Distibusi Probabilitas SQC -3 Dani Leonidas S ,ST.MT

Distribusi Peluang Distribusi Probabilitas Variabel Random Diskrit Distribusi Binomial Distribusi Multinomial Distribusi Hipergeometrik Distribusi Poisson Variabel Random Kontinyu Distribusi Normal Distribusi Student Distribusi Chi-Square Distribusi F

Distribusi Binomial

Contoh Jawaban dari pertanyaan benar/ salah adalah tepat atau keliru. Asumsikan bahwa sebuah ujian berisikan 4 pertanyaan benar/salah, dan seorang mahasiswa tidak mempunyai pengetahuan sedikitpun tentang topik tersebut. Peluang mahasiswa menebak jawaban yang tepat adalah 0,5. Berapa probabilitas mahasiswa tersebut mendapatkan tidak satu pun dari empat pertanyaan yang tepat ? Berapa probabilitas mahasiswa tersebut mendapatkan tepat satu dari empat pertanyaan yang tepat? Berapa probabilitas mahasiswa tersebut mendapatkan paling banyak satu dari empat pertanyaan yang tepat? Berapa probabilitas mahasiswa tersebut mendapatkan paling sedikit satu dari empat pertanyaan yang tepat?

Berapa probabilitas mahasiswa tersebut mendapatkan tidak satu pun dari empat pertanyaan yang tepat ? X =0, N = 4, p = 0,5, q = 0,5 P(X=0)= 4 0 ( 1 2 ) 0 ( 1 2 ) 4 = 4! 0! 4−0 ! ( 1 2 ) 0 ( 1 2 ) 4 =0,0625

Capture tabel,,,,,

Berapa probabilitas mahasiswa tersebut mendapatkan tepat satu dari empat pertanyaan yang tepat ? X =1, N = 4, p = 0,5, q = 0,5 P(X=1)= 4 1 ( 1 2 ) 1 ( 1 2 ) 3 = 4! 1! 4−1 ! ( 1 2 ) 1 ( 1 2 ) 1 =0,25

Tabel ,,,,,

Tabel kumulatif cont,,,, P(X=1) = 0,3125 – 0,0625 =0,25

X =1, N = 4, p = 0,5, q = 0,5 P (X≤1) = P(X=0) + P(X=1) Berapa probabilitas mahasiswa tersebut mendapatkan paling banyak satu dari empat pertanyaan yang tepat? X =1, N = 4, p = 0,5, q = 0,5 P (X≤1) = P(X=0) + P(X=1) = 0,0625 + 0,25 = 0,3125

P (X ≥ 2) = 1 – (P(X=0) + P(X=1)) Berapa probabilitas mahasiswa tersebut mendapatkan paling sedikit 2 pertanyaan dari 4 pertanyaan yang tepat ? X ≥ 2, N = 4, p = 0,5, q = 0,5 P (X ≥ 2) = 1 – (P(X=0) + P(X=1)) = 1 – 0,3125 =0,6875

Distribusi Multinomial

Ekspektasi Distribusi Multinomial Ekspektasi terjadinya tiap peristiwa E1, E2, ... , EK berturut-turut adalah Np1, Np2,...,Npk

Sebuah kotak berisi 3 barang yang dihasilkan oleh mesin A, 4 barang oleh mesin B, dan 5 barang oleh mesin C. Semua barang yang dihasilkan ketiga mesin mempunyai ciri yang sama. Barang-barang tersebut diberi label yg memberikan keterangan diproduksi oleh mesin yang mana, lalu semua dimasukkan ke dalam kotak. Tentukan probabilitas diantara 6 barang yang diambil akan ditemukan 1 barang dari mesin A, 2 barang dari mesin B, dan 3 barang dari mesin C.

6! 1!2!3! ( 3 12 ) 1 ( 4 12 ) 2 ( 5 12 ) 3 =0,1206

Distribusi Hipergeometrik n (N n) / bukan (N x) Dengan rata-rata

50 alat diproduksi selama minggu ini 50 alat diproduksi selama minggu ini. 40 diantaranya dapat beroperasi secara sempurna. Sampel berukuran 5 diambil secara acak. Berapa probabilitas mendapatkan 4 alat yang beroperasi sempurna dari 5 alat yang diambil secara acak ?

Berapa probabilitas mendapatkan 4 alat yang beroperasi sempurna dari 5 alat yang diambil secara acak ? P(4)= ( 40 4 )( 10 1 ) ( 50 5 ) =0,431

Distribusi Poisson

dimana µ (myu) = rata-rata hitung aritmatik dari jumlah pemunculan (kejadian) selama suatu interval waktu tertentu e = bilangan konstan 2,71828

Misalkan rata-rata terdapat 1,4 orang buta huruf untuk setiap 100 orang. Sebuah sampel berukuran 200 telah diambil. Hitunglah probabilitas tidak ada orang yang buta huruf per 200 orang!

probabilitas tidak ada orang yang buta huruf per 200 orang!

