SRI SULASMIYATI, S.SOS., MAP BARISAN DAN DERET SRI SULASMIYATI, S.SOS., MAP

PENERAPAN TEORI BARISAN DAN DERET Kaidah barisan dan deret dapat digunakan untuk memudahkan penyelesaian perhitungan, misalnya bunga bank, kenaikan produksi, dan laba/rugi suatu usaha. Untuk menyelesaikan persoalan tersebut, kita harus dapat membedakan apakah persoalan tersebut termasuk barisan aritmatika, barisan geometri, deret aritmatika ataupun deret geometri. Kemudian, kita dapat menyelesaikan persoalan tersebut menggunakan rumus-rumus yang berlaku.

Barisan Aritmatika Sn = a + (n – 1) b Dimana Sn = suku ke-n a = suku pertama b = beda yang sama n = banyaknya suku

Deret Aritmatika Dn = (1/2) n(2a + (n – 1)b) Keterangan: Dn = jumlah n suku pertama a = suku pertama b = beda Un = suku ke-n n = banyak suku Dn = (1/2) n(a + Sn ) Dn = (1/2) n(2a + (n – 1)b)

Contoh 1: Ketika awal bekerja, seorang karyawan sebuah perusahaan digaji Rp700.000,00 per bulan. Setahun berikutnya, gaji per bulannya akan naik sebesar Rp125.000,00. Demikian seterusnya untuk tahun-tahun berikutnya. Berapa gaji karyawan itu per bulan untuk masa kerjanya sampai pada tahun ke-9? Jawab: Kasus ini adalah aplikasi dari barisan aritmetika. Suku awal a = 700.000 Beda b = 125.000 n = 9

Jadi suku ke-9, dapat ditentukan sebagai berikut. Sn = a + (n – 1)b S9 = 700.000 + (9 – 1) 125.000 = 700.000 + 1.000.000 = 1.700.000 Jadi, gaji per bulan karyawan itu pada tahun ke-9 adalah Rp1.700.000,00.

Barisan Geometri Sehingga bentuk umum dari barisan geometri untuk suku ke-n adalah Sn = a1rn-1 Di mana Sn = suku ke – n a1 = suku pertama r = rasio yang tetap n = banyaknya suku

Rumus Deret Geometri  

Perkembangan Usaha Dalam Ekonomi Perkembangan usaha yang dimaksud adalah sejauh usaha‐usaha yang pertumbuhannya konstan dari waktu ke waktu mengikuti perubahan baris hitung

Contoh 2: Setiap awal bulan Nyoman menabung Rp50.000,00 di suatu bank yang memberikan bunga 1% per bulan. Pada tiap akhir bulan, bunganya ditambahkan pada tabungannya. Berapakah uang Nyoman di bank itu pada akhir tahun ke-1 jika ia tidak pernah mengambil tabungannya sampai akhir tahun ke-1? Jawab: Misalkan tabungan awal adalah Rp50.000,00. Pada akhir bulan ke-1 Jumlah uang Nyoman adalah sebagai berikut ; Bunga yang ia peroleh = 50.000 × 1% = 50.000 × 0,01 Jumlah uang Nyoman = 50.000 + (50.000 × 0,01) = 50.000(1 + 0,01) = 50.000(1,01)

Pada akhir bulan ke-2 Uang yang sudah dimasukkan sejak bulan ke-1 adalah jumlah uang pada akhir bulan ke-1 ditambah bunga sehingga diperoleh ; = 50.000(1,01) + (50.000(1,01) × 1%) = 50.000(1,01)(1 + 0,01) = 50.000(1,01) Uang yang dimasukkan pada awal bulan ke-2 menjadi =50.000 + (50.000 × 1%) = 50.000(1 + 0,01) Jadi, jumlah uang Nyoman pada akhir bulan ke-2 adalah 50.000(1,01) + 50.000(1,01) .

Pada akhir bulan ke-3 Uang yang sudah dimasukkan sejak bulan ke-1 adalah 50.000(1,01) + (50.000(1,01) × 1%) = 50.000(1,01) (1 + 0,01) = 50.000(1,01) (1,01) = 50.000(1,01) Uang yang dimasukkan pada awal bulan ke-2 menjadi 50.000(1,01) + (50.000(1,01) × 1%) = 50.000(1,01)(1 + 0,01) = 50.000(1,01)(1,01) Uang yang sudah dimasukkan pada awal bulan ke-3 menjadi 50.000 + (50.000 × 1%) = 50.000(1 + 1%)

Jadi, jumlah uang Nyoman pada akhir bulan ke-3 adalah 50 Demikian seterusnya, sampai akhir bulan ke-12. Dari hasil perhitungan sampai bulan ke-3, dapat disimpulkan bahwa jumlah uang tabungan Nyoman adalah 50.000(1,01) + 50.000(1,01)2 + 50.000(1,01)3 + ... + 50.000(1,01)12 = 50.000{1,01 + (1,01)2 + (1,01)3 + ... + (1,01)12} Deret 1,01 + (1,01)2 + ... + (1,01)12 merupakan deret geometridengan a = 1,01, r = 1,01, dan n = 12. S =

= = 12,83 Oleh karena itu, jumlah uang Nyoman setelah 1 tahun adalah 50.000 {1,01 + (1,01)2 + ... + (1,01)12} = 50.000 × 12,83 = 641.500 Jadi, jumlah uang Nyoman setelah 1 tahun adalah Rp641.500,00.

