Ruang Euclides dan Ruang Vektor 1

Sub Pokok Bahasan Ruang Euclides Ruang Vektor Umum Subruang

Ruang Euclides orde n Operasi-Operasi pada ruang vektor Euclides: Penjumlahan Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k) Perkalian Titik (Euclidean inner product) Panjang vektor didefinisikan oleh : Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh :

Contoh : Diketahui dan Tentukan panjang vektor dan jarak antara kedua vektor tersebut Jawab: Panjang vektor : Jarak kedua vektor

Ruang Vektor Umum Misalkan dan k, l Riil V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma : 1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan. Untuk setiap 2. 3. 4. Terdapat sehingga untuk setiap berlaku 5. Untuk setiap terdapat sehingga

6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar 6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar. Untuk setiap dan k  Riil maka 7. 8. 9. 10.

Notasi : Rn (Ruang Euclides orde n) Contoh : 1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar (operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar). Notasi : Rn (Ruang Euclides orde n) R : Bilangan real R2 : Vektor di bidang R3 : Vektor di ruang tiga dimensi 2. Himpunan matriks berukuran m x n dengan operasi standar (penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar), Notasi : Mmxn (Ruang Matriks mxn) 3. Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar. Notasi : Pn (Ruang Polinom orde n)

Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah ruang vektor V Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah ruang vektor V. W dinamakan subruang (subspace) V jika W juga merupakan ruang vektor yang tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Syarat W disebut subruang dari V adalah : 1. W  { } 2. W  V 3. Jika maka 4. Jika dan k  Riil maka

Contoh 1 Tunjukkan bahwa W : himpunan titik-titik R2 dengan ordinat nol adalah sub ruang dari ruang vektor R2 Jawab W = {(x,0) | x R} 1. Titik (0,0)  W W ≠ { } 2. Jelas bahwa W  R2 3. u=( 𝑥 1 ,0),v=( 𝑥 2 ,0) W , 𝑥 1 , 𝑥 2  R sehingga u+v = ( 𝑥 1 ,0)+( 𝑥 2 ,0)=( 𝑥 1 + 𝑥 2 ,0)  W 4. k u = k( 𝑥 1 ,0)= ( 𝑘𝑥 1 ,𝑘0)=( 𝑘𝑥 1 ,0)  W Maka, W sub ruang di R2

Contoh 2 Apakah W sub ruang dari ruang vektor R3 jika W didefinisikan sebagai {(a,b,c) dimana a.b.c = 0} Jawab W = {(a,b,c) dimana a.b.c = 0, a,b,c  R} Vektor (1,2,0)  W W ≠ { } dan W  R3 Misalkan a = (0,1,2), b = (2,1,0) adalah vector di W c = a + b = (2,2,2) W bukan sub ruang di R3 c bukan vector di W karena 2.2.2 = 8 ≠ 0 * Jika c di W, kita tidak dapat membuat kesimpulan bahwa W sub ruang dari R3

Contoh 3: Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semua matriks orde 2x2 dimana setiap unsur diagonalnya adalah nol merupakan subruang dari ruang vektor matriks 2x2 Jawab : 2. Jelas bahwa W  M2x2 3. Ambil sembarang matriks A, B  W Tulis dan

Perhatikan bahwa : Ini menunjukan bahwa 4 Perhatikan bahwa : Ini menunjukan bahwa 4. Ambil sembarang matriks A  W dan k  Riil, maka Jadi, W merupakan Subruang dari M2x2.

Latihan Ruang Vektor dan Subruang Anggap u = (-3, 2, 1, 0), v= (4, 7, -3, 2), dan w = (5, -2, 8, 1). Cari: a. v-w b. 2u + 7v c. 6(u-3v) d. –v-w 2. Buktikan bahwa himpunan semua matriks 2x2 berbentuk dengan penjumlahan dan perkalian skalar matriks merupakan ruang vektor atau bukan! 3. Buktikan bahwa himpunan semua pasangan tiga bilangan real (x, y, z) dengan operasi dan Merupakan ruang vektor atau bukan!

KOMBINASI LINEAR DAN MEMBANGUN

Sebuah vektor dinamakan kombinasi linear dari vektor-vektor jika vektor-vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk : dimana k1, k2, …, kn adalah skalar riil.

