Graph Matematika Diskrit

PENGENALAN GRAPH Suatu diagram yg memuat informasi tertentu jika diinterpretasikan secara tepat Digunakan untuk menggambarkan berbagai macam struktur yg ada. Tujuannya sebagai visualisasi objek-objek agar lebih mudah dimengerti Contoh : Struktur organisasi, bagan alir pengambilan mata kuliah, peta, rangkaian jaringan komputer, dsb.

DASAR-DASAR GRAPH Suatu graf sederhana G=(V,E) terdiri dari himpunan tak kosong dari simpul (vertex) V, dan himpunan pasangan tak berurut anggota berlainan dari V yang disebut sebagai garis hubung (edge) E Titik Ujung (End Point) Setiap garis berhubungan dengan satu atau dua titik. Loop disebut Garis yang hanya berhubungan dengan satu titik ujung, Garis Parallel disebut Dua garis berbeda yg menghubungkan titik yg sama, Titik Terasing (Isolating Point) disebut titik yg tidak mempunyai garis yg berhubungan dengannya, Pendant disebut Titik yg hanya berdegree 1,

Jenis-Jenis Graph 1) Graph Sederhana (Simple Graph) Graph yg memiliki 1 buah edge/garis yang menghubungkan tiap vertex. Tidak ada loop. Tidak ada garis parallel. 2) Multigraph Graph yg memiliki lebih dari 1 edge yg menghubungkan pasangan vertex yg sama (ada garis parallel) 3) Pseudograph Graph yg memiliki edge loop 4) Graph Berarah (Directed Graph) Graph yg semua edgenya memiliki arah 5) Graph Tidak Berarah (Undirected Graph) Graph yg semua edgenya tidak memiliki arah 6) Multigraph Berarah 7) Multigraph Tidak Berarah

Simple Graph Graph tidak berarah Graph berarah

Multigraph & Pseudograph Graph berarah Graph tidak berarah

Terminology Graph 1) Terminology pada graph tidak berarah - Adjacent : saling berhubungan - Incident / Connect : ada garis yang menghubungkan antar vertex - End Points - Degree : jumlah edge yg berhubungan dengan tiap vertex deg(v) - Vertex h dan i adjacent - Edge e incident dengan vertex h dan i - Vertex h dan I adalah end point dari edge e - deg(h) = 1 ; deg(i) = 1

2) Terminology pada graph berarah - Adjacent : saling berhubungan ‘ke – dari’ - Initial Vertex : vertex awal - Terminal Vertex : vertex akhir - Degree : In degree  deg-(v) Out degree  deg+(v) a adjacent ke b b adjacent dari a a initial vertex dari edge d atau edge(a,b) b terminal vertex dari edge d atau edge(a,b) Degree : deg-(a) = 0 ; deg-(b) = 1 deg+(a) = 1 ; deg+(b) = 0

Berapakah degree dari graph berikut ini? 1) 2)

Teorema Handshaking Misalkan G = (V, E) suatu graph tak berarah dengan garis hubung e. Maka : Teorema ini tetap berlaku meskipun pada graph terdapat garis hubung ganda maupun loop ganda. Contoh : Ada berapa garis hubungkah/edge dalam suatu graph yang memiliki 6 vertex, yang masing-masing vertexnya berderajat 10?

Model-Model Graph 1) Influence Graph Berdasarkan pengamatan perilaku seseorang dalam suatu kelompok yang dapat mempengaruhi pemikiran orang lain. Bentuk graph  berarah Contoh : edge a ke b “a mempengaruhi b”

2) Round-Robin Tournament’s Didasarkan pada sebuah turnamen, setiap tim bermain dengan tim lain tepat 1 kali. Tim diwakili dengan vertex edge dari a ke b: “a mengalahkan b”

