Penyelidikan Operasi 3. Penyelesaian Analitis Persoalan Optimisasi

Materi Optimisasi Tanpa Kendala Optimisasi dengan Kendala Persamaan Optimisasi dengan Kendala Pertidaksamaan Bentuk Umum Persoalan Optimisasi Bentuk Umum dengan Kendala Nonnegatif

Optimisasi Tanpa Kendala Bentuk Umum min 𝑓 𝑥 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑓 𝑥 : ℛ 𝑛 ⟶ℛ max 𝑓 𝑥 𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑑𝑖𝑛𝑦𝑎𝑡𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 min −𝑓 𝑥 Persoalan ini dapat diartikan sebagai berikut: Akan dicari 𝑥 ∗ ∋𝑓 𝑥 ∗ ≤𝑓 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ ℛ 𝑛 Dengan kata lain 𝑥 ∗ adalah titik minimum Persoalan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan syarat cukup dan syarat perlu keoptimalan pada bab sebelumnya

Optimisasi Tanpa Kendala Syarat Perlu 𝛻𝑓 𝑥 ∗ =0⟹ 𝑥 ∗ adalah titik optimal Syarat Cukup Η 𝑥 ∗ ≥0⟹ 𝑥 ∗ adalah titik minimum, sehingga ⟹ 𝑥 ∗ adalah penyelesaian dari min 𝑓 𝑥 Η 𝑥 ∗ ≥0 adalah notasi untuk kemudahan menyatakan bahwa matriks Hessiannya adalah positive semi definite

Optimisasi Tanpa Kendala Berdasarkan kedua syarat tersebut dapat dirancang algoritma penyelesaian persoalan ini sebagai berikut: Cari titik(-titik) yang memenuhi syarat perlu dengan menyelesaikan persamaan yang diperoleh dari gradient = 0 Bila ada, cek apakah titik(-titik) tersebut memenuhi syarat cukup dengan memastikan bahwa matriks Hessiannya adalah positive semi definite Bila ada yang memenuhi, tentukan nilai fungsinya Penyelesaiannya adalah nilai fungsi pada 3. dengan titik pada 2.

Optimisasi Tanpa Kendala Algoritma ini dalam bentuk pseudo code adalah sebagai berikut: Start Find 𝛻𝑓 𝑥 Solve 𝛻𝑓 𝑥 =0. Let 𝐶= 𝑥 |𝛻𝑓 𝑥 =0 be the candidate set If 𝐶 is empty, then stop Else, find 𝛨 𝑥 Let S = 𝑥 ∗ |𝛻𝑓 𝑥 ∗ =0,𝛨 𝑥 ∗ ≥0 be the solution set. For ∀ 𝑥 ∗ ∈ 𝐶 calculate 𝛨 𝑥 ∗ If 𝛨 𝑥 ∗ ≥0 then 𝑥 ∗ ∈𝑆 Else, repeat For ∀ 𝑥 ∗ ∈𝑆 calculate 𝑓 𝑥 ∗ Print ‘Solution is’ 𝑓 𝑥 ∗ at 𝑥 ∗ , repeat End

Optimisasi Tanpa Kendala Contoh 1: Cari penyelesaian dari Min 3 𝑥 1 2 +2 𝑥 2 2 +4 𝑥 1 𝑥 2 −6 𝑥 1 −8 𝑥 2 +6 Langkah 1: Cari titik yang memenuhi syarat perlu 𝛻𝑓 𝑥 = 0 𝛻𝑓 𝑥 = 6 𝑥 1 +4 𝑥 2 −6 4 𝑥 1 +4 𝑥 2 −8 = 0 0 Atau Diperoleh: 6 𝑥 1 +4 𝑥 2 −6=0 4 𝑥 1 +4 𝑥 2 −8=0 𝑥 ∗ = −1 3 𝑥 1 =−1 𝑥 2 =3 Kandidat Titik Minimum

Optimisasi Tanpa Kendala Langkah 2: Cek apakah titik yg diperoleh memenuhi syarat cukup Η 𝑥 ∗ ≥0 (positive semi definite) Η 𝑥 = 6 4 4 4 Η 1 =6>0 positif definit Η 2 = 6 4 − 4 4 =8>0 𝑥 ∗ = −1 3 =𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚 ⟹𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑝𝑒𝑛𝑦𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑎𝑛 yang dicari

Optimisasi Tanpa Kendala Langkah 3: Hitung nilai minimumnya 𝑓 𝑥 ∗ pada titik 𝑥 ∗ = −1 3 𝑓 𝑥 ∗ = 3 (−1) 2 +2 (3) 2 +4(−1)(3)−6(−1)−8(3)+6 𝑓 𝑥 ∗ = −3 Langkah 4: Jadi nilai minimumnya adalah -3 pada titik −1 3

Plot Contour f(x) pada Contoh 1 Optimisasi Tanpa Kendala titik minimum 𝑓 1 𝑓 2 > 𝑓 1 𝑓 3 > 𝑓 2 (-1,3) Plot Contour f(x) pada Contoh 1

Plot Grafik 3D 𝑓 𝑥 pada Contoh 1 Optimisasi Tanpa Kendala f( 𝑥 ) x1 x2 Plot Grafik 3D 𝑓 𝑥 pada Contoh 1

Optimisasi Tanpa Kendala Contoh 2 min −3 𝑥 1 2 −2 𝑥 2 2 −4 𝑥 1 𝑥 2 +6 𝑥 1 +8 𝑥 2 −6 1. Syarat Perlu 𝛻𝑓 𝑥 ∗ =0 𝛻𝑓 𝑥 = −6 𝑥 1 −4 𝑥 2 +6 −4 𝑥 1 −4 𝑥 2 +8 = 0 0 𝑥 ∗ = −1 3 Kandidat Titik Minimum −6 𝑥 1 −4 𝑥 2 +6=0 −4 𝑥 1 −4 𝑥 2 +8=0 𝑥 1 =−1 𝑥 2 =3

