Ukuran Gejala Pusat (Central Tendency) oleh : Indah M. Nur

Central Tendency In statistics, a central tendency is a central value or a typical value for a probability distribution. It is occasionally called an average or just the center of the distribution

Ukuran Pemusatan Data Ukuran pemusatan data adalah ukuran untuk gambaran data yang diambil dari sampel dan mewakili populasinya. Merupakan nilai tunggal yang mewakili semua data atau kumpulan pengamatan dimana nilai tersebut menunjukkan pusat data.

Ukuran Pemusatan Data Misalkan kumpulan data berikut adalah nilai uji kompetensi dasar dari 20 mahasiswa semester 7 8 10 6 7 5 5 9 8 9 7 7 9 6 5 8 7 6 8 8 6 Dari kumpulan data di atas , kita belum mempunyai gambaran atau kesimpulan apa-apa tentang nilai-nilai yang terdapat dalam kumpulan data tersebut.

Ukuran Pemusatan Data Ada tiga nilai statistik yang dapat digunakan untuk memberikan gambaran tentang kumpulan data di atas, yaitu rataan, median dan modus. Oleh karena itu rataan, median dan modus disebut sebagai ukuran pemusatan data atau ukuran tendensi sentral

Definisi Ukuran Pemusatan Rata-rata (average) adalah nilai yang mewakili himpunan atau seklompok data. Rata-rata : Rata-rata hitung (arithmetic mean atau mean) Rata-rata ukur (geometric mean) Rata-rata harmonis (harmonic mean)

Nilai rata-rata (mean) Nilai rata-rata merupakan nilai yang dianggap paling mendekati nilai yang paling tepat dari hasil pengukuran. Nilai ini berfungsi sebagai “wakil” dari nilai-nilai hasil pengukuran sekelompok data. Nilai rata-rata yang diperoleh dari suatu sampel disebut statistik ( ) dan nilai rata-rata dari populasi disebut parameter ( )

Ingat kembali bahwa...

Rata-Rata Hitung Rata-rata ini hanya bisa dihitung untuk data dengan skala pengukuran minimal interval. Jika ada n data maka rata-rata hitung didefinisikan sebagai berikut:

Contoh: Nilai rata-rata dari 25, 23, 26, dan 30, dapat kita tulis = 25, = 23, = 26, dan = 30 Sehingga :

Rata-Rata Terboboti (Tertimbang) Rata-rata terboboti digunakan bila data mempunyai bobot yang berlainan. Rumus yang digunakan adalah:

Contoh: Calon mahasiswa baru diwajibkan mengkuti tes kemampuan 3 mata pelajaran, yaitu matematika, bahasa inggris dan pengetahuan umum. Untuk memberikan penilaian yang lebih baik, perguruan tinggi tersebut membobot setiap mata pelajaran yang diujiankan. Matematika diberi bobot 70, bahasa Inggris 30 dan pengetahuan umum 20.

Contoh: Setelah ujian dilaksanakan, seorang calon mahasiswa baru mendapatkan nilai sebagai berikut. Matematika 65, bahasa inggris 70 dan pengetahuan umum 80. Berapakah nilai rata-rata calon mahasiswa tersebut? (Diketahui bahwa penilaian bersifat terbobot, oleh karena itu penghitungan nilai mahasiswa tersebut menggunakan rumus rata-rata tertimbang)

Contoh: Dengan menggunakan rumus rata-rata tertimbang maka penghitungan nilai mahasiswa tersebut adalah sebagai berikut. Jadi, nilai rata-rata calon mahasiswa baru tersebut adalah 69,5.

Rata-rata Ukur (Geometris) Jika perbedaan tiap dua data berurutan tetap atau hampir tetap maka rata-rata ukur lebih baik digunakan daripada rata-rata hitung. Rumus yang digunakan : Jika nilai datanya besar, maka digunakan rumus :

Contoh : Diketahui data sebagai berikut : Berapakah rata-rata ukur dari data tersebut?

Diketahui data dalam bentuk distribusi frekuensi sebagai berikut : Contoh : Diketahui data dalam bentuk distribusi frekuensi sebagai berikut : Kelas interval fi xi log xi fi log xi 3 – 5 2 4 0,60206 1,20412 6 – 8 7 0,84510 1,69019 9 – 11 3 10 1 12 – 14 13 1,11394 3,34182 - Σ = 9,23615 Rata-rata ukur :

Rata-rata harmonis Rata-rata harmonik ini sering disebut juga dengan kebalikan dari rata-rata hitung (aritmatik). Rata-rata harmonis untuk data sebuah sampel berukuran n dihitung dengan rumus :

Contoh : Diketahui suatu data 7, 6, 8, 10, 8, 8, 9, 12, 9, 11 Berapakah rata-rata harmonis nya? .