Tabel Bisa dibantu dengan membaca tabel

Capture dari tabel,,,

Distribusi Probabilitas Variabel Random Diskrit Distribusi Binomial Distribusi Multinomial Distribusi Hipergeometrik Distribusi Poisson Variabel Random Kontinyu Distribusi Normal Distribusi Student Distribusi Chi-Square Distribusi F

Distribusi Normal Disebut juga kurva normal atau distribusi Gauss Jika variabel X mempunyai fungsi densitas pada X=x dengan persamaan Dan mempunyai batas -∞<x<∞, maka dikatakan bahwa variabel random X berdistribusi normal

Distribusi Normal Sifat-sifat penting distribusi Normal Grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x Bentuknya simetris terhadap x=µ Merupakan kurva unimoda yang tercapai pada x= yaitu sebesar 0,3989/σ Grafiknya mendekati (asimtut) sumbu datar x dimulai dari Luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi

Distribusi Normal

Distribusi Normal

Kurva Normal pada nilai sigma yang berbeda

Kurva Normal dengan nilai Mean yang berbeda

Distribusi Normal Untuk menghitung Probabilitas pada fungsi densitas maka diperlukan solusi atas nilai integral

Distribusi Normal Sehingga untuk menghitung probabilitas X antara suatu nilai a dan b atau P(a<x<b) adalah

Distribusi Normal Standar Distribusi Normal Standar ialah distribusi normal dengan rata-rata bernilai 0 dan simpangan baku bernilai 1

Distribusi Normal Standar Fungsi Densitas distribusi normal standar ialah:

Kurva Normal “Umum” Kurva Normal Standar

Cara Menghitung Probabilitas Distribusi Normal Menggunakan Tabel “Setengah” atau ”lengkap” Hitung Z hingga 2 desimal Gambarkan kurvanya Letakkan harga Z pada sumbu datar, lalu ditarik garis vertikal hingga memotong kurva Luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara nilai Z dengan garis tegak dititik 0 (tabel setengah) Dalam tabel “setengah”, cari tempat harga Z pada kolom paling kiri hanya hingga satu desimal dan desimal keduanya dicari pada baris paling atas Luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara nilai Z dengan ujung kiri (Tabel Lengkap) Dalam tabel “lengkap”, cari tempat harga Z pada kolom paling kiri hanya hingga satu desimal dan desimal keduanya dicari pada baris paling atas Dari Z di kolom kiri maju kekanan dan dari Z di baris atas turun ke bawah., maka didapat bilangan yang merupakan luas yang dicari. Bilangan yang didapat harus ditulis dalam 0,XXXX (bentuk 4 desimal)

Tabel Kurva normal setengah dan lengkap

Tabel Kurva normal lengkap P (Z = - 2.54) = 0.0055

Tabel Kurva normal Setengah P (Z ≤ - 2.54) = 0.0055 Lihat Z untuk 2.54 = 0.4945 Untuk mendapatkan Z ≤ - 2,54 0.5 – 0.4945 = 0.0055

Latihan Hitunglah Probabilitas berikut ini:

P(Z ≤ 0) = 0.5 P(Z ≤ 2.15) = 0.9842 P(0 ≤ Z ≤ 2.15) = 0.9842 – 0.5 = 0.4842

P(Z ≤ -1,86) = 0.0314 P(Z ≤ 0) = 0.5 P(-1,86 ≤ Z ≤ 0) = 0.5 – 0.0314 = 0.4686

P(Z ≤ -1,50) = 0.0668 P(Z ≤ 1,82) = 0.9656 P(-1,50 ≤ Z ≤ 1,82) = 0.9656 – 0.0668 = 0.8988

P(Z= 1,40) = 0.9192 P(Z= 2,65) = 0.9960 P(1,40 ≤ Z ≤ 2,65) = 0.9960 – 0.9192 = 0.0768

P(Z ≤ 1,96) = 0.9750

P(Z ≥ 1,96) = ? P(Z ≤ 1,96) = 0.9750 P(Z ≥ 1,96) = 1 – 0.9750 = 0.025

Latihan .... Berat bayi yang baru lahir rata-rata 3750 dengan simpangan baku 325 gram. Jika berat bayi ini berdistribusi normal, maka tentukan: Persentasi bayi yang beratnya lebih dari 4500 gram? Berapa bayi yang beratnya antara 3500 gram dan 4500 gram, jika semua ada 10.000 bayi? Berapa bayi yang beratnya lebih kecil atau sama dengan 4000 gram, jika semuanya ada 10000 bayi? Berapa bayi yang beratnya 4250 gram jika semuanya ada 5000 bayi?