Optimisasi Tanpa Kendala 2. Syarat Cukup Η 𝑥 ∗ 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 (𝑠𝑒𝑚𝑖) 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡 Η 𝑥 = −6 −4 −4 −4 Η 1 =−6<0 negatif definit Η 2 = −6 −4 − −4 −4 =8>0 𝑥 ∗ = −1 3 =𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚⟹𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢ℎ𝑖 𝑠𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡 𝑐𝑢𝑘𝑢𝑝 Jadi persoalan ini tidak memiliki penyelesaian

Plot Contour f(x) pada Contoh 2 Optimisasi Tanpa Kendala titik maksimum 𝑓 1 𝑓 2 < 𝑓 1 𝑓 3 < 𝑓 2 Plot Contour f(x) pada Contoh 2

Plot Grafik 3D f(x) pada Contoh 2 Optimisasi Tanpa Kendala Plot Grafik 3D f(x) pada Contoh 2

Optimisasi Tanpa Kendala Contoh 3 Jika diperoleh Η 𝑥 = 6 6 6 4 Η 1 =6>0 indefinit Η 2 = 6 4 − 6 6 =−12<0 𝑀𝑎𝑘𝑎 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑘𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑡 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑠𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡 𝑝𝑒𝑟𝑙𝑢 𝑘𝑒𝑜𝑝𝑡𝑖𝑚𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢ℎ𝑖 𝑠𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡 𝑐𝑢𝑘𝑢𝑝 𝑘𝑒𝑜𝑝𝑡𝑖𝑚𝑎𝑙𝑎𝑛, 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑏𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚 𝑚𝑎𝑢𝑝𝑢𝑛 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚

Optimisasi Tanpa Kendala Contoh 4: Cari penyelesaian dari Min 𝑓 𝑥 = 𝑥 1 3 +2 𝑥 1 𝑥 2 +2 𝑥 2 2 1. Cari titik-titik yang memenuhi syarat perlu 𝛻𝑓 𝑥 ∗ =0 𝛻𝑓 𝑥 = 3 𝑥 1 2 +2 𝑥 2 2 𝑥 2 +4 𝑥 1 = 0 0 𝑥 ∗ = 0 0 , 4 3 − 8 3 3 𝑥 1 2 +2 𝑥 2 =0 2 𝑥 2 +4 𝑥 1 =0 3 𝑥 1 2 −4𝑥 1 =0 Kandidat Titik Minimum 𝑥 1 =0 ∨ 𝑥 1 = 4 3 , 𝑥 2 =0 ∨ 𝑥 2 =− 8 3

Optimisasi Tanpa Kendala 2. Cek apakah memenuhi Syarat Cukup Η 𝑥 ∗ ≥0 Η 𝑥 = 6 𝑥 1 2 2 4 𝑥 ∗ = 0 0 a. Cek untuk kandidat Η 1 =0≥0 negative semi definite Η 2 = 0 4 − 2 2 =−4<0 𝑥 ∗ = 0 0 𝑡𝑑𝑘 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢ℎ𝑖 𝑠𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡 𝑐𝑢𝑘𝑢𝑝 𝑠𝑏𝑔 𝑡𝑡𝑘 𝑚𝑖𝑛 (𝑏𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑛𝑦𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑎𝑛)

Optimisasi Tanpa Kendala 𝑥 ∗ = 4 3 − 8 3 b. Cek untuk kandidat Η 𝑥 = 6 𝑥 1 2 2 4 Η 1 =8>0 positif definit Η 2 = 8 4 − 2 2 =28>0 𝑥 ∗ = 4 3 − 8 3 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢ℎ𝑖 𝑠𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡 𝑐𝑢𝑘𝑢𝑝 𝑠𝑏𝑔 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚 (𝑝𝑒𝑛𝑦𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑎𝑛)

Optimisasi Tanpa Kendala Langkah 3: Hitung nilai minimumnya 𝑓 𝑥 = 𝑥 1 3 +2 𝑥 1 𝑥 2 +2 𝑥 2 2 Hitung 𝑓 𝑥 ∗ pada titik 𝑥 ∗ = 4/3 −8/3 𝑓 𝑥 ∗ = ( 4 3 ) 3 +2 ( 4 3 )(− 8 3 ) +2 − 8 3 2 𝑓 𝑥 ∗ = − 256 27 Langkah 4: Jadi penyelesaiannya adalah: nilai minimum = (256/27) pada titik 4/3 −8/3

Optimisasi Tanpa Kendala titik minimum Contour Contoh 4

Grafik 3D Fungsi pada Contoh 4 Optimisasi Tanpa Kendala Gunakan pseudo code yang diberikan didepan untuk menyelesaikan contoh 4! Langkah-langkah penyelesaian sesuai dengan langkah-langkah pada pseudo code Grafik 3D Fungsi pada Contoh 4

Optimisasi dengan Kendala Persamaan Bentuk Umum 𝑚𝑖𝑛 𝑓 𝑥 Fungsi optimisasi dengan syarat (d.s) ℎ 𝑥 =0 Fungsi kendala berbentuk persamaan 𝑓 𝑥 : ℛ 𝑛 →ℛ ℎ 𝑥 : ℛ 𝑛 → ℛ 𝑚 𝑚 : sembarang (menyatakan banyaknya kendala) Akan dicari 𝑥 ∗ ∋ℎ 𝑥 ∗ =0 𝑑𝑎𝑛 𝑓( 𝑥 ∗ )<𝑓 𝑥 ∀ 𝑥 Langkah: Mencari titik(-titik) yang memenuhi semua kendala Mencari titik(-titik) optimal Mencari titik(-titik) penyelesaian

