Penyelidikan Operasi Pemrograman Dinamik Deterministik

Materi Pengertian Umum Aplikasi Lintasan Terpendek Aplikasi Alokasi Sumberdaya Aplikasi Persoalan Pengepakan Pemrograman Dinamik dengan Faktor Diskon Pemrograman Dinamik Ruang Kontinyu

Pemrograman Dinamik Pengertian Umum Pemrograman Dinamik adalah Teknik Optimisasi untuk permasalahan yang dapat dibagi menjadi beberapa tahap (stage), dimana pada tiap tahap harus diambil suatu keputusan (decision) yang tergantung pada kedudukannya pada tahap ini dan keputusan tersebut akan menentukan keadaan/kedudukan (state) nya pada tahap berikutnya.

Pemrograman Dinamik Pengertian Umum Memiliki dua macam variabel yaitu : Variabel Keputusan 𝑋 𝑖 : keputusan yang diambil pada tahap 𝑖 𝑖 = 1, 2, 3, …, 𝑁 Variabel Keadaan 𝑆 𝑖 : kedudukan pada saat memasuki tahap 𝑖 Dimana 𝑁 menyatakan banyaknya tahap atau disebut Horizon. Karena keputusan yang diambil pada tiap tahap tergantung pada keadaannya pada tahap tersebut, pada tahap tersebut akan diperoleh hasil yang nilainya merupakan fungsi dari 𝑋 𝑖 dan 𝑆 𝑖 .

Pemrograman Dinamik Pengertian Umum 𝐶 𝑖 𝑋 𝑖 , 𝑆 𝑖 𝐶 𝑖 𝑋 𝑖 , 𝑆 𝑖 Hasil yang diperoleh dari tahap 𝑖 karena mengambil keputusan 𝑋 𝑖 pada saat berada pada keadaan 𝑆 𝑖 𝑖= 1, 2, 3, …, 𝑁 syarat batas yang nilainya diketahui 𝑆 1 𝑑𝑎𝑛 𝑆 𝑁+1 𝑆 adalah Ruang Keadaan (State Space) yaitu himpunan semua nilai yang dapat dimiliki oleh 𝑆 1 , 𝑆 2 , …. 𝑆 𝑁 Persoalannya adalah menentukan nilai 𝑋 𝑖 sedemikian hingga hasil total dari semua tahap adalah optimum.

Pemrograman Dinamik Pengertian Umum Dapat diilustrasikan sebagai berikut: 𝑋 1 𝑋 2 𝑋 𝑖 𝑋 𝑖+1 𝑋 𝑁 𝑆 1 𝑆 2 𝑆 𝑖 𝑆 𝑁 𝑆 𝑖+1 𝑆 𝑁+1 𝐶 1 ( 𝑋 1 , 𝑆 1 ) 𝐶 2 ( 𝑋 2 , 𝑆 2 ) 𝐶 𝑖 ( 𝑋 𝑖 , 𝑆 𝑖 ) 𝐶 𝑖+1 ( 𝑋 𝑖+1 , 𝑆 𝑖+1 ) 𝐶 𝑁 ( 𝑋 𝑁 , 𝑆 𝑁 ) 𝑓 𝑖 ( 𝑆 𝑖 ) 𝑓 𝑖+1 ( 𝑆 𝑖+1 ) diketahui

Pemrograman Dinamik Pengertian Umum Definisikan 𝑓 𝑖 𝑆 𝑖 𝑓 𝑖 𝑆 𝑖 Hasil total yang optimal dari tahap-tahap 𝑖, 𝑖+1, …, 𝑁 bila pada tahap 𝑖 berada pada keadaan 𝑆 𝑖 . Didapat, 𝑓 𝑖 𝑆 𝑖 =𝑜𝑝𝑡 𝐶 𝑖 𝑋 𝑖 , 𝑆 𝑖 + 𝑓 𝑖+1 𝑆 𝑖+1 𝑋 𝑖 yang merupakan persamaan rekursif mundur mulai dari 𝑖=𝑁 sampai dengan 𝑖=1 Yang dicari adalah 𝑋 1 , 𝑋 2 ,…, 𝑋 𝑁 Hasil akhirnya adalah 𝑓 1 ( 𝑆 1 ) Syarat awal adalah 𝑓 𝑁+1 𝑆 𝑁+1 =0 Yang diketahui adalah 𝑆 1 , 𝑆 𝑁+1 , 𝐶 𝑖 𝑋 𝑖 , 𝑆 𝑖 untuk 𝑖=1, 2,.., N

