adalah suatu distribusi probabilitas yang mirip dengan distribusi normal, tetapi dengan beberapa perbedaan penting Student t digunakan untuk menemukan area di bawah distribusi sampling dan untuk menentukan wilayah kritis Bentuk ditribusi t bergantung pada ukuran sampel Ukuran sampel kecil distribusi t lebih datar daripada distribusi Z. Begitu sampel menjadi besar distribusi t mendekati bentuk distribusi Z Keduanya identik bila ukuran sampel >120 Bila Ukuran Sampel (n) meningkat Standard Deviasi Sampel (s) semakin memenuhi sebagai estimator Standard Deviasi Populasi ( )  distribusi t semakin dekat dengan distribusi z

Distribusi t (Student)

Ciri-ciri Sampel yang diuji berukuran kecil Penentuan nilai tabel dilihat dari besarnya tingkat significant alpha dan besarnya derajat bebas (v) Kegunaan Untuk memperkirakan interval rata-rata Untuk menguji hipotesis tentang rata-rata suatu sampel Menunjukkan batas penerimaan suatu hipotesis Untuk menguji suatu pernyataan apakah sudah layak untuk dipercaya

N < 30 nilai berfluktuasi cukup besar dari contoh satu ke contoh lainnya Dan sebaran nilai Tidak lagi normal Maka kita menggunakan sebaran statistik yang disebut t yang nilainya adalah

Bila dan masing-masing adalah nilai tengah dan ragam suatu contoh acak berukuran n yang diambil dari suatui populasi normal dengan nilai  dan  2 maka Merupakan sebuah nilai peubah acak T yang mempunyai sebaran t dengan v= n-1 derajat bebas Peluang bahwa suatu contyoh acak menghasilkan nilai t yang jatuh diantara dua nilai tertentu sama dengan luas daerah dibawah kurve sebaran t diantara dua ordinat kedua nilai tertentu itu.