MATEMATIKA 4 TPP: 1202 Disusun oleh Prof. Dr. Ir. Dwiyati Pujimulyani,MP Program Studi Teknologi Hasil Pertanian Fakultas Agroindustri Universitas Mercu Buana Yogyakarta 2015

BILANGAN REAL/ RIIL Pecahan positif dan negatif Sistem bilangan Real/ riil terdiri dari suatu himpunan unsur yang dinamakan bilangan Riil, dinyatakan dengan R. Suatu bilangan riil dapat merupakan suatu bilangan positif, suatu bilangan negatif atau nol. Bilangan bulat (positif, negatif dan nol) ……, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…… Pecahan positif dan negatif Bentuk desimal positif dan negatif, seperti

Bentuk desimal berulang positif dan negatif Bilangan Riil yang bukan rasional dinamakan bilangan irasional, yang mempunyai bentuk desimal tak berulang seperti:

Suatu urutan untuk himpunan Riil, dan terdapat relasi yang dinyatakan dengan lambang < dibaca (lebih kecil dari pada) dan > (lebih besar dari pada) Teorema, Jika a, b R (i) a < b, jika dan hanya jika b-a positif (ii) a > b, jika dan hanya jika a-b positif

Ilustrasi : 3 < 5 karena 5-3= 2 ; 2 positif -10 < -6 karena -6 – (-10)= 4 ; dan 4 positif 7 > 2 karena 7-2= 5 ; dan 5 positif Sekarang kita mendefinisikan lambang ≤ (lebih kecil atau sama dengan) dan ≥ (lebih besar atau sama dengan) Jika a, b R a ≤ b, jika dan hanya jika a < b atau a = b a ≥ b, jika dan hanya jika a > b atau a = b Pernyataan a < b, a > b, a ≤ b, dan a ≥ b dinamakan ketaksamaan Contoh: 2 < 7; -5 < 6; -5 < -4, 14 > 8 dst Khususnya: a < b dan a > b dinamakan ketaksamaan murni a ≤ b dan a ≥ b dinamakan ketaksamaan tak murni

Teorema (i) a > 0 jika dan hanya jika a positif (ii) a < 0 jika dan hanya jika a negatif Suatu bilangan x terletak di antara a dan b, jika a < x dan x < b Cara menuliskan ketaksamaan bersambung adalah a < x < b Ketaksamaan bersambung lainnya: a ≤ x ≤ b Yang berarti bahwa a ≤ x dan x ≤ b Ketaksamaan bersambung lainnya= a ≤ x ≤ b dan a < x ≤ b Teorema (i) jika a > 0 dan b < 0, maka a + b > 0 (ii) jika a > 0 dan b > 0, maka ab > 0 Teorema: jika a, b, c R dan jika a > b, dan b > c, maka a > 0

Teorema Andaikan a, b, c, R Jika a > b,maka a + c > b + c Jika a > b, dan c > 0, maka ac > bc Jika a > b, dan c < 0, maka ac < bc Contoh: 9 > 3 jadi 9 + 4 > 3 + 4 atau setara dengan 13> 7 Jika x > y, maka x – 11 > y – 11 sebagai contoh: 9 > 3, jadi 9 – 11 > 3 – 11 atau setara dengan -2 > -8 Jika x > y, menurut teorema (ii) di atas langsung diperoleh 7x > 7y sebagai contoh: karena 8 > 5 maka 7.8 > 7.5 atau setara dengan 56 > 35 Jika 6 > 4 maka untuk z < 0, menurut teorema (iii) di atas langsung diperoleh 6z < 4z contoh: 6 > 4 maka 6 (-3) < 4 (-3) atau setara dengan -18 < -12

Teorema Serupa dengan teorema sebelumnya kecuali tanda ketidaksamaannya berlawanan. Teorema andaikan a, b, c R Jika a < b maka a + c < b + c Jika a < b dan c > a, maka ac < bc Jika a < b dan c < 0, maka ac > bc Ilustrasi a). Jika x < y dari teorema (i) di atas jika mempunyai x + 5 < y + 5,sebagai contoh -8 < -2; jadi -8 + 5 < -2 + 5 atau setara dengan -3 < 3. Jika x < y maka x – 4 < y – 4 sebagai contoh -8 < -2 jadi -8 – 4 < -2 – 4 atau setara dengan -12 < -6 b). Jika x < y dari teorema (ii) di atas diperoleh 4x < 4y. Sebagai contoh -5 < 3 jadi 4 (-5) < 4 (3) atau setara dengan -20 < 12.