Pemrograman Dinamik Pengertian Umum Formulasi pemrograman dinamik adalah menentukan variabel dan persamaan sebagai berikut: Tahap (𝑖) : definisi tahap-tahap pengerjaan program Horizon (𝑁) : total tahap yang harus dilalui dalam penyelesaian masalah State (𝑆𝑖) : keadaan pada tahap ke 𝑖 Decision (𝑋𝑖) : keputusan yang diambil pada tahap ke 𝑖 Syarat batas : keadaan pada tahap awal (𝑆1) dan tahap akhir ( 𝑆 𝑁+1 ) Fungsi Hasil (𝐶𝑖(𝑋𝑖,𝑆𝑖)) : hasil yang diperoleh dari tahap i karena mengambil keputusan 𝑋𝑖 pada saat berada pada keadaan 𝑆𝑖 Transformasi State : hubungan antara state dan keputusan pada tahap i terhadap state pada tahap berikutnya 𝑆 𝑖+1 = 𝑓(𝑆𝑖,𝑋𝑖 ) Fungsi Rekursif : 𝑓 𝑖 𝑆 𝑖 =𝑜𝑝𝑡{ 𝐶 𝑖 𝑋 𝑖 , 𝑆 𝑖 + 𝑓 𝑖+1 𝑆 𝑖+1 } persamaan rekursif mundur mulai dari 𝑖 = 𝑁 sampai 𝑖 = 1 Syarat awal : nilai fungsi rekursif ke 𝑁+1 adalah 0 𝑓 𝑁+1 𝑆 𝑁+1 =0 Ruang Keadaan : Himpunan nilai 𝑆 𝑖 Penyelesaian : 𝑓 1 𝑆 1

Pemrograman Dinamik Lintasan Terpendek Salah satu aplikasi pemrograman dinamik adalah mencari lintasan terpendek/terpanjang pada suatu jaringan. Tentukan lintasan terpendek dari node 1 ke node 9 dari graph dibawah ini. Nilai pada tiap cabang merupakan jarak antar node yang membentuk cabang tersebut.

Pemrograman Dinamik Lintasan Terpendek Bagi perjalanan dari node awal, yaitu node 1, ke node akhir, yaitu node 9, menjadi beberapa tahap perjalanan. Pada tiap tahap harus dibuat keputusan terkait arah perjalannya dari tahap tersebut ke tahap berikutnya. Keputusan ini tergantung pada keadaan atau posisi pada saat itu Tahap

Pemrograman Dinamik Lintasan Terpendek Formulasi Pemrograman Dinamik persoalan ini adalah sebagai berikut: Tahap : posisi kelompok node Horizon : Total ada 5 tahap kelompok node (N=5) State : Node-node pada tahap tertentu Variabel Keadaan 𝑆 𝑖 : node – node pada tahap 𝑖 Variabel keputusan 𝑋 𝑖 : arah perpindahan pada tahap 𝑖 ( gerak ke atas / bawah ) Fungsi Hasil 𝐶 𝑖 ( 𝑋 𝑖 ,𝑆 𝑖 ) : Jarak yang harus ditempuh karena pada tahap 𝑖 berada pada node 𝑆 𝑖 dan memutuskan untuk mengikuti arah 𝑋 𝑖 Transformasi State : Perpindahan ke node 𝑆 𝑖+1 dari node 𝑆 𝑖 karena keputusan 𝑋 𝑖 Syarat batas : 𝑆 1 =1, 𝑆 5 =9 Fungsi rekursif : 𝑓 𝑖 𝑆 𝑖 = min 𝐶 𝑖 𝑋 𝑖 , 𝑆 𝑖 + 𝑓 𝑖+1 𝑆 𝑖+1 Syarat awal : 𝑓 5 𝑆 5 =0 (jarak dari node 9 ke node 9) Penyelesaian : 𝑓 1 𝑆 1 Ruang Keadaan : {1,2…,9} 𝑥 𝑖

Pemrograman Dinamik Lintasan Terpendek TAHAP 4 𝐶 4 𝑋 4 , 𝑆 4 + 𝑓 5 𝑆 5 𝐶 4 𝑋 4 , 𝑆 4 + 𝑓 5 𝑆 5 𝑆 4 𝑋 4 𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ 𝑋 4 ∗ 𝑓 4 𝑆 4 7 − 2+0 2 8 4+0 4 TAHAP 3 𝐶 3 𝑋 3 , 𝑆 3 + 𝑓 4 𝑆 4 𝑆 3 𝑋 3 𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ 𝑋 3 ∗ 𝑓 3 𝑆 3 4 − 1+2 3 5 3+2 5+4 6 2+4

Pemrograman Dinamik Lintasan Terpendek TAHAP 2 𝐶 2 𝑋 2 , 𝑆 2 + 𝑓 3 𝑆 3 𝐶 2 𝑋 2 , 𝑆 2 + 𝑓 3 𝑆 3 𝑆 2 𝑋 2 𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ 𝑋 2 ∗ 𝑓 2 𝑆 2 2 6+3 3+5 8 3 4+5 7+6 9 TAHAP 1 𝐶 1 𝑋 1 , 𝑆 1 + 𝑓 2 𝑆 2 𝑆 1 𝑋 1 𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ 𝑋 1 ∗ 𝑓 1 𝑆 1 1 2+8 2+9 10 Lintasan Terpendek: 1 2 5 7 9 Dengan panjang lintasan = 10 bawah atas