Contoh Misal dan adalah vektor-vektor di R3. Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari Vektor-vektor di atas

Jawab : a. Tulis akan diperiksa apakah ada k1, k2, sehingga kesamaan tersebut dipenuhi. Ini dapat ditulis menjadi:

Dengan demikian, k1 = 1 dan k2 = 2 dengan OBE, diperoleh: Dengan demikian, k1 = 1 dan k2 = 2 merupakan kombinasi linear dari vektor dan atau

b. Tulis : ini dapat ditulis menjadi:

dengan OBE dapat kita peroleh : Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa SPL tersebut adalah tidak konsisten (tidak mempunyai solusi). Jadi, tidak ada nilai k1 dan k2 yang memenuhi b tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari u dan v

Dengan memilih k1 = 0 dan k2 = 0, maka dapat ditulis artinya vektor nol merupakan kombinasi linear dari vektor apapun.

LATIHAN KOMBINASI LINEAR 1Diketahui Tunjukkan bahwa 𝑠 kombinasi linear dari 𝑢 , 𝑣 dan 𝑤

2. Nyatakanlah matriks sebagai kombinasi linear dari matriks berikut : , dan ,

Definisi membangun/Merentang Himpunan vektor dikatakan membangun suatu ruang vektor V jika setiap vektor pada V selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di S. Contoh : Tentukan apakah = (1, 1, 2), = (1, 0, 1), dan membangun 𝑅 3 ??? = (2, 1, 3)

Ambil sembarang vektor di R3 Jawab : Ambil sembarang vektor di R3 misalkan . Tulis : . Sehingga dapat ditulis dalam bentuk :

Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear SPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten) Dengan OBE diperoleh : Agar SPL itu konsisten haruslah u3 – u2 – u1 = 0 Ini kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang (unsur-unsurnya bebas, tak bersyarat) Dengan demikian, vektor-vektor tersebut tidak membangun R3

Latihan Membangun Periksa, apakah himpunan A = {6 – x2 , 6 + x + 4x2 } membangun polinom orde 2 !

Himpunan Bebas Linear dan Bergantung Linear

Misalkan adalah himpunan vektor diruang vektor V S dikatakan bebas linear (linearly independent) JIKA SPL homogen : hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni Jika solusinya tidak tunggal, maka S kita namakan himpunan tak bebas linear (Bergantung linear / linearly dependent)

Apakah saling bebas linear di R3 Contoh : Diketahui dan Apakah saling bebas linear di R3 Jawab : Tulis Sehingga diperoleh sistem persamaan

dengan demikian diperoleh solusi tunggal yaitu : k1 = 0, k2 = 0, dan k3 = 0. Ini berarti 𝑢 , 𝑣 dan 𝑤 saling bebas linear.

Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear R3 Jawab : Tulis : Contoh : Misalkan , , Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear R3 Jawab : Tulis : atau

dengan OBE diperoleh : Ini menunjukan bahwa k1, k2, k3 merupakan solusi tak hingga banyak Jadi adalah vektor-vektor yang bergantung linear.

Latihan Bebas Linear dan Bergantung Linear 1. Buktikan bahwa vektor-vektor berikut bebas linear atau bergantung linear: a. u= (-1, 2, 4), v= (5,-10,-20) dalam R3 b. u= (-3,0,4), v= (5, -1,2), w= (1,1,3) dalam R3 2. Periksa, apakah himpunan berikut bebas linear ! {6 – x2 , 6 + x + 4x2 } {1 + 3x + 3x2, x + 4x2, 5 + 6x + 3x2, 7 + 2x – x2

BASIS DAN DIMENSI

Definisi Basis Jika V adalah sembarang ruang vektor dan S = { ū1, ū2, … , ūn } merupakan himpunan berhingga dari vektor-vektor di V, maka S dinamakan basis bagi V jika kedua syarat berikut dipenuhi : S membangun V S bebas linear

Basis dari suatu ruang vektor tidak harus tunggal tetapi bisa lebih dari satu. Ada dua macam basis yang kita kenal yaitu basis standar dan basis tidak standar.