Distribusi Student (t) Distribusi dengan variabel random X dan mempunyai fungsi densitas sebagai berikut:

Sifat penting Simetris diatas sumbu t, dan sumbu simetrisnya adalah = 0 Fungsi densitas t bergantung pada ukuran sampel n Jika n diperbesar mendekati N, variabel X akan mendekati distribusi normal

Kegunaan Mengukur tingkat keyakinan (parameter) dari hasil eksperimen

Penggunaan daftar Grafik distribusi t dengan dk = ν (dibaca nu) Luas bagian yang diarsir = p dan dibatasi paling kanan oleh tp. Harga tp inilah yang dicari dari daftar untuk pasangan ν dan p yang diberikan

Mencari nilai t t= 𝑥 −𝜇 𝑠 𝑛 𝑋 =𝑟𝑎𝑡𝑎−𝑟𝑎𝑡𝑎 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 µ = rata-rata dugaan s = Standar deviasi/ simpangan baku

Contoh penggunaan Jika p =0,95, n = 13, maka dk = 13 – 1 = 12 maka t = 1,78 Jika n = 16, tentukan t supaya luas yang diarsir = 0,95. Luas ujung kanan dan ujung kiri = 1 – 0,95 = 0,05 Kedua ujung kiri dan kanan sama luas, jadi luas ujung kanan mulai dari t ke kanan = 0,025 Mulai dari t ke kiri luasnya = 1 – 0,025 = 0,975 Harga p yang dipakai = 0,975 ν = n – 1 = 15, p = 0,975 didapat t = 2,13 Jadi antara t = -2,13 dan t = 2,13 luas yang diarsir 0,95

Contoh penggunaan Peneliti menyatakan bahwa varietas padi hasil pengembangannya memiliki tingkat produktivitas 5 ton per hektar. Dengan tingkat kepercayaan 95%, apakah pernyataan ini dapat diterima jika dari sampel 9 hektar didapatkan rata-rata produktivitas 4,7 ton dan deviasi standars 1 ton?

Tentukan berapa batasan nilai t untuk luas 95 % Hitung nilai t t= 𝑥 −𝜇 𝑠 𝑛 = 4,7−5 1/ 9 =−0,9 Tentukan berapa batasan nilai t untuk luas 95 % p = 0,975 ν = 9 – 1 = 8 Maka didapat nilai t antara -2,31 ≤ t ≤ 2,31 Jika nilai t hitung terletak dalam batasan nilai t untuk luas 95%, maka kita dapat menerima pernyataan dari peneliti tersebut bahwa varietas padinya memiliki produktivitas 5 ton per hektar

Distribusi Chi-Square Memiliki Persamaan distribusi sebagai berikut:

Tabel berisikan harga-harga 𝜒 2 untuk pasangan dk dan probabilitas p

Contoh penggunaan daftar Untuk mencari 𝜒 2 dengan p = 0,95 dan dk ν = 14, maka di kolom kiri cari bilangan 14 dan di baris atas 0,95. Maka didapat 𝜒 2 = 23,7

Pada grafik distribusi 𝜒 2 dengan dk =9 Jika luas daerah yang diarsir sebelah kanan = 0,05 , maka 𝜒 2 =16,9. didapat dari dk = 9 dan p =0,95 Jika luas daerah yang diarsir sebelah kiri = 0,025, maka 𝜒 2 = 2,70. didapat dari dk =9 dan p = 0,025

Distribusi F Distribusi ini memiliki persamaan distribusi sebagai berikut

Cara baca tabel Untuk pasangan ν1 dan ν2 24 dan 8 , ditulis juga (ν1, ν2) = (24,8), maka untuk p = 0,05 didapat F = 3,12, sedangkan untuk p = 0,01 didapat F= 5,28. Bagaimana untuk p = 0,99 dan dan p =0,95 ?

Soal latihan 1 Terdapat 200 pasien dimana 10 menderita tekanan darah tinggi.Secara random diambil 10 pasien. Hitung berapa probabilitasnya akan terdapat paling banyak dua pasien dari yang 10 ini menderita tekanan darah tinggi Berapa pasien rata-rata yang menderita tekanan darah tinggi untuk setiap 10 pasien?

2 Peluang bagi seseorang mendapatkan kecelakaan di lokasi A adalah 0,0005. misalkan dari jam 13.00 s/d jam 15.00 tiap hari lewat 875 buah kendaraan . Jika probabilitas mendapat kecelakaan untuk tiap kendaraan sama besar dan terjadinya kecelakaan atau tidak terhadap kendaraan yang satu independen dari apapun yang terjadi terhadap kendaraan lainnya, Tentukan probabilitasnya dalam jangka waktu tersebut akan terjadi dua kecelakaan atau lebih

3 Jika permintaan nomer telepon melalui operator dari jam 10:00 sampai 11:00 rata-ratanya 3. Peluang dalam satu jam tidak akan menerima permintaan nomor telepon Kurang dari 3 Lebih dari 3 Peluang Dalam dua jam

4 Misalkan tinggi mahasiswa berdistribusi normal dengan rata-rata 167,5 cm dan simpangan baku 4,6 cm. Semuanya ada 200.000 mahasiswa. Tentukan ada berapa mahasiswa yang tingginya Lebih dari 175 cm Lebih dari 160 cm Kurang dari 170 cm Kurang dari 166 cm Antara 158 cm dan 170 cm