Pemrograman Dinamik Alokasi Sumberdaya Seseorang memiliki 4 kios buah. Dia baru membeli 8 keranjang jeruk untuk ditempatkan di empat kiosnya. Tiap kios minimal harus dapat 1 keranjang. Keuntungan yang diperoleh dari tiap kios tergantung pada keranjang jeruk yang ditempatkan yang nilainya diberikan pada tabel berikut. Aplikasi pemrograman dinamik yang sering dijumpai adalah untuk optimisasi alokasi sumberdaya. 𝑲𝒆𝒓𝒂𝒏𝒋𝒂𝒏𝒈 𝑲𝒊𝒐𝒔 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 3 4 5 6 7 9 8 10 12 11 𝟓 14 Tentukan alokasi keranjang jeruk supaya keuntungan total dari 4 kios tersebut adalah maksimum.

Pemrograman Dinamik Alokasi Sumberdaya Untuk menunjukkan adanya tahapan penyelesaian, permasalahan ini dapat digambarkan dalam skema sebagai berikut 𝑋 1 𝑋 2 𝑋 3 𝑋 4 𝐶 1 𝐶 2 𝐶 3 𝐶 4 𝑆 1 𝑆 2 𝑆 3 𝑆 4 𝑆 5 Keranjang jeruk yang ditempatkan Keuntungan yang diperoleh Keranjang jeruk yang tersedia/tersisa Kios

Pemrograman Dinamik Alokasi Sumberdaya Formulasi Pemrograman Dinamik: 𝑇𝑎ℎ𝑎𝑝 : Kios 𝐻𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛 : N = 4 𝑆 𝑖 (𝑆𝑡𝑎𝑡𝑒) : keranjang jeruk yang masih tersisa untuk ditempatkan di kios 𝑖, 𝑖+1, …, 𝑁 𝑋 𝑖 (𝐾𝑒𝑝𝑢𝑡𝑢𝑠𝑎𝑛): banyaknya keranjang jeruk yang di tempatkan di kios 𝑖, 𝑖 = 1, 2, 3, 4 𝐶 𝑖 ( 𝑋 𝑖 , 𝑆 𝑖 ) : keuntungan yang diperoleh dari kios 𝑖 karena menempatkan sejumlah keranjang jeruk di kios 𝑖 dari sejumlah keranjang jeruk yang masih tersisa ( 𝑋 𝑖 dari 𝑆 𝑖 yang tersisa) ⟶ Fungsi hasil/biaya

Pemrograman Dinamik Alokasi Sumberdaya Formulasi Pemrograman Dinamik: 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠𝑖 𝑆𝑡𝑎𝑡𝑒 : 𝑆 𝑖+1 = 𝑆 𝑖 − 𝑋 𝑖 𝑆𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡 𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 : 𝑆 1 =8, 𝑆 5 =0 𝐹𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑟𝑒𝑘𝑢𝑟𝑠𝑖𝑓 : 𝑓 𝑖 𝑆 𝑖 keuntungan total maksimum yang dapat diperoleh dari kios 𝑖, 𝑖+1, …, 𝑁 𝑓 𝑖 𝑆 𝑖 = max 𝐶 𝑖 𝑋 𝑖 , 𝑆 𝑖 + 𝑓 𝑖+1 𝑆 𝑖+1 𝑆𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡 𝑎𝑤𝑎𝑙 : 𝑓 5 𝑆 5 = 𝑓 5 0 =0 initial condition Ruang Keadaan : S ={1,2,…8} 𝑃𝑒𝑛𝑦𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑎𝑛 : 𝑓 1 ∗ 𝑆 1 𝑥 𝑖

Pemrograman Dinamik Alokasi Sumberdaya TAHAP 4 𝐶 4 𝑋 4 , 𝑆 4 + 𝑓 5 𝑆 5 banyaknya keranjang yang di tempatkan 𝐶 4 𝑋 4 , 𝑆 4 + 𝑓 5 𝑆 5 𝑆 4 𝑋 4 1 2 3 4 5 𝑋 4 ∗ 𝑓 4 𝑆 4 3+0 − 7+0 7 10+0 10 11+0 11 keranjang yang masih tersisa untuk ditempat-kan Dari table keuntungan

Pemrograman Dinamik Alokasi Sumberdaya TAHAP 3 𝐶 3 𝑋 3 , 𝑆 3 + 𝑓 4 𝑆 4 𝐶 3 𝑋 3 , 𝑆 3 + 𝑓 4 𝑆 4 𝑆 3 𝑋 3 1 2 3 4 5 𝑋 3 ∗ 𝑓 3 𝑆 3 5+3 − 8 5+7 7+3 12 5+10 7+7 8+3 15 5+11 7+10 8+7 17 6 7+11 8+10 2.3 18