Optimisasi dengan Kendala Persamaan 𝑆= 𝑥 |ℎ 𝑥 =0 Definisikan Himpunan titik – titik yang memenuhi semua kendala Titik – titik yang layak (karena memenuhi kendala) Daerah kelayakan yang memuat titik – titik yang layak 𝑆= Daerah Kelayakan

Optimisasi dengan Kendala Persamaan Contoh min 3 𝑥 1 2 +2 𝑥 2 2 +4 𝑥 1 𝑥 2 −6 𝑥 1 −8 𝑥 2 +6 d.s 𝑥 1 + 𝑥 2 =1 Dari syarat perlu diperoleh: 𝛻𝑓 𝑥 ∗ =0⟹ 𝑥 ∗ = −1 3 Metode Eliminasi 𝑆= 𝑥 | 𝑥 1 + 𝑥 2 =1 𝑥 ∗ ∉ 𝑆 𝑥 ∗ bukan titik yang layak 𝑥 ∗ bukan titik penyelesaian

Contour dengan Kendala Persamaan Contoh 1 Optimisasi dengan Kendala Persamaan 𝑺 titik yang memenuhi kendala **Titik minimum ⟹ titik yang dihasilkan dari persinggungan antara garis kendala dengan contour paling dalam Contour dengan Kendala Persamaan Contoh 1

Optimisasi dengan Kendala Persamaan Untuk menyelesaikan persoalan ini dengan menggunakan syarat keoptimalan dipergunakan pengali Lagrange 𝜆 (Lagrange Multipliers) Untuk min 𝑓( 𝑥 ) dengan syarat ℎ 𝑥 =0, definisikan: 𝐿 𝑥 , 𝜆 =𝑓 𝑥 + 𝑖=1 𝑚 𝜆 𝑖 ℎ 𝑖 ( 𝑥 ) 𝐿 disebut sebagai fungsi Lagrange

Optimisasi dengan Kendala Persamaan “Untuk menyelesaikan persoalan optimisasi dengan kendala persamaan dapat dilakukan dengan menyelesaikan persoalan optimisasi tanpa kendala dari fungsi Lagrange yang bersesuaian dengan fungsi tujuan dan fungsi kendala pada persoalan optimasi dengan kendala.”

Optimisasi dengan Kendala Persamaan Persoalan diubah menjadi min 𝑓( 𝑥 ) ⟶ min 𝐿 𝑥 , 𝜆 =𝑓 𝑥 + 𝑖=1 𝑚 𝜆 𝑖 ℎ 𝑖 ( 𝑥 ) Memiliki dua variabel 𝑥 , 𝜆 d.s. ℎ 𝑥 =0 Syarat perlu 𝑥 ∗ , 𝜆 ∗ titik minimum ⟶𝛻𝐿 𝑥 ∗ , 𝜆 ∗ =0 𝛻𝐿 𝑥 ∗ , 𝜆 ∗ = 𝜕𝐿 𝜕𝑥 𝜕𝐿 𝜕𝜆 =0 dimensi 𝑛 dimensi 𝑚 𝜕𝐿 𝜕𝑥 =𝛻𝑓 𝑥 + 𝑖=1 𝑚 𝜆 𝑖 𝛻ℎ 𝑖 ( 𝑥 ) =0 𝜕𝐿 𝜕𝜆 = ℎ 𝑖 𝑥 =0

Optimisasi dengan Kendala Persamaan Contoh min 3 𝑥 1 2 +2 𝑥 2 2 +4 𝑥 1 𝑥 2 −6 𝑥 1 −8 𝑥 2 +6 d.s 𝑥 1 + 𝑥 2 =1 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 −𝟏=𝟎 ⟹𝒉 𝒙 =𝟎 𝐿 𝑥 , 𝜆 = 3 𝑥 1 2 +2 𝑥 2 2 +4 𝑥 1 𝑥 2 −6 𝑥 1 −8 𝑥 2 +6+𝜆 𝑥 1 + 𝑥 2 −1 =0 min 𝐿 𝑥 , 𝜆 Syarat Perlu 1. 𝛻𝑓 𝑥 +𝜆𝛻ℎ 𝑥 =0 2. ℎ 𝑥 =0 6 𝑥 1 +4 𝑥 2 −6 4 𝑥 1 +4 𝑥 2 −8 +𝜆 1 1 =0 𝑥 1 + 𝑥 2 −1 =0

Optimisasi dengan Kendala Persamaan 3 variable dengan 3 persamaan 𝑥 1 , 𝑥 2 ,𝜆 6 𝑥 1 +4 𝑥 2 −6+𝜆=0 4 𝑥 1 +4 𝑥 2 −8+𝜆=0 𝑥 1 =−1 substitusi ke salah satu persamaan untuk mencari λ 𝑥 2 =2 6 −1 +4 2 −6+𝜆=0 λ=4 𝑥 ∗ = −1 2 ⟶𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑜𝑝𝑡𝑖𝑚𝑎𝑙, 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑔𝑎𝑖 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑛 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 λ=4

Contour dengan Kendala Persamaan pada Contoh 2 Optimisasi dengan Kendala Persamaan Calon titik minimum 𝑺 Contour dengan Kendala Persamaan pada Contoh 2

Optimisasi dengan Kendala Persamaan Syarat Cukup, di cek dari konfektifitas 𝐿( 𝑥 ,𝜆) Karena, 𝐿 𝑥 , 𝜆 =𝑓 𝑥 + 𝑖=1 𝑚 𝜆 𝑖 ℎ 𝑖 ( 𝑥 ) Konfektifitas dari L, dapat dilihat dari konfektifitas 𝑓( 𝑥 ) dan ℎ( 𝑥 ) Sehingga syarat cukupnya adalah 𝑓 𝑥 = konveks ℎ𝑖 𝑥 = konveks untuk 𝜆 𝑖 >0 konkav untuk 𝜆 𝑖 <0