Jika -5 < 3, maka untuk z < 0, dari teorema di atas diperoleh -5z > 3z sebagai contoh karena -5 < 3, maka (-5) (-4) > 3 (-4) atau setara dengan 20 > -12. Teorema Jika a < b dan c < d maka a + c < b + d Ilustrasi: jika x < 8 dan y < -3, maka x + y < 8 + (-3) yaitu x + y < 5

SIFAT-SIFAT SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real a, b, c dan d berlaku sifat-sifat sebagai berikut: Sifat komutatif (i) a + b = b + a (ii) a.b = b.a 2. Sifat asosiatif (i) a + (b +c) = (a + b) + c = a + b + c (ii) a (b.c) = (a.b) c = a.b.c 3. Sifat distributif a (b + c) = (a.b) + (a.c) 4. (i) (ii) (iii)

(iv) a(-b)= (-a)b = -(a.b) (vi) -(-a)= a (vii) Jika a.c = b.c dan c ≠ 0 maka a = b (viii)Jika a.b = 0 maka a = 0 atau b = 0

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Persamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan hubungan sama dengan (=). Suatu persamaan akan tetap ekuivalen (artinya sama), bila kedua ruasnya: ditambah dengan bilangan yang sama, atau dikalikan dengan bilangan yang sama dibagi dengan bilangan yang sama contoh: 1). 9x + 3 = 12 2). X2 + 3x – 70 = 0 3). 2x2 -7x – 15 = 0

b. Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan hubungan lebih dari (>), kurang dari (<), lebih dari atau sama dengan (≥), kurang dari atau sama dengan (≤). Suatu pertidaksamaan akan tetap ekuivalen, bila kedua ruasnya: ditambah dengan bilangan yang sama, atau dikalikan dengan bilangan positif yang sama, atau dikalikan dengan bilangan negatif yang sama, dengan tanda hubungan menjadi terbalik dari asalnya contoh: 1). 3x – 5 > 4 2). X2 – 3x – 10 ≥ 0 3). 3x2 – 6x + 3 ≤ 0

Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari: a. 3x + 4 = 16 b. 3(x – 2) = 2(5 -3x) c. 2 + 5x = 7 + 4(1 – x) d. 1 – 3(4 – x) = 5(3 – 2x) + 2x e. 9x + 3 = 12 f. x2 + 3 – 70 = 0 g. 2x2 -7x – 15 = 0 2. Carilah himpunan penyelesaian dari: a. 3x + 4 > 1 b. 4(4 + 1) – 5 < 5x c. 5 – 2(3 + 2x) > 12 – 3(x + 2) d.

MEMPELAJARI PERSAMAAN LINIER Menyelesaikan dengan Pembagian Carilah nilai x pada persamaan 20x = 170 Bagilah setiap sisi dengan 20 Sederhanakan kedua sisi tanda sama dengan

Menyelesaikan dengan Perkalian Coba selesaikan y pada persamaan Selesaikan a dalam

Menyelesaikan dengan Metode Berkebalikan Pada contoh ini, peubah dikalikan dengan kebalikan Kalikan setiap sisinya dengan kebalikannya, yaitu

1. Carilah nilai adalah cara lain untuk menyatakan Cara memecahkannya dengan mengalikannya dengan kebalikan dari yaitu 2 2. Carilah nilai

3. Carilah nilai x: 0,7x = 42 Untuk melakukannya pada contoh desimal ini, ubahlah 0,7 menjadi . Kebalikan dari adalah

Menyederhanakan Persamaan Agar tetap Sederhana Gantikan 8 untuk x pada persamaan awal untuk melihat apakah penyelesaian tersebut benar

Carilah penyataanan berkelompok yang tidak memiliki simbol pengelompokan di dalamnya dan distribusikan

TERIMAKASIH