Pemrograman Dinamik Alokasi Sumberdaya TAHAP 2 𝐶 2 𝑋 2 , 𝑆 2 + 𝑓 3 𝑆 3 𝐶 2 𝑋 2 , 𝑆 2 + 𝑓 3 𝑆 3 𝑆 2 𝑋 2 1 2 3 4 5 𝑋 2 ∗ 𝑓 2 𝑆 2 4+8 − 12 4+12 7+8 16 4+15 7+12 9+8 1.2 19 6 4+17 7+15 9+12 10+8 22 7 4+18 7+17 9+15 10+12 2.3 24

Pemrograman Dinamik Alokasi Sumberdaya TAHAP 1 𝐶 1 𝑋 1 , 𝑆 1 + 𝑓 2 𝑆 2 𝐶 1 𝑋 1 , 𝑆 1 + 𝑓 2 𝑆 2 𝑆 1 𝑋 1 1 2 3 4 5 𝑋 1 ∗ 𝑓 1 𝑆 1 8 3+24 6+22 9+19 12+16 14+12 2,3,4 28 Alokasi Keranjang Jeruk 𝑲𝒊𝒐𝒔 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 Alternatif 1 Alternatif 2 Alternatif 3 − Alternatif 4

Pemrograman Dinamik Alokasi Sumberdaya Pertanyaan Tambahan (Analisis Sensitivitas) Salah satu keranjang rusak sehingga harus dikembalikan. Bagaimana alokasi optimalnya sekarang? Dapat menambah satu keranjang lagi dengan tambahan biaya = 3. Apakah sebaiknya diterima?

Pemrograman Dinamik Alokasi Sumberdaya Salah satu keranjang rusak sehingga harus dikembalikan. Bagaimana alokasi optimalnya sekarang?  𝑆 1 berubah dari 8 menjadi 7 𝐶 1 𝑋 1 , 𝑆 1 + 𝑓 2 𝑆 2 𝑆 1 𝑋 1 1 2 3 4 5 𝑋 1 ∗ 𝑓 1 𝑆 1 7 3+22 6+19 9+16 12+12 − 1 𝑜𝑟 2 𝑜𝑟 3 25

Pemrograman Dinamik Alokasi Sumberdaya Dapat menambah satu keranjang lagi dengan tambahan biaya = 2. Apakah sebaiknya diterima? 𝑪 𝟏 𝑿 𝟏 , 𝑺 𝟏 + 𝑓 2 𝑆 2 𝑆 1 𝑋 1 1 2 3 4 5 6 𝑋 1 ∗ 𝑓 1 𝑆 1 9 3+𝑥 6+24 9+22 12+19 14+16 𝑦+12 3 𝑜𝑟 4 31 𝑥 dan 𝑦 adalah nilai yang memerlukan informasi keuntungan yang diperoleh bila menempatkan 6 keranjang dalam 1 kios. Tanpa nilai itu, tetap dapat dihitung bahwa: 𝑓 1 𝑆 1 −2=31−2=29 Hasilnya lebih baik daripada dengan 8 keranjang. Jadi, sebaiknya diterima.

Pemrograman Dinamik Persoalan Pengepakan Permasalahan pengepakan yang pernah dibahas pada pemrograman linier biner akan diselesaikan dengan pemrograman dinamik: max 2 𝑥 1 +3 𝑥 2 +4 𝑥 3 +5 𝑥 4 +6 𝑥 5 𝑑𝑠 𝑥 1 +2 𝑥 2 +3 𝑥 3 +2 𝑥 4 +2 𝑥 5 ≤8 𝑥 𝑖 =0;1 manfaat berat Formulasi Pemrograman Dinamik: 𝑇𝑎ℎ𝑎𝑝 : Jenis Barang 𝐻𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛 : N = 5 𝑆 𝑖 (𝑆𝑡𝑎𝑡𝑒) : berat yang masih tersisa untuk ditempati jenis barang 𝑖, 𝑖+1, …, 𝑁 𝑋 𝑖 (𝐾𝑒𝑝𝑢𝑡𝑢𝑠𝑎𝑛) : jenis barang 𝑖 dibawa atau tidak, 𝑖 = 1, 2, 3, 4,5

Pemrograman Dinamik Persoalan Pengepakan 𝐹𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝐶 𝑖 ( 𝑋 𝑖 , 𝑆 𝑖 ) : manfaat yang diperoleh dari menempatkan jenis barang 𝑖 dari berat yang tersisa ( 𝑋 𝑖 dari 𝑆 𝑖 yang tersisa) 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠𝑖 𝑆𝑡𝑎𝑡𝑒 : 𝑆 𝑖+1 = 𝑆 𝑖 − 𝑋 𝑖 𝑆𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡 𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 : 𝑆 1 =8, 𝑆 6 =0 𝐹𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑟𝑒𝑘𝑢𝑟𝑠𝑖𝑓 : 𝑓 𝑖 𝑆 𝑖 keuntungan total maksimum yang dapat diperoleh dari kios 𝑖, 𝑖+1, …, 𝑁 𝑓 𝑖 𝑆 𝑖 = max 𝐶 𝑖 𝑋 𝑖 , 𝑆 𝑖 + 𝑓 𝑖+1 𝑆 𝑖+1 𝑆𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡 𝑎𝑤𝑎𝑙 : 𝑓 5 𝑆 5 = 𝑓 5 0 =0 (initial condition) Ruang Keadaan : S = {0,1, 2,…., 8} 𝑃𝑒𝑛𝑦𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑎𝑛 : 𝑓 1 ∗ 𝑆 1