Optimisasi dengan Kendala Persamaan Contoh min 3 𝑥 1 2 +2 𝑥 2 2 +4 𝑥 1 𝑥 2 −6 𝑥 1 −8 𝑥 2 +6 d.s 𝑥 1 + 𝑥 2 −1=0 Bila 𝐿( 𝑥 , 𝜆 ) adalah konfeks maka 𝑥 ∗ adalah titik minimum yang dicari 𝑓( 𝑥 ) adalah konfeks karena 𝐻( 𝑥 ) adalah positif definit Untuk λ=4, ℎ( 𝑥 ) adalah konfeks karena linier Syarat cukup dipenuhi ⟹ 𝑥 ∗ = −1 2 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑦𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑎𝑛 (𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚) 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑐𝑎𝑟𝑖

Optimisasi dengan Kendala Persamaan Syarat keoptimalan optimisasi dengan kendala persamaan dapat dituliskan sebagai berikut: Syarat perlu 𝛻𝐿 𝑥 ∗ , 𝜆 ∗ =0 ⟶ 𝑥 ∗ , 𝜆 ∗ titik minimum 𝐿 𝑥 , 𝜆 =𝑓 𝑥 + 𝜆 𝑖 ℎ 𝑖 𝑥 Syarat Cukup konfeks + positif + konfeks konfeks + negatif + konkaf

Optimisasi dengan Kendala Persamaan Interpretasi Geometris dari Penyelesaian Optimal Bila diperhatikan dari Syarat perlu 𝛻𝑓 𝑥 +𝜆𝛻ℎ 𝑥 =0 𝛻𝑓 𝑥 =−𝜆𝛻ℎ 𝑥 =0 Skalar = 4 𝛻𝑓 𝑥 = 6 𝑥 1 +4 𝑥 2 −6 4 𝑥 1 +4 𝑥 2 −8 𝛻𝑓 −1 2 = −4 −4 , 𝛻ℎ −1 2 = 1 1 Pada titik optimal −1 2 : 𝛻𝑓 𝑥 = −4 −4 = −𝜆𝛻ℎ 𝑥 =−4 1 1 = −4 −4 Atau, 𝛻𝑓 𝑥 segaris dengan 𝛻ℎ 𝑥 : - Berlawanan arah bila 𝜆 > 0 - Searah bila 𝜆 < 0

Contour Contoh 2 dengan Intepretasi Geometris Titik Optimalnya Optimisasi dengan Kendala Persamaan 𝜵𝒇= −𝟒 −𝟒 𝜵𝒉= 𝟏 𝟏 𝝀>𝟎 𝜵𝒇 𝜵𝒉 𝝀<𝟎 titik minimum tanpa kendala Kendala persamaan titik minimum dengan kendala Contour Contoh 2 dengan Intepretasi Geometris Titik Optimalnya

Optimisasi dengan Kendala Persamaan Pada titik optimal berlaku: 𝛻𝑓( 𝑥 ) segaris dengan 𝛻ℎ( 𝑥 ) Bila 𝛻ℎ( 𝑥 ) berlawanan arah dengan 𝛻𝑓( 𝑥 ), maka 𝜆>0 Bila 𝛻ℎ( 𝑥 ) searah dengan 𝛻𝑓( 𝑥 ), maka 𝜆<0 Bila kendala melewati titik optimal dari 𝑓( 𝑥 ) dan titik optimal memenuhi syarat cukup, maka 𝜆=0

Optimisasi dengan Kendala Persamaan Contoh dengan 3 variabel min 𝑥 1 2 +2 𝑥 2 2 +2 𝑥 2 +2 𝑥 1 −8 𝑥 3 d.s 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 =1 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 −𝟏=𝟎 ⟹𝒉 𝒙 =𝟎 𝒙 𝟏 − 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟑 −𝟑=𝟎 ⟹𝒉 𝒙 =𝟎 𝑥 1 − 𝑥 2 − 𝑥 3 =3 𝐿 𝑥 , 𝜆 = 𝑥 1 2 +2 𝑥 2 2 +2 𝑥 2 𝑥 3 +3 𝑥 1 −8 𝑥 3 + 𝜆 1 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 −1 + 𝜆 2 𝑥 1 − 𝑥 2 − 𝑥 3 −3 Persoalan berubah menjadi: min 𝐿 𝑥 , 𝜆 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 5 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙, 3 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝑑𝑎𝑛 2 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝜆

Optimisasi dengan Kendala Persamaan Syarat Perlu 1. 𝛻𝑓 𝑥 + 𝜆 1 𝛻 ℎ 1 𝑥 + 𝜆 2 𝛻 ℎ 2 𝑥 =0 2 𝑥 1 +2 4 𝑥 2 +2 2 𝑥 2 −8 + 𝜆 1 1 1 1 + 𝜆 2 1 −1 −1 =0 2. ℎ 𝑥 =0 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 −1 =0 𝑥 1 − 𝑥 2 − 𝑥 3 −3 =0

Optimisasi dengan Kendala Persamaan 5 variable dengan 5 persamaan 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝜆 1 , 𝜆 2 2 𝑥 1 +2+ 𝜆 1 + 𝜆 2 =0 4 𝑥 2 +2+ 𝜆 1 − 𝜆 2 =0 2 𝑥 2 −8+ 𝜆 1 − 𝜆 2 =0 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 =1 𝑥 1 − 𝑥 2 − 𝑥 3 =3 𝑥 1 =2 4 𝑥 2 +2+ 𝜆 1 − 𝜆 2 =0 4 𝑥 2 −16+2 𝜆 1 − 2𝜆 2 =0 𝜆 1 − 𝜆 2 =18 𝜆 1 =6 𝜆 2 =−12

Optimisasi dengan Kendala Persamaan Diketahui 𝑥 1 =2, 𝜆 1 =6, 𝜆 2 =−12 4 𝑥 2 +2+(6)−(−12)=0 (2)+(−5)+ 𝑥 3 =1 𝑥 2 =−5 𝑥 3 =4 𝑥 ∗ = 2 −5 4 ⟶𝑐𝑎𝑙𝑜𝑛 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝜆 1 =6, 𝜆 2 =−12 Untuk memastikan bahwa adalah penyelesaian dari persoalan ini masih harus dibuktikan bahwa syarat cukup terpenuhi, yaitu f( 𝑥 ) konveks, h1( 𝑥 ) konveks karena 𝜆 1 =6 dan h2( 𝑥 ) adalah konkaf karena 𝜆 2 =−12. Buktikan!