Definisi Dimensi Dimensi suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, yang dinyatakan dengan dim(V), didefinisikan sebagi jumlah vektor dalam suatu basis untuk V. Disamping itu kita mendefinisikan ruang vektor nol mempunyai dimensi nol. Contoh, dim(R3)=3, dim P2=3, dan dim M22=4

Teorema Jika A adalah suatu matriks nxn, dan jika adalah perkalian dengan A, maka pernyataan berikut ekuivalen: A bisa dibalik/A memiliki invers Ax=0 hanya mempunyai penyelesaian trivial Bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah In A dapat dinyatakan sebagai suatu hasil kali matriks-matriks dasar Ax=b konsisten untuk setiap matriks b nx1 Ax=b tepat mempunyai satu penyelesaian untuk setiap matriks b nx1 Det (A) ≠ 0 Daerah hasil adalah adalah satu-satu

Contoh 1: Anggap tunjukkan bahwa himpunan 𝑆= 𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 adalah suatu basis untuk R3. Penyelesaian 1) S bebas secara linear, harus ditunjukkan satu- satunya penyelesaian dari: adalah 2) S membangun R3, harus ditunjukkan bahwa sembarang vektor dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear

Dari syarat (2) diperoleh persamaan: Dari syarat (1) diperoleh persamaan: Berdasarkan teorema, untuk membuktikan bahwa S bebas linear dan merentang dengan menunjukkan bahwa determinan matriks koefisien tidak nol. Sehingga S merupakan suatu basis untuk R3

Contoh 2: Andaikan ruang 𝑉= 𝑢 , 𝑣, 𝑤 , 𝑠 , dimana Cari basis dan dimensi dari ruang 𝑉 Gunakan matriks dan OBE : Basis dim⁡(𝑉)=2

Perhatikan satu utama terdapat pada kolom 1 dan 2 saja sehingga basis 𝑉 adalah

Untuk 𝑅 𝑛 ; dengan adalah basis dari 𝑅 𝑛 , dan 𝑑𝑖𝑚 𝑅 𝑛 =𝑛. Basis 𝑒 1 , 𝑒 2 ,⋯, 𝑒 𝑛 disebut basis natural atau basis standard. Berdasarkan hal ini, basis standard 𝑅 2 adalah 𝑑𝑖𝑚 𝑅 2 =2

Cari basis dan dimensi dari ruang 𝑉= 𝑢 , 𝑣 , 𝑤 ; jika Latihan Basis dan Dimensi Cari basis dan dimensi dari ruang 𝑉= 𝑢 , 𝑣 , 𝑤 ; jika 1. 2.

3. Periksa, apakah himpunan berikut merupakan basis bagi polinom orde 2 (P2) {4 + 6x + x2, – 1 + 4x + 2x2, 5 + 2x – x2} {– 4 + x + 3x2, 6 + 5x + 2x2, 8 + 4x + x2}

Teorema Himpunan 𝑢 1 , 𝑢 2 ,⋯ 𝑢 𝑛 yang bebas linear dari ruang vektor 𝑉 berdimensi 𝑛 adalah sistem pembentuk bagi ruang vektor 𝑉 Catatan : Setiap sistem pembentuk yang bebas linear adalah basis dari suatu ruang vektor; Setiap himpunan 𝑢 1 , 𝑢 2 ,⋯ 𝑢 𝑛 yang bebas linear adalah basis dari ruang vektor berdimensi 𝑛

Teorema Jika ruang vektor 𝑉 berdimensi 𝑛, maka setiap himpunan yang memuat 𝑛+1 anggota atau lebih adalah bergantung linear.

BASIS RUANG KOLOM DAN BASIS RUANG BARIS

Misalkan matriks : Vektor baris Vektor kolom dengan melakukan OBE diperoleh : Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE

matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu : basis ruang baris diperoleh dengan cara mentrans- poskan terlebih dahulu matriks A, lakukan OBE pada At, sehingga diperoleh :

Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki satu utama berseseuaian dengan matriks asal (A). Ini berarti, matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris : Dimensi basis ruang baris = ruang kolom dinamakan rank. Jadi rank dari matriks A adalah 2.

Latihan Basis Ruang Kolom dan Ruang Baris Tentukan basis ruang kolom dan ruang baris dari matriks