Pemrograman Dinamik Persoalan Pengepakan TAHAP 5 𝑪 𝟓 𝑿 𝟓 , 𝑺 𝟓 + 𝒇 𝟔 𝑺 𝟔 𝑺 𝟓 𝑿 𝟓 𝟎 𝟏 𝑿 𝟓 ∗ 𝒇 𝟓 𝑺 𝟓 𝟎+𝟎 − 𝟐 𝟔+𝟎 𝟔 𝟑 𝟒 𝟓 𝟕 𝟖 manfaat Berat barang 5, yaitu 2 manfaat maksimum dibawa atau tidak

Pemrograman Dinamik Persoalan Pengepakan TAHAP 4 𝑪 𝟒 𝑿 𝟒 , 𝑺 𝟒 + 𝒇 𝟓 𝑺 𝟓 𝑺 𝟒 𝑿 𝟒 𝟎 𝟏 𝑿 𝟒 ∗ 𝒇 𝟒 𝑺 𝟒 𝟎+𝟎 − 𝟐 𝟎+𝟔 𝟓+𝟎 𝟔 𝟑 𝟒 𝟓+𝟔 𝟏𝟏 𝟓 𝟕 𝟖

Pemrograman Dinamik Persoalan Pengepakan TAHAP 3 𝑪 𝟑 𝑿 𝟑 , 𝑺 𝟑 + 𝒇 𝟒 𝑺 𝟒 𝑺 𝟑 𝑿 𝟑 𝟎 𝟏 𝑿 𝟑 ∗ 𝒇 𝟑 𝑺 𝟑 𝟎+𝟎 − 𝟐 𝟎+𝟔 𝟔 𝟑 𝟒+𝟎 𝟒 𝟎+𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟓 𝟒+𝟔 𝟕 𝟒+𝟏𝟏 𝟏𝟓 𝟖

Pemrograman Dinamik Persoalan Pengepakan TAHAP 2 𝑪 𝟐 𝑿 𝟐 , 𝑺 𝟐 + 𝒇 𝟑 𝑺 𝟑 𝑺 𝟐 𝑿 𝟐 𝟎 𝟏 𝑿 𝟐 ∗ 𝒇 𝟐 𝑺 𝟐 𝟎+𝟎 − 𝟐 𝟎+𝟔 𝟑+𝟎 𝟔 𝟑 𝟒 𝟎+𝟏𝟏 𝟑+𝟔 𝟏𝟏 𝟓 𝟑+𝟏𝟏 𝟏𝟒 𝟕 𝟎+𝟏𝟓 𝟏𝟓 𝟖

Pemrograman Dinamik Persoalan Pengepakan TAHAP 1 𝑪 𝟏 𝑿 𝟏 , 𝑺 𝟏 + 𝒇 𝟐 𝑺 𝟐 𝑺 𝟏 𝑿 𝟏 𝟎 𝟏 𝑿 𝟏 ∗ 𝒇 𝟏 𝑺 𝟏 𝟖 𝟎+𝟏𝟓 𝟐+𝟏𝟓 𝟏𝟕 Keputusan optimal yang diambil Barang 1 dibawa 𝑥 1 =1 Barang 2 tidak dibawa 𝑥 2 =0 Barang 3 dibawa 𝑥 3 =1 Barang 4 dibawa 𝑥 4 =1 Barang 5 dibawa 𝑥 5 =1 Keputusan tersebut memiliki nilai atau manfaat maksimum, yaitu 17.

Pemrograman Dinamik dengan Faktor Diskon Pembangunan Pembangkit Listrik Tahun 2015 2016 2017 2018 2019 2020 Kebutuhan Pembangkit 1 2 4 6 7 8 Biaya tiap Pembangkit 540 560 580 600 Biaya Pembangunan = 150 + biaya pembangkit = 150 + {(biaya tiap pembangkit)*jumlah pembangkit} Ketersediaan pembangkit ≥ kebutuhan pada tahun tersebut. Dalam satu tahun dapat membangun maksimal 4 pembangkit. Berapa yang harus dibangun pada tiap tahunnya supaya biaya total adalah minimum.