Optimisasi dengan Kendala Persamaan Algoritma penyelesaian persoalan optimasi dengan kendala persamaan dapat dituliskan dalam bentuk pseudo code sebagai berikut: Start Construct 𝐿 𝑥 , 𝜆 Find 𝛻𝐿 𝑥 , 𝜆 Solve 𝛻𝐿 𝑥 , 𝜆 =0 Let 𝐶= 𝑥 , 𝜆 |𝛻𝐿 𝑥 , 𝜆 =0 be the candidate set If 𝐶 is empty, then stop Else, find ….. … Lanjutkan rancangan pseudo code ini!

Optimisasi dengan Kendala Pertidaksamaan Bentuk Umum Min 𝑓 𝑥 Fungsi tujuan ds 𝑔 𝑖 𝑥 ≤0 𝑖=1, 2, ..𝑚 Fungsi kendala pertidaksamaan Bentuk lain harus dikonversi ke bentuk umum tersebut Max 𝑓 𝑥 Min −𝑓 𝑥 Dengan syarat 𝑔 𝑖 𝑥 ≥0 𝑔 𝑗 𝑥 ≥𝑎 Dengan syarat − 𝑔 𝑖 𝑥 ≤0 −𝑔 𝑗 𝑥 +𝑎≤0

Optimisasi dengan Kendala Pertidaksamaan Untuk menyelesaikan persoalan ini, ubah pertidaksamaan menjadi persamaan dengan menambahkan variable yang menyatakan selisih antara ruas kanan dan ruas kiri atau biasa disebut slack variables 𝑔 𝑥 ≤0→𝑔 𝑥 +𝑠=0 S disebut slack yang bernilai nonnegatif 𝑠= 𝑎 2 𝑔 𝑥 + 𝑎 2 =0 Dapat dibentuk fungsi Lagrange sebagai berikut: 𝐿 𝑥 , 𝜆 ,𝑎 =𝑓 𝑥 +λ(𝑔 𝑥 + 𝑎 2 ) Sekarang persoalannya dapat dituliskan sebagai: Min 𝐿 𝑥 , 𝜆 ,𝑎

Optimisasi dengan Kendala Pertidaksamaan 𝐿 𝑥 , 𝜆 ,𝑎 =𝑓 𝑥 +λ(𝑔 𝑥 + 𝑎 2 ) 𝒈 𝑥 + 𝒂 𝟐 =𝟎 𝒂 𝟐 =−𝒈 𝑥 𝒂= −𝒈( 𝑥 ) Syarat Perlu 𝜕𝐿 𝜕𝑥 =𝛻𝑓 𝑥 +𝜆𝛻𝑔 𝑥 =0 𝜕𝐿 𝜕𝜆 =𝑔 𝑥 + 𝑎 2 =0 𝑔( 𝑥 )≤0 𝜕𝐿 𝜕𝑎 =2𝑎𝜆=0 1 2 𝑎𝜆=0 −𝑔 𝑥 𝜆=0∗ −𝑔( 𝑥 ) 𝑔 𝑥 𝜆=0 𝜆≥0 3 4 ?

Optimisasi dengan Kendala Pertidaksamaan 𝑔 𝑥 𝜆=0 Disebut complementary slackness Bila 𝑔 𝑥 =0, maka 𝜆≠0 Bila 𝑔( 𝑥 )≠0, maka 𝜆=0 Persyaratan 3 𝝀>𝟎 Kendala Berpengaruh (binding constraint) Yang digunakan persamaannya (=) 𝝀=𝟎 Kendala Tidak Berpengaruh (non binding constraint) Yang digunakan pertidaksamaannya (<) Titik optimal tidak dipengaruhi oleh kendala tersebut **Pengali Lagrange (𝜆) harus lebih besar dari 0 sehingga titik penyelesaian yang memenuhi yaitu 𝛻𝑓 berlawanan arah dengan 𝛻𝑔 (?)

Optimisasi dengan Kendala Pertidaksamaan Contoh 1 min 3 𝑥 1 2 +2 𝑥 2 2 +4 𝑥 1 𝑥 2 −6 𝑥 1 −8 𝑥 2 +6 d.s 𝑥 1 + 𝑥 2 ≤1 𝑔 𝑥 = 𝑥 1 + 𝑥 2 −1 Contoh 2 min 3 𝑥 1 2 +2 𝑥 2 2 +4 𝑥 1 𝑥 2 −6 𝑥 1 −8 𝑥 2 +6 d.s 𝑥 1 + 𝑥 2 ≥1 𝑔 𝑥 =− 𝑥 1 − 𝑥 2 +1

Optimisasi dengan Kendala Pertidaksamaan Solusi 1 𝛻𝑓 𝑥 = 6 𝑥 1 +4 𝑥 2 −6 4 𝑥 1 +4 𝑥 2 −8 𝛻𝑔 𝑥 = 1 1 𝛻𝑓 𝑥 = −4 −4 Solusi 2 𝛻𝑓 𝑥 = 6 𝑥 1 +4 𝑥 2 −6 4 𝑥 1 +4 𝑥 2 −8 𝛻𝑔 𝑥 = −1 −1

