ALJABAR LINEAR RUANG EUCLID, RUANG VEKTOR, DAN SUB RUANG AFLICH YUSNITA FITRIANNA, M.Pd. STKIP SILIWANGI BANDUNG

Ruang Euclid Definisi Dua vektor ū = {u1, u2, …, un} dan = {v1, v2, …, vn} dalam disebut sama jika: Operasi standar / baku pada vektor Euclid Diketahui ū dan adalah vektor – vektor di ruang – n Euclid dengan ū = {u1, u2, …, un} dan = {v1, v2, …, vn}

Penjumlahan Vektor Perkalian vektor Dan jika k adalah sembarang skalar, perkalian skalar ku didefinisikan sebagai

Panjang vektor Jarak antar vektor

Contoh Hasil kali dalam Euclides dari vektor-vektor u = (-1, 3, 5, 7) dan v = (5, -4, 7, 0) dalam adalah… 2. Diketahui a = (1, 1, 2, 3) dan b = (2, 2, 1, 1) carilah: a. Panjang vektor a dan vektor b ! b. Tentukan jarak antara a dan b !

Penyelesaian 1. 2. a. b.

RUANG VEKTOR (VECTOR SPACE) Diketahui himpunan V dengan u, v, w V, agar V disebut sebagai ruang vektor, jika berlaku: Sifat tertutup, Jika u, v ∈ V , maka u + v ∈ V Sifat Komutatif, u + v = v + u Sifat Asosiatif, u + ( v + w ) = ( u + v) + w Terdapat Identitas Penjumlahan, yaitu 0 ∈ V sehingga 0 + u = u + 0 untuk semua u ∈ V. Untuk setiap u ∈ V terdapat –u ∈ V sehingga u + (– u ) = 0

6. Untuk sembarang skalar k, jika u ∈ V maka ku∈ V 7 6. Untuk sembarang skalar k, jika u ∈ V maka ku∈ V 7. k( u + v) = ku + kv, k sembarang skalar 8. (k + l) u = ku + lu , k dan l skalar 9. k(l u) = (kl) u 10. 1 u = u Contoh M = { semua matriks berdimensi 3x2}. Operasi penjumlahan pada M adalah operasi penjumlahan matriks. Operasi perkaliannya adalah perkalian skalar dengan anggota- anggota M. apakah M merupakan ruang vektor?

Penyelesaian Ambil Tertutup dipenuhi, sebab A+B = D3x2 € M Komutatif dipenuhi; A+B=B+A Asosiatif dipenuhi, sebab (A+B)+C=A+(B+C) Mempunyai identitas, sehingga A+0 = A 5. Untuk setiap ada A + -A = 0

6. Untuk sebarang k, l skalar, maka kA € M 7 6. Untuk sebarang k, l skalar, maka kA € M 7. Distributif; k(A+B)=kA + kB 8. Distributif; (k+l) A = kA + lA 9. Asosiatif; k(lA) = (kl) A 10. Identitas perkalian; ada 1 skalar, sehingga 1A=A Karena 10 sifat dipenuhi, maka M adalah ruang vektor

Contoh Tunjukkan bahwa V yaitu himpunan matriks yang berbentuk dengan operasi standar matriks bukan merupakan ruang vektor, (a,b R) Penyelesaian Untuk membuktikan V bukan merupakan ruang vektor adalah cukup dengan menunjukkan bahwa salah satu syarat ruang vektor tidak dipenuhi. Akan ditunjukkan apakah memenuhi syarat yang pertama ∈

Misalkan dan , p, q, r, s € R maka A, B € V A+B = syarat 1 tidak dipenuhi Jadi V bukan merupakan ruang vektor

SUB RUANG Diketahui V ruang vektor dan U subhimpunan V. Kemudian U dikatakan sub–ruang dari V jika memenuhi dua syarat berikut : 1. W bukan merupakan himpunan kosong 2. 3. Jika u, v ∈ U maka u + v ∈ U 4. Jika u ∈ U , untuk skalar k berlaku ku ∈ U

Contoh Diketahui U adalah himpunan titik-titik di bidang dengan ordinat 0 dengan operasi standar , tunjukkan bahwa U merupakan sub-ruang dari ! Penyelesaian Akan ditunjukkan bahwa U memenuhi dua syarat sub–ruang vektor , yaitu : U = { x,0 } untuk sembarang nilai x ,x ∈ R misalkan a = ( x1,0 ) dan b = ( x2,0 ) dengan x1,x2 ∈ R , maka a, b ∈ U

a + b = ( x1 + x2, 0 ) dengan x1+x2 ∈ R , jadi a+b ∈ U Jadi syarat ke–1 terpenuhi. 2. Untuk skalar k, maka ka = (kx1,0) dengan kx1 ∈ R, jadi ka ∈ U Jadi syarat ke–2 terpenuhi Kedua syarat terpenuhi , maka U merupakan sub–ruang

Tugas Anggap u = (-3, 2, 1, 0), v= (4, 7, -3, 2), dan w = (5, -2, 8, 1). Cari: a. v-w b. 2u + 7v c. 6(u-3v) d. –v-w 2. Buktikan bahwa himpunan semua matriks 2x2 berbentuk dengan penjumlahan dan perkalian skalar matriks merupakan ruang vektor atau bukan! 3. Buktikan bahwa himpunan semua pasangan tiga bilangan real (x, y, z) dengan operasi dan Merupakan ruang vektor atau bukan!