Pemrograman Dinamik dengan Faktor Diskon Formulasi Pemrograman Dinamik: 𝑇𝑎ℎ𝑎𝑝 : Tahun pembangunan berlangsung 𝐻𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛 : N = 6 𝑆 𝑖 (𝑆𝑡𝑎𝑡𝑒) : pembangkit yang telah ada di awal tahun 𝑖 𝑋 𝑖 (𝐾𝑒𝑝𝑢𝑡𝑢𝑠𝑎𝑛) : banyaknya pembangkit yang dibangun pada tahun 𝑖 𝐶 𝑖 𝑋 𝑖 , 𝑆 𝑖 (Fungsi Hasil) : biaya yang harus dikeluarkan pada tahun 𝑖 = {150 + (biaya per pembangkit*banyaknya pembangkit yang dibangun)} 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠𝑖 𝑆𝑡𝑎𝑡𝑒 : 𝑆 𝑖+1 = 𝑆 𝑖 + 𝑋 𝑖 𝑆𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡 𝐵𝑎𝑡𝑎𝑠 : 𝑆 1 =0, 𝑆 7 =8

Pemrograman Dinamik dengan Faktor Diskon Formulasi Pemrograman Dinamik: 𝐹𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑅𝑒𝑘𝑢𝑟𝑠𝑖𝑓 : 𝑓 𝑖 𝑆 𝑖 = min 𝐶 𝑖 𝑋 𝑖 , 𝑆 𝑖 + 𝑓 𝑖+1 ( 𝑆 𝑖+1 ) dimana 𝑓 𝑖+1 ( 𝑆 𝑖+1 ) adalah fungsi kumulatif 𝐼𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 : 𝑓 7 𝑆 7 =0 Ruang Keadaan : {0,1,2,…., 8} 𝑃𝑒𝑛𝑦𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑎𝑛 adalah 𝑓 1 𝑆 1

Pemrograman Dinamik dengan Faktor Diskon Tahun 2020 𝐶 6 𝑋 6 , 𝑆 6 + 𝑓 7 𝑆 7 𝑆 6 𝑋 6 1 𝑋 6 ∗ 𝑓 6 𝑆 6 8 − 7 690+0 690 Biaya pembangunan 1 pembangkit pada tahun 2020 (150 + (540*1))

Pemrograman Dinamik dengan Faktor Diskon Tahun 2019 𝐶 5 𝑋 5 , 𝑆 5 + 𝑓 6 𝑆 6 𝑆 5 𝑋 5 1 2 𝑋 5 ∗ 𝑓 5 𝑆 5 8 − 7 0+690 730+0 690 6 730+690 1310+0 1310 memilih biaya yang mininum

Pemrograman Dinamik dengan Faktor Diskon 𝐶 4 𝑋 4 , 𝑆 4 + 𝑓 5 𝑆 5 Tahun 2018 𝐶 4 𝑋 4 , 𝑆 4 + 𝑓 5 𝑆 5 𝑆 4 𝑋 4 1 2 3 4 𝑋 4 ∗ 𝑓 4 𝑆 4 8 − 7 0+690 750+0 690 6 0+1310 750+690 1350+0 1310 5 750+1310 1350+690 1950+0 1950 1350+1310 1950+690 2550+0 2550

Pemrograman Dinamik dengan Faktor Diskon 𝐶 3 𝑋 3 , 𝑆 3 + 𝑓 4 𝑆 4 Tahun 2017 𝐶 3 𝑋 3 , 𝑆 3 + 𝑓 4 𝑆 4 𝑆 3 𝑋 3 1 2 3 4 𝑋 3 ∗ 𝑓 3 𝑆 3 8 − 7 0+690 730+0 690 6 0+1310 730+690 1310+0 0,2 1310 5 0+1950 730+1310 1310+690 1890+0 1890 0+2550 730+1950 1310+1310 1890+690 2470+0 2470 730+2550 1310+1950 1890+1310 2470+690 3160 1310+2550 1890+1950 2470+1310 3780

Pemrograman Dinamik dengan Faktor Diskon 𝐶 2 𝑋 2 , 𝑆 2 + 𝑓 3 𝑆 3 Tahun 2016 𝐶 2 𝑋 2 , 𝑆 2 + 𝑓 3 𝑆 3 𝑆 2 𝑋 2 1 2 3 4 𝑋 2 ∗ 𝑓 2 𝑆 2 0+2470 710+1890 1270+1310 1830+690 2390+0 2390 0+3160 710+2470 1270+1890 1830+1310 2390+690 3080 0+3780 710+3160 1270+2470 1830+1890 2390+1310 3700 − 710+3780 1270+3160 1830+2470 2390+1890 4300

Pemrograman Dinamik dengan Faktor Diskon 𝐶 1 𝑋 1 , 𝑆 1 + 𝑓 2 𝑆 2 Tahun 2015 𝐶 1 𝑋 1 , 𝑆 1 + 𝑓 2 𝑆 2 𝑆 1 𝑋 1 1 2 3 4 𝑋 1 ∗ 𝑓 1 𝑆 1 − 690+4300 1230+3700 1770+3080 2310+2390 4700

Pemrograman Dinamik dengan Faktor Diskon Rencana Pembangunan Pembangkit dengan Biaya Minimum Tahun 2015 2016 2017 2018 2019 2020 Jumlah Pembangkit yang dibangun 4 Total biaya 4700

Pemrograman Dinamik dengan Faktor Diskon Discounted Factor (Faktor Diskon) Faktor Diskon sangat berkaitan dengan Net Present Value atau NPV. NPV sendiri merupakan selisih antara pengeluaran dan pemasukan yang telah didiskon dengan menggunakan social opportunity cost of capital sebagai faktor diskon, atau dengan kata lain merupakan arus kas yang diperkirakan pada masa yang akan datang yang didiskonkan pada saat ini.