Contour dengan Solusi Contoh 1 Optimisasi dengan Kendala Pertidaksamaan Kendala berpengaruh, karena nilai titik optimal ditentukan oleh kendala tersebut. Dalam kasus ini terlihat bahwa 𝝀>𝟎 Daerah kelayakan 𝜵𝒈 𝑥 = 𝟏 𝟏 Titik optimal 𝑥 ∗ 𝜵𝒇 𝑥 = −𝟒 −𝟒 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 =𝟏 Contour dengan Solusi Contoh 1

Contour dengan Solusi untuk Contoh 2 Optimisasi dengan Kendala Pertidaksamaan Kendala tidak berpengaruh, karena nilai titik optimal tidak dipengaruhi oleh kendala tersebut. Dalam kasus ini berlaku 𝝀=𝟎 Karena tidak ada kasus lain selain dari dua kasus ini, dapat disimpulkan bahwa 𝜆≥0 Sebagai salah satu syarat perlu keoptimalan yang harus dipenuhi Titik optimal 𝑥 ∗ 𝜵𝒈 𝑥 = −𝟏 −𝟏 Daerah kelayakan 𝜵𝒇 𝑥 = −𝟒 −𝟒 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 =𝟏 Contour dengan Solusi untuk Contoh 2

Optimisasi dengan Kendala Pertidaksamaan Contoh 3: selesaikan contoh 1 dengan menggunakan syarat perlu min 3 𝑥 1 2 +2 𝑥 2 2 +4 𝑥 1 𝑥 2 −6 𝑥 1 −8 𝑥 2 +6 d.s 𝑥 1 + 𝑥 2 ≤1 Syarat Perlu 6 𝑥 1 +4 𝑥 2 −6 4 𝑥 1 +4 𝑥 2 −8 +𝜆 1 1 =0 6 𝑥 1 +4 𝑥 2 −6+𝜆=0 4 𝑥 1 +4 𝑥 2 −8+𝜆=0 1 2 𝑥 1 + 𝑥 2 −1≤0 𝜆( 𝑥 1 + 𝑥 2 −1)=0 3 𝜆≥0 4

Optimisasi dengan Kendala Pertidaksamaan Kemungkinan 1 : 𝜆=0 Kemungkinan 2 : 𝜆>0 3 𝜆 𝑥 1 + 𝑥 2 −1 =0→ 𝑥 1 + 𝑥 2 −1=0 6 𝑥 1 +4 𝑥 2 −6=0 4 𝑥 1 +4 𝑥 2 −8=0 𝑥 1 =−1 𝑥 2 = 3 1 6 𝑥 1 +4 𝑥 2 −6+𝜆=0 4 𝑥 1 +4 𝑥 2 −8+𝜆=0 𝑥 1 =−1 1 𝑥 2 =2 𝑥 1 + 𝑥 2 −1=0 −1 + 3 −1≠0 (Tidak Memenuhi) 2 𝜆=4 (𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢ℎ𝑖) Jadi, 𝑥 ∗ = −1 2 dan 𝜆=4 Untuk memastikan bahwa 𝑥 ∗ = −1 2 dan 𝜆=4 adalah penyelesaian yang dicari, harus dibuktikan terlebih dahulu bahwa syarat cukup dipenuhi

Optimisasi dengan Kendala Pertidaksamaan Syarat perlu keoptimalannya adalah 𝛻𝑓 𝑥 + 𝑖=1 𝑚 𝜆 𝑖 𝛻 𝑔 𝑖 𝑥 =0 𝑔 𝑖 (𝑥)≤0, 𝑖=1,2,..𝑚 𝜆 𝑖 𝑔 𝑖 𝑥 =0, 𝑖=1,2,..𝑚 𝜆 𝑖 ≥0, 𝑖=1,2,..𝑚 1 2 3 4 Syarat cukup keoptimalannya adalah 𝑓 𝑥 adalah konveks 𝑔 𝑖 𝑥 adalah konveks untuk 𝜆 𝑖 >0 𝑔 𝑖 𝑥 adalah bebas untuk 𝜆 𝑖 =0

Optimisasi dengan Kendala Pertidaksamaan Syarat cukup keoptimalannya adalah: 𝑓 𝑥 harus konveks 𝑔 𝑥 harus konveks karena 𝜆 =4 >0 Karena linier, 𝑔 𝑥 dapat dipastikan adalah konveks. Sedangkan untuk membuktikan 𝑓 𝑥 adalah konveks dilakukan dengan mencari matriks Hessiannya. Dengan mudah dapat dilihat bahwa matriks Hessiannya adalah positive definite, sehingga 𝑓 𝑥 adalah konveks. Karena syarat cukupnya terpenuhi, 𝑥 ∗ = −1 2 dengan 𝜆=4 adalah penyelesaiannya Tuliskan pseudo code untuk algoritma pencarian penyelesaian persoalan optimasi dengan kendala pertidaksamaan!

Bentuk Umum Persoalan Optimisasi Bentuk umum persoalan optimisasi dapat dituliskan sebagai berikut: Fungsi optimisasi Min 𝑓 𝑥 ds 𝑔 𝑖 𝑥 ≤0 𝑖=1,2,..𝑚 Fungsi kendala pertidaksamaan ℎ 𝑗 𝑥 =0 𝑗=1,2,..𝑘 Fungsi kendala persamaan Fungsi Lagrange-nya adalah 𝐿 𝑥 , 𝜆 , 𝜇 =𝑓 𝑥 + 𝑖=1 𝑚 𝜆 𝑖 𝑔 𝑖 𝑥 + 𝑗=1 𝑘 𝜇 𝑗 ℎ 𝑗 𝑥 Dengan n adalah dimensi 𝑥, m dimensi 𝑔, dan k dimensi ℎ

