Bab Anuitas Aritmetrik dan Geometrik

Suasana aktif kelas…Bisa ?

Anuitas Aritmetik Anda bayangkan suatu anuitas akhir dengan jangka waktu 𝒏 periode, dimana pembayarannya dimulai sebesar 𝑷 dan bertambah sebesar 𝑸 setiap periode berikutnya. Ilustrasi : Putu meminjam uang sebesar 10 juta rupiah di LPD Sanur pada awal bulan Januari 2008, yang akan dilunasi dalam waktu 12 bulan. Kemudian dia mulai membayar pinjamannya pada akhir bulan januari 2008 sebesar P rupiah, satu bulan berikutnya Putu membayar sebesar (P+Q) rupiah, satu bulan berikutnya lagi membayar sebesar (P+2Q) rupiah dan seterusnya hingga akhir bulan Desember 2008.

Diagram waktu dari anuitas aritmetik ini adalah sebagai berikut : P P+Q P+2Q ... P+(n-2)Q P+(n-1)Q 0 1 2 3 ... n-1 n 𝑷>𝟎 𝑸>𝟎 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝑸<𝟎

Present Value 𝑃+(𝑛−2)𝑄 V n−1 𝑃+2𝑄 V 3 𝑃+𝑄 V 2 𝑃𝑉 P P+Q P+2Q ... P+(n-2)Q P+(n-1)Q 0 1 2 3 ... n-1 n 𝑃+(𝑛−2)𝑄 V n−1 𝑃+2𝑄 V 3 𝑃+𝑄 V 2

Nilai Akumulasi P P+Q P+2Q ... P+(n-2)Q P+(n-1)Q 0 1 2 3 ... n-1 n 𝑃 1+𝑖 𝑛−1 P P+Q P+2Q ... P+(n-2)Q P+(n-1)Q 0 1 2 3 ... n-1 n 𝑃+𝑄 1+𝑖 𝑛−2 𝑃+2𝑄 1+𝑖 𝑛−3 𝑃+ 𝑛−2 𝑄 1+𝑖

Nilai Sekarang Anuitas Aritmetik Nilai Akumulasi Anuitas Aritmetik

Contoh Soal Suatu anuitas akhir akan membayar 2 juta pada tahun pertama, 4 juta pada tahun kedua, 6 juta pada tahun ketiga dan seterusnya sampai pembayaran terakhir 20 juta. Berapa harga anuitas tersebut jika diketahui i = 5% ?

Penyelesaian Dari soal dapat diketahui bahwa : Pembayaran pertama : P = 2 juta Beda pembayaran : Q = 2 juta Pembayaran terakhir : 20 juta Pertama, tentukan terlebih dahulu nilai n. Dari rumus deret aritmetik diperoleh : 20 = 2+(n-1)2 n -1= 9 n = 10

Penyelesaian Selanjutnya, present value dari anuitas increasing di atas adalah: diperoleh : 𝑃𝑉=2 [1− 1,05 −10 ] 0,05 +2 [1− 1,05 −10 ] 0,05 −10 1,05 −10 0,05 =15,443+63,304 =𝟕𝟖,𝟕𝟒𝟕 juta

Contoh Soal Anda menabung sebesar 1 juta rupiah pada tahun pertama, 4 juta pada tahun kedua, 7 juta pada tahun ketiga dan seterusnya sampai menabung 25 juta. Berapa jutakah uang tabungan anda sesaat setelah menabung 25 juta tersebut jika diketahui i = 5% ?

Penyelesaian Dari soal dapat diketahui bahwa : Pembayaran pertama : P = 1 juta Beda pembayaran : Q = 3 juta Pembayaran terakhir : 25 juta Pertama, tentukan terlebih dahulu nilai n. Dari rumus deret aritmetik diperoleh : 25 = 1+(n-1)3 n -1= 8 n = 9

Penyelesaian Selanjutnya, nilai akumulasi : diperoleh : 𝑆=1 [ 1,05 9 −1] 0,05 +3 [ 1,05 9 −1] 0,05 −9 0,05 =11,027+121,594=𝟏𝟑𝟐,𝟔𝟐 juta

Increasing Anuity

Contoh Soal Kamu menginvestasikan uang pada akhir tahun 2011 sebesar 1 juta rupiah, selanjutnya setiap akhir tahun kamu menginvestaskan uang 1 juta lebih banyak dari tahun sebelumnya hingga akhir tahun 2018. Berapa jutakah uang tabunganmu pada tahun baru 2019 jika diketahui i=7% ?

Decreasing Anuitas

Contoh Soal Pada awal tahun 2000 anda membeli suatu anuitas yang memberi pembayaran pada akhir tahun 2000 sebesar $10, selanjutnya setiap akhir tahun anda memperoleh uang 1 juta lebih sedikit dari tahun sebelumnya hingga akhirnya memperoleh uang $1. Berapakah harga anuitas tersebut jika diketahui i=10% ? Bagaimana jika ceritanya diganti dengan tabungan ? Berapa nilai akumulasiya ?

Penyelesaian Dari soal dapat diketahui bahwa : Pembayaran pertama : P = 10 juta Beda pembayaran : Q = 1 juta Jumlah periode : n = 10 Suku bunga : i = 10% (𝑫𝒂) 𝒏 = 𝒏− 𝒂 𝒏 𝑖 = 10− 1− 1,1 −10 0,1 0,1 =38,554

(𝐷𝑠) 𝑛 = 𝟏𝟎 𝟏,𝟏 𝟏𝟎 − 𝟏𝟓,𝟗𝟑𝟕 𝟎,𝟏 = 100 Bagaimana jika menabung 8 tahun secara menurun dimulai dari 8 juta, tingkat suku bunga 7%

Salsa meminjam uang Bank Arga dan dikenakan tingkat bunga efektif 5% Salsa meminjam uang Bank Arga dan dikenakan tingkat bunga efektif 5%. Cicilan dibayar selama 10 tahun, dengan pembayaran menurun 20, 19, ...11 juta. Berapakah utang salsa ke Bank Arga ? Decreasing annuity : P = 20, Q = -1, n = 10

Karena decreasingnya hanya sampai 10 saja, tidak sampai 1 Gunakan rumus Jawab : P = 20, Q = -1 (Da) = 𝑃 𝑎 𝑛 +𝑄 𝑎 𝑛 −𝑛 𝑣 𝑛 𝑖 = 20. 7,721735 – (7,721-6,139)/0,05 = 123. 783.000 Jangan menggunakan rumus

Anuitas Geometrik

Soal A10-PAI 2013 Tina berencana membayar pinjaman 10.000 dengan cara mengangsur 15 kali pembayaran tahunan dengan tingkat bunga efektif 9%. Tina menginginkan pembayaran secara menurun 13% setiap tahunnya dengan pembayaran pertama sebesar X. Hitunglah nilai X.

Nilai sekarangnya adalah Jawab : Nilai sekarangnya adalah A = X(v+(1-0,13)v2+(1-0,13)2v3+...+(1-0,13)14v15) X (1-0,13)X (1-0,13)2X (1-0,13)n-1 X 0 1 2 3 ... n-1 n

Akhirnya diperoleh Besarnya cicilan pertama adalah X = 2.277,42

Anuitas Kontinu. Berapakah nilai δ, jika dikiketahui Jawab : (1-vn)/ δ = 4.  (1+i) = 1/(1-4 δ) (1+i)

General Varying Annuities