3) Graph Khusus a. Graph Lengkap Graph lengkap dengan n vertex (simbol Kn) adalah graph sederhana dengan n vertex, dimana setiap 2 titik berbeda dihubungkan dengan suatu garis Banyaknya garis dalam suatu graph lengkap dengan n vertex adalah :

b. Graph Siklus (Cycle)  Cn Graph Siklus (Cycle) Cn, n≥3, terdiri atas n buah simpul v1, v21, …, vn c. Graph Roda (Wheel)  Wn Dihasilkan dari Pemberian satu vertex tambahan pada suatu siklus Cn, n ≥ 3, dan lalu menghubungkan vertex tersebut ke setiap vertex pada Cn dengan edge baru.

d. Graph Kubus (Cube)  Qn Kubus-n (n-cube) adalah graph yang vertexnya merepresentasikan string 2n bit sepanjang n. Dua vertex terhubung jika dan hanya jika bit string yang direpresentasikannya berbeda tepat satu bit. e) Graph Bipartite  Km,n Suatu graph sederhana G disebut bipartite jika himpunan vertex V-nya dapat dipartisi menjadi dua himpunan tak kosong yang tak beririsan V1 dan V2 sedemikian hingga setiap edge dalam graph menghubungkan suatu vertex di V1 dengan vertex di V2 (sedemikian hingga tak ada edge di dalam G yg menghubungkan dua vertex di V1 maupun di V2).

 Contoh : Bipartite Lengkap : Terhubung sempurna Bipartite : Terhubung

Operasi-Operasi Graph 1) Sub-graph Suatu subgraph dari graf G = (V, E) adalah graf H = (W, F) dimana W  V dan F  E. Contoh : K5 Subgraph K5

2) Union atau Gabungan Gabungan dari dua graph sederhana G1 = (V1, E1) dan G2 = (V2, E2) adalah graph sederhana dengan himpunan vertex V1  V2 dan himpunan garis hubung E1  E2. Gabungan dari G1 dan G2 : G1  G2.

Representasi Graph 1) Adjacency List Menentukan vertex-vertex yg adjacent dengan vertex di graph Contoh :

2) Adjacency Matrix Matriks kedekatan (Adjacency matrix) dari graf G, AG, yang berkaitan dengan vertex-vertex, adalah sebuah matriks boolean n×n dengan elemen ke (i, j) berharga 1 jika vi dan vj bertetangga, dan selainnya itu berharga 0. Dengan kata lain, untuk sebuah matriks kedekatan AG = [aij], maka berlaku : Contoh : Bagaimanakah matrix adjacency yg terbentuk dari urutan vertex a, b, c, d?

3) Adjacency Matrix Multigraph Untuk kasus multigraph, elemen ke (i, j) dari matriks tersebut sama dengan jumlah garis hubung yang terdapat pada kedua simpul {vi, vj}. Contoh : Bagaimana adjacency matrixnya? Jawab :

4) Incidence Matrix Misalkan G = (V, E) sebuah graf tak berarah dengan |V| = n. Vertex dan edge pada G disusun dengan urutan seperti v1, v2, …, vn dan e1, e2, …, em. Matriks insiden (Incidence matrix) dari G yang berkaitan dengan vertex dan edge adalah matriks boolean n×m dengan elemen ke (i, j) =1 jika garis ej terhubung dengan simpul vi, dan selain itu berharga 0. Dengan kata lain , untuk sebuah incidence matrix M = [mij], maka berlaku :

Contoh : Tentukan matriks insiden M untuk graf berikut berdasarkan urutan simpul a, b, c, d dan urutan garis hubung 1, 2, 3, 4, 5, 6! Jawab :

Graph Isomorfis Untuk menentukan dua buah graf tidak isomorfis atau graf isomorfis, kita dapat memeriksa invariannya, yaitu sifat yang harus dimiliki oleh dua buah graf sederhana yang isomorfis. Keduanya haruslah - Memiliki jumlah simpul yang sama - Jumlah garis hubung yang sama - Derajat dari simpul-simpulnya sama. Contoh : Apakah graph-graph di bawah ini termasuk isomorfis?

Selesai…