Bentuk Umum Persoalan Optimisasi Syarat perlu keoptimalannya adalah 𝛻𝑓 𝑥 + 𝑖=1 𝑚 𝜆 𝑖 𝛻 𝑔 𝑖 𝑥 =0 𝑔 𝑖 ( 𝑥 )≤0, 𝑖=1,2,..𝑚 ℎ 𝑗 𝑥 =0, 𝑗=1,2,..𝑘 𝜆 𝑖 𝑔 𝑖 𝑥 =0, 𝑖=1,2,..𝑚 𝜆 𝑖 ≥0, 𝑖=1,2,..𝑚 1 2 Dikenal sebagai Syarat Keoptimal Kuhn-Tucker 3 4 5 Syarat cukup keoptimalannya adalah 𝑓 𝑥 = konveks 𝑔 𝑖 𝑥 = konveks untuk 𝜆 𝑖 >0, bebas untuk 𝜆 𝑖 =0 ℎ 𝑗 𝑥 = konveks untuk 𝜇 𝑗 >0, konkaf untuk 𝜇 𝑗 <0, bebas unt 𝜇 𝑗 =0

Bentuk Umum Persoalan Optimisasi Contoh max 2 𝑥 1 + 𝑥 2 𝑑.𝑠 𝑥 1 + 𝑥 2 =2 𝑥 1 ≥0 𝑥 2 ≥0 Konversi ke Bentuk Umum max 2 𝑥 1 + 𝑥 2  min −2 𝑥 1 − 𝑥 2 𝑓 𝑥 =−2 𝑥 1 − 𝑥 2 𝑔 1 𝑥 =− 𝑥 1 𝑔 2 𝑥 =− 𝑥 2 ℎ 𝑥 = 𝑥 1 + 𝑥 2 −2 ada 4 gradient

Bentuk Umum Persoalan Optimisasi Syrat Perlu 1 𝛻𝑓 𝑥 + 𝜆 1 𝛻 𝑔 1 𝑥 + 𝜆 2 𝛻 𝑔 2 𝑥 +𝜇𝛻ℎ 𝑥 =0 −2− 𝜆 1 +𝜇=0 −1− 𝜆 2 +𝜇=0 1a −2 −1 + 𝜆 1 −1 0 + 𝜆 2 0 −1 +𝜇 1 1 =0 1b − 𝑥 1 ≤0 − 𝑥 2 ≤0 𝑥 1 + 𝑥 2 −2=0 𝜆 1 𝑥 1 =0 𝜆 2 𝑥 2 =0 𝜆 1 ≥0 𝜆 2 ≥0 2 2a 2b 3 4a 4 4b 5 5a 5b

Bentuk Umum Persoalan Optimisasi Berdasarkan kombinasi nilai 𝜆 𝑖 , diperoleh 4 kemungkinan Kemungkinan 1 : 𝜆 1 >0 𝜆 2 >0 𝑥 1 + 𝑥 2 −2=0 0 + 0 −2≠0 (Tidak Memenuhi) 𝑥 1 =0 𝑥 2 =0 4 3 Kemungkinan 2 : 𝜆 1 =0 𝜆 2 >0 𝑥 2 =0 4 𝑥 1 + 𝑥 2 −2=0 𝑥 1 =2 3 −2− 𝜆 1 +𝜇=0 ⇒ 𝜇=2 −1− 𝜆 2 +𝜇=0 ⇒ 𝜆 2 =1 (Memenuhi) 1

Bentuk Umum Persoalan Optimisasi Kemungkinan 3 : 𝜆 1 >0 𝜆 2 =0 𝑥 1 =0 4 −1− 𝜆 2 +𝜇=0 ⇒ 𝜇=1 −2− 𝜆 1 +𝜇=0 ⇒ 𝜆 1 =−1 (Tidak Memenuhi) 1 𝑥 1 + 𝑥 2 −2=0 𝑥 2 =2 3 Kemungkinan 4 : 𝜆 1 =0 𝜆 2 =0 −2− 𝜆 1 +𝜇=0 ⇒ 𝜇=2 −1− 𝜆 2 +𝜇=0 ⇒ 𝜇=1 (Tidak Memenuhi) 1 Jadi, 𝑥 ∗ = 2 0 dengan 𝜆 1 =0, 𝜆 2 =1, 𝜇 =2 adalah calon titik optimal Dengan nilai Minimum min −2 𝑥 1 − 𝑥 2 =−2 2 −0=−4

Contour dengan Intepretasi Geometris Penyelesaian Contoh 3 Bentuk Umum Persoalan Optimisasi 𝛻ℎ 𝜆 1 >0 𝜆 2 =0 𝛻 𝑔 1 𝛻ℎ 𝛻𝑓 𝜆 1 >0 𝜆 2 >0 𝜆 1 =0 𝜆 2 >0 𝛻𝑓 𝛻 𝑔 2 Contour dengan Intepretasi Geometris Penyelesaian Contoh 3

Bentuk Umum Persoalan Optimisasi Syarat cukup dapat dicek sebagai berikut: Fungsi tujuan 𝑓 𝑥 adalah fungsi linear. Sehingga syarat konveks terpenuhi Fungsi kendala 𝑔 1 𝑥 tidak berpengaruh karena 𝜆 1 =0, sehingga bebas 𝑔 2 𝑥 berpengaruh karena 𝜆 2 >0, sehingga harus konveks. Karena linear, syarat tersebut dengan sendirinya terpenuhi ℎ 𝑥 harus konveks karena 𝜇>0. Karena linear, syarat tersebut dengan sendirinya terpenuhi. Semua syarat cukup terpenuhi! Jadi, 𝑥 ∗ = 0 2 dengan 𝜆 1 =0, 𝜆 2 =1, 𝜇 =2 adalah penyelesaiannya Buat pseudo code untuk algoritma penyelesaian bentuk umum persoalan optimisasi!