Modus (Mode) Modus adalah data yang paling sering muncul. Statistik ini bisa digunakan untuk semua skala pengukuran, baik nominal, ordinal, interval, dan ratio. Untuk skala nominal, modus adalah ukuran pemusatan satu-satunya.

Data dengan frekuensi tertinggi adalah 25, Contoh: Data dengan frekuensi tertinggi adalah 25, Maka dikatakan modus data tsb = 25 xi fi 20 11 22 5 25 29 8 30 13

Selanjutnya jika data disusun secara terkelompok karena data yang dimiliki cukup besar maka Modus dapat dicari dengan rumus : = Batas bawah kelas interval yang mengandung modus (kelas interval yang mempunyai frekuensi tertinggi) = Selisih frekuensi yang mengandung modus dengan frekuensi sebelumnya = Selisih frekuensi yang mengandung modus dengan frekuensi sesudahnya p = Panjang kelas interval

Contoh : Kelas Interval f 15 – 17 20 18 – 20 26 21 – 23 10 24 – 26 4 Jumlah 60 Mo terletak pada kelas interval ke-2, maka dari kelas interval yang bersangkutan didapat Bb = 17,5 b1 = selisih f2 – f1 = 26 – 20 = 6 b2 = selisih f2 – f3 = 26 – 10 = 16 p = panjang kelas = 3

Median Median untuk jumlah data (n) ganjil Median adalah data yang terletak ditengah setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar. Median untuk jumlah data (n) ganjil Median untuk jumlah data (n) genap

Misal sederet data terurut adalah 2, 5, 7, 8,10 maka : Median untuk n ganjil Misal sederet data terurut adalah 2, 5, 7, 8,10 maka : Dari rumus matematis di atas, diperoleh bahwa median adalah pada x3, sehingga nilai Median = 7 Median ini bisa digunakan minimal untuk skala ordinal dan tidak sensitif terhadap adanya data ekstrim

Median untuk n genap Diketahui data tinggi badan mahasiswa yang nilainya telah diurutkan sbb: 160, 165, 167, 169, 170, 171, 172, 173, 175, 180 Maka :

Median Data Berkelompok Kelas Interval f Fk 15-17 20 18-20 26 46 21-23 10 56 24-26 4 60 Jumlah ½ jumlah data = ½.60 =30 Panjang kelas = 3 Me = 17,5 + 3 (30-20) = 17,5 + 1,1538 26 Me = 18,65

Hubungan Antara Rata-rata Hitung (Mean), Median dan Modus Rata-rata hitung (mean), median dan modus adalah nilai yang digunakan untuk mewakili seperangkat data. Ketiga nilai tersebut sering juga disebut dengan ukuran kecenderungan terpusat (measure of central tendency). Sebab kecenderungan dari nilai-nilai tersebut memusat pada bagian tengah suatu perangkat data. Pada analisis data biasanya fokus perhatian tidak terletak pada keseluruhan data, tetapi terletak hanya dimana data tersebut memusat. Oleh karena itulah nilai-nilai rata-rata, median dan modus sering digunakan untuk mewakili seperangkat data dalam analisis statistik.

Pada suatu distribusi frekuensi, hubungan antara rata-rata, median dan modus adalah sebagai berikut. 1. Jika rata-rata, median dan modus memiliki nilai yang sama, maka nilai rata-rata, median dan modus akan terletak pada satu titik dalam kurva distribusi frekuensi. Kurva distribusi frekuensi tersebut akan terbentuk simetris.

2. Jika rata-rata lebih besar dari median, dan median lebih besar dari modus, maka pada kurva distribusi frekuensi, nilai rata-rata akan terletak di sebelah kanan, sedangkan median terletak di tengahnya dan modus di sebelah kiri. Kurva distribusi frekuensi akan terbentuk menceng ke kiri.

3. Jika rata-rata lebih kecil dari median, dan median lebih kecil dari modus, maka pada kurva distribusi frekuensi, nilai rata-rata akan terletak di sebelah kiri, sedangkan median terletak di tengahnya dan modus di sebelah kanan. Kurva distribusi frekuensi akan terbentuk menceng ke kanan.

Latihan Soal Buatlah tabel distribusi frekuensi dari data nilai ujian kompetensi dasar 40 siswa : 72, 79, 88, 73, 60, 93, 71, 59, 85, 75, 66, 78, 82, 75, 93, 77, 69, 74, 68, 60 79, 62, 67, 93, 78, 86, 76, 65, 71, 75 86, 67, 73, 81, 72, 63, 76, 75, 85, 77 Tentukan nilai rata-rata (mean), median dan modusnya !