Pemrograman Dinamik dengan Faktor Diskon Discounted Factor (Faktor Diskon) Persamaan Rekursif 𝑓 𝑖 𝑆 𝑖 =𝑜𝑝𝑡 𝑐 𝑖 𝑥 𝑖 , 𝑠 𝑖 +𝛽 𝑓 𝑖+1 ( 𝑠 𝑖 +1) 0<𝛽<1 Diasumsikan nilai 𝛽=0,9 untuk penerapan contoh soal

Pemrograman Dinamik dengan Faktor Diskon Tahun 2020 𝐶 6 𝑋 6 , 𝑆 6 +𝛽 𝑓 7 𝑆 7 𝑆 6 𝑋 6 1 𝑋 6 ∗ 𝑓 6 𝑆 6 8 − 7 690+0 690 Biaya pembangunan 1 pembangkit pada tahun 2020 (150 + (540*1))

Pemrograman Dinamik dengan Faktor Diskon Tahun 2019 𝐶 5 𝑋 5 , 𝑆 5 +𝛽 𝑓 6 𝑆 6 𝑆 5 𝑋 5 1 2 𝑋 5 ∗ 𝑓 5 𝑆 5 8 − 7 0+(690∗0.9) 730+0 621 6 730+(690∗0.9) 1310+0 1310 Faktor diskon dengan 𝛽=0.9

Pemrograman Dinamik dengan Faktor Diskon 𝐶 4 𝑋 4 , 𝑆 4 +𝛽 𝑓 5 𝑆 5 Tahun 2018 𝐶 4 𝑋 4 , 𝑆 4 +𝛽 𝑓 5 𝑆 5 𝑆 4 𝑋 4 1 2 3 4 𝑋 4 ∗ 𝑓 4 𝑆 4 8 − 7 0+(621∗0.9) 750+0 558.9 6 0+(1310∗0.9) 750+(621∗0.9) 1350+0 1179 5 750+(1310∗0.9) 1350+(621∗0.9) 1950+0 1908.9 1350+(1310∗0.9) 1950+(621∗0.9) 2550+0 2508.9

Pemrograman Dinamik dengan Faktor Diskon 𝐶 3 𝑋 3 , 𝑆 3 +𝛽 𝑓 4 𝑆 4 Tahun 2017 𝐶 3 𝑋 3 , 𝑆 3 +𝛽 𝑓 4 𝑆 4 𝑆 3 𝑋 3 1 2 3 4 𝑋 3 ∗ 𝑓 3 𝑆 3 8 − 7 0+(558.9∗0.9) 730+0 503.0 6 0+(1179∗0.9) 730+(558.9∗0.9) 1310+0 1061.1 5 0+(1908.9∗0.9) 730+(1179∗0.9) 1310+(558.9∗0.9) 1890+0 1718.0

Pemrograman Dinamik dengan Faktor Diskon 𝐶 3 𝑋 3 , 𝑆 3 +𝛽 𝑓 4 𝑆 4 Tahun 2017 𝐶 3 𝑋 3 , 𝑆 3 +𝛽 𝑓 4 𝑆 4 𝑆 3 𝑋 3 1 2 3 4 𝑋 3 ∗ 𝑓 3 𝑆 3 0+(2508.9∗0.9) 730+(1179∗0.9) 1310+(1179∗0.9) 1890+(558.9∗0.9) 2470+0 2258.0 − 730+(2508.9∗0.9) 1310+(1908.9∗0.9) 1890+(1179∗0.9) 2470+(558.9∗0.9) 2951.1 1310+(2508.9∗0.9) 1890+(1908.9∗0.9) 2470+(1179∗0.9) 3531.1

Pemrograman Dinamik dengan Faktor Diskon 𝐶 2 𝑋 2 , 𝑆 2 +𝛽 𝑓 3 𝑆 3 Tahun 2016 𝐶 2 𝑋 2 , 𝑆 2 +𝛽 𝑓 3 𝑆 3 𝑆 2 𝑋 2 1 2 3 4 𝑋 2 ∗ 𝑓 2 𝑆 2 0+(2258∗0.9) 710+(1718∗0.9) 1270+(1061.1∗0.9) 1830+(503∗0.9) 2390+0 2032.2 0+(2951.1∗0.9) 710+(2258∗0.9) 1270+(1718∗0.9) 1830+(1061.1∗0.9) 2390+(503∗0.9) 2655.9 0+(3531.1∗0.9) 710+(2951.1∗0.9) 1270+(2258∗0.9) 1830+(1718∗0.9) 2390+(1061.1∗0.9) 3177.9 − 710+(3531.1∗0.9) 1270+(2951.1∗0.9) 1830+(2258∗0.9) 2390+(1718.1∗0.9) 3862.2

Pemrograman Dinamik dengan Faktor Diskon 𝐶 1 𝑋 1 , 𝑆 1 +𝛽 𝑓 2 𝑆 2 Tahun 2015 𝐶 1 𝑋 1 , 𝑆 1 +𝛽 𝑓 2 𝑆 2 𝑆 1 𝑋 1 1 2 3 4 𝑋 1 ∗ 𝑓 1 𝑆 1 − 690+(3862.2∗0.9) 1230+(3177.9∗0.9) 1770+(2655.9∗0.9) 2310+(2032.2∗0.9) 4090.2

Pemrograman Dinamik dengan Faktor Diskon Rencana Pembangunan Pembangkit dengan Biaya Minimum Tahun 2015 2016 2017 2018 2019 2020 Jumlah Pembangkit yang dibangun 2 4 Total biaya 4090.2

Pemrograman Dinamik Ruang Kontinyu Permasalahan dengan nilai variabel (keadaan dan keputusan) yang dapat berbentuk decimal atau pecahan. Untuk itu ruang keadaan dibagi menjadi interval-interval sesuai dengan nilai variabel keputusan yang mungkin diambil. Pembagian menjadi interval-interval tersebut dilakukan sedemikian hingga menjadi jelas keputusan yang dapat diambil dan keadaan yang terjadi karena keputusan tersebut.

Pemrograman Dinamik Ruang Kontinyu Contoh Permasalahan Pemerintah memiliki anggaran 10 Milyar untuk menjalankan sejumlah program kemasyarakatan yang diusulkan sebagaimana tercantum dalam tabel berikut. Usulan 1 2 3 4 Biaya 3.8 2.7 4.2 1.4 Manfaat Publik 59.2 31.4 65.7 40.8 Tentukan usulan yang dipilih agar publik mendapat manfaat maksimal dari anggaran yang tersedia.

Pemrograman Dinamik Ruang Kontinyu Formulasi Tahap : Usulan Proyek Horizon : 𝑁= 4 𝑆 𝑖 (State) : Anggaran yang masih tersedia untuk menjalankan program 𝑋 𝑖 (Keputusan) : Dijalankan atau tidak usulan proyek 𝑖, 𝑖 = 1, 2 , 3, 4 . [ 𝐶 𝑖 𝑋 𝑖 , 𝑆 𝑖 ] Fungsi Hasil : Manfaaat yang diperoleh dari menjalankan proyek 𝑖 dari anggaran yang tersisa ( 𝑋 𝑖 dari 𝑆 𝑖 yang tersisa) Transformasi State : 𝑆 𝑖+1 = 𝑆 𝑖 − biaya dari tahap i Syarat batas : 𝑆 𝑖 = 10 , 𝑆 5 = 0 Fungsi Rekursif : 𝑓 𝑖 ( 𝑆 𝑖 ) manfaat total maksimum yang didapat dari dijalankan atau tidak dijalankannya program 𝑖, 𝑖 +1,…, 𝑁 𝑓 𝑖 𝑆 𝑖 = max 1 { 𝐶 𝑖 𝑋 𝑖 , 𝑆 𝑖 + 𝑓 𝑖+1 𝑆 𝑖+1 } Initial Condition : 𝑓 4 𝑆 4 → 𝑓 4 (0) Ruang Keadaan : 𝑆= { 0,1, 2, … , 10 } Penyelesaian : 𝑓 𝑖 ∗ ( 𝑆 𝑖 )

Pemrograman Dinamik Ruang Kontinyu 𝑋 1 𝑋 2 𝑋 3 𝑋 4 𝐶 1 𝐶 2 𝐶 3 𝐶 4 𝑆 1 Pentahapan : 𝑋 1 𝑋 2 𝑋 3 𝑋 4 𝐶 1 𝐶 2 𝐶 3 𝐶 4 𝑆 1 𝑆 2 𝑆 3 𝑆 4 𝑆 5 Proyek Anggaran yang dialokasikan ke proyek Manfaat yang diperoleh dari proyek Anggaran yang tersedia

Pemrograman Dinamik Ruang Kontinyu 𝑆 1 𝑋 1 1 𝑋 1 ∗ 𝑓 1 𝑆 1 𝑆 1 ≥3.8 Karena usulan dapat diurutkan secara bebas, pemilihan tahap dapat dilakukan sembarang. Misalkan diambil urutan tahap adalah dari usulan 1 dan seterusnya. Perhatikan bahwa ruang keadaan adalah bernilai kontiyu antara 0 s/d 10 Milyar = {0≤ 𝑆 ≤10} karena dapat bernilai pecahan TAHAP 1 𝑆 1 𝑋 1 1 𝑋 1 ∗ 𝑓 1 𝑆 1 𝑆 1 ≥3.8 0+0 59.2+0 59.2 𝑆 1 <3.8 −

Pemrograman Dinamik Ruang Kontinyu TAHAP 2

Pemrograman Dinamik Ruang Kontinyu 𝑆 2 𝑋 