Persoalan Optimasi dengan Kendala Non-Negatif Seringkali dijumpai persoalan dengan syarat semua variable harus non- negative karena variable-variable tersebut menyatakan jumlah barang, bahan bakar, lama pengerjaan yang selalu bernilai non-negative. 𝑀𝑖𝑛 𝑓 𝒙 Fungsi tujuan 𝑑𝑠 𝑔 𝑥 ≤0 Kendala fungsional ℎ 𝑥 ≥0 𝑥 ≥0 Kendala non-negatif

Persoalan Optimasi dengan Kendala Non-Negatif Bentuk Umum Dalam bentuk umum persoalan optimisasi dapat ditulis, 𝑀𝑖𝑛 𝑓 𝒙 Fungsi tujuan 𝑑𝑠 𝑔 𝑥 ≤0 Kendala fungsional ℎ 𝑥 =0 − 𝑥 ≤0 Kendala non-negatif *notes ℎ( 𝑥 )  menyatakan kendala persamaan 𝑔( 𝑥 )  menyatakan kendala pertidaksamaan

Persoalan Optimasi dengan Kendala Non-Negatif Kita dapati fungsi lagrange, 𝐿 𝑥 , 𝜆 , 𝜇 ,𝑣 =𝑓 𝑥 + 𝜆𝑔 𝑥 + 𝜇ℎ 𝑥 − 𝑣𝑥 Untuk mendapatkan titik optimum, harus memenuhi syarat perlu Kuhn- Tucker 𝛻𝑓+ 𝜆𝛻𝑔+ 𝜇𝛻ℎ −𝑣=0 𝑔 𝑥 ≤0 ℎ 𝑥 =0 𝑥 ≥0 𝜆𝑔 𝑥 =0 𝜆≥0 𝑣𝑥=0 𝑣 ≥0

Persoalan Optimasi dengan Kendala Non-Negatif Penyederhanaan Syarat Perlu Maka, syarat perlu Kuhn-Tuckernya dapat disederhanakan menjadi, 1. 𝑥(𝛻𝑓+ 𝜆𝛻𝑔+ 𝜇𝛻ℎ)=0 2. 𝛻𝑓+ 𝜆𝛻𝑔+ 𝜇𝛻ℎ ≥ 0 3. 𝑔 𝑥 ≤0 𝛻𝑓+ 𝜆𝛻𝑔+ 𝜇𝛻ℎ −𝑣=0  dari syarat perlu nomor satu 𝛻𝑓+ 𝜆𝛻𝑔+ 𝜇𝛻ℎ =𝑣  disubtitusikan ke syarat nomor 7 dan 8 ℎ 𝑥 =0 𝜆𝑔 𝑥 =0 𝜆≥0

Persoalan Optimasi dengan Kendala Non-Negatif Contoh 𝑀𝑖𝑛 − 2 𝑥 1 − 𝑥 2 𝑑𝑠 𝑥 1 + 𝑥 2 =2 𝑥 1 ≥0 𝑥 2 ≥0 Syarat Perlu 1. 𝑥 𝛻𝑓+𝜆𝛻𝑔+ 𝜇𝛻ℎ =0 −2 −1 + 𝜇 1 1 𝑥 1 𝑥 2 =0 −2+ 𝜇 𝑥 1 =0 −1+ 𝜇 𝑥 2 =0 2. −2+ 𝜇 ≥0 −1+ 𝜇 ≥0 3. 𝑥 1 + 𝑥 2 =2 4. 𝑥 1 ≥0 𝑥 2 ≥0

Persoalan Optimasi dengan Kendala Non-Negatif Penyelesaian Kemungkinan 1 ( 𝑥 1 >0 ; 𝑥 2 >0) (1) −2+ 𝜇=0 → 𝜇=2 −1+ 𝜇=0 → 𝜇=1 Kemungkinan 2 ( 𝑥 1 >0 ; 𝑥 2 =0) (3) 𝑥 1 +0=2 → 𝑥 1 =2 (2a) −2+ 𝜇=0 → 𝜇=2 (2) −2+ 𝜇=0 ≥0 −1+ 𝜇=1 ≥0 tidak memenuhi (ada dua nilai 𝜇 yang berbeda) memenuhi

Persoalan Optimasi dengan Kendala Non-Negatif Kemungkinan 3 ( 𝑥 1 =0 ; 𝑥 2 >0) (3) 0+ 𝑥 2 =2 → 𝑥 2 =2 (2b) −1+ 𝜇=0 → 𝜇=1 (2) −2+ 𝜇=−1 <0 Kemungkinan 4 ( 𝑥 1 =0 ; 𝑥 2 =0) (3) 0+0 ≠2 Sehingga didapatkan 𝑥 ∗ = 2 0 dengan 𝜇=2 tidak memenuhi tidak memenuhi

Tugas 3 Buat sebuah persoalan optimisasi yang melibatkan dua variable, fungsi tujuan orde dua, satu kendala persamaan orde dua, dan satu kendala pertidaksamaan orde satu. Dengan menggunakan psedo code untuk algoritma optimisasi yang anda buat, tentukan penyelesaian analitis dari persoalan tersebut Tunjukkan bahwa syarat keoptimalan Kuhn Tucker terpenuhi Gambarkan (menggunakan komputer) kontur, daerah kelayakan, dan vektor gradien untuk menunjukkan bahwa titik optimal yang diperoleh memenuhi semua syarat perlu Buat sebuah persoalan optimisasi tanpa kendala dengan dua variable dan fungsi tujuan orde tiga yang memiliki nilai minimum dan maksimum. Ulangi pertanyaan a, b, c pada soal nomer 1. Buat sebuah soal optimasi yang melibatkan tiga variable orde dua, satu kendala persamaan orde satu, dan satu kendala pertidaksamaan orde satu. Ulangi pertanyaan a dan b pada soal nomer 1.