PENERAPAN TEORI BARISAN DAN DERET

Bunga Sederhana dan Potongan Sederhana Bunga merupakan suatu balas jasa yang sederhana dibayarkan bilamana kita menggunakan uang. Jika kita meminjam uang dari bank maka kita membayar bunga kepada pihak bank tersebut Jika kita menginvestasikan uang berupa tabungan atau deposito di bank maka bank membayar bunga kepada kita. Jumlah uang yang dipinjamkan atau diinvestasikan di bank disebut modal awal atau pinjaman pokok (principal)

Bunga dilihat dari satu pihak merupakan pendapatan tetapi di lain pihak merupakan biaya. Di pihak yang meminjamkan merupakan pendapatan, sedang di pihak yang meminjam merupakan biaya

Misalkan kita berinvestasi p rupiah dengan suku bunga tahunan i, maka pendapatan bunga pada akhir tahun pertama adalah Pi Sehingga nilai akumulasi tahun pertama adalah P + Pi Pada akhir tahun kedua adalah P+P(2i) Pada akhir tahun ketiga adalah P + P(3i) Demikian seterusnya sampai pada akhir tahun ke n nilai akumulasinya adalah P+P(ni) Jadi pendapatan hanya didapatkan dari modal awal saja setiap akhir tahun

Nilai dari pendapatan bunga ini tetap setiap tahunnya. Pendapatan bunga menurut metode ini dinamakan bunga sederhana dan dapat dinyatakan dengan rumus berikut: I = Pin Dengan : I = Jumlah pendapatan bunga P = Pinjaman pokok atau jumlah investasi i = tingkat bunga tahunan n = jumlah tahun

Nilai dari modal awal pada akhir periode ke n (Fn )adalah jumlah dari modal awal P ditambah pendapatan bunga selama periode waktu ke –n Fn = P + Pin

Contoh Hitunglah pendapatan bunga sederhana dan berapa nilai yang terakumulasi di masa datang dari jumlah uang sebesar Rp. 12.000.000 yang diinvestasikan di Bank selama 4 tahun dengan bunga 15% per tahun Jawab Diketahui : P = Rp. 12.000.000; n = 4; I = 0.15 I = Pin I = Rp. 12.000.000 (4)(0.15) = Rp. 7.200.000 Nilai yang terakumulasi di masa datang pada tahun ke‐ 4 adalah 7.200.000

Jadi Nilai dari modal awal pada akhir periode ke 4 (F4 ) adalah Fn = P + Pin = Rp. 12.000.000 + 7.200.000 = Rp. 19.200.000

Nilai sekarang dengan bunga majemuk adalah nilai sekarang dari suatu nilai yg akan diterima atau dibayar di masa mendatang. Proses mencari present value disebut sbg proses melakukan diskonto (discounting). Discounting adalah proses menghitung nilai sekarang dari sejumlah uang yg akan diterima atau dibayar di masa mendatang. Formula rumus:

Contoh Elly merencanakan uang tabungannya pada tahun ketiga akan berjumlah Rp. 30.000.000 dengan bunga yang dimajemukkan. Tingkat bunga 15% per tahun. Berapa jumlah uang tabungan Elly saat ini?

penyelesaian Diketahui: Jadi, uang yang ditabung Elly saat ini sebesar Rp. 19.725.486,97 supaya 3 thn y.a.d uangnya menjadi Rp.30.000.000

SOAL Hitunglah nilai dari masa depan yang dibungakan secara sederhana (simple interest) jika: a. P=Rp.2juta n=8bln i=5%/thn b. P=Rp.5juta n=18bulan i=6%/thn 2. Hitung nilai masa datang dari bunga sederhana dan pendapatan bunganya jika: a. P=Rp.1.500.000 n=6bln i=12% b. P=Rp.5juta n=3bln i=10%

3. Berapa jumlah uang yang harus didepositokan sekarang jika: a 3. Berapa jumlah uang yang harus didepositokan sekarang jika: a. 15 thn y.a.d mencapai Rp.10juta dengan bunga majemuk 8%/thn b. 10 thn y.a.d mencapai Rp.10juta dengan bnga majemuk 5% 4. Jika uang sebanyak Rp.2juta ditabung di bank dengan bunga majemuk berapa jml uang tsb di masa y.a.d jika a. ditabung selama 5thn dengan bunga 6% b. ditabung selama 6thn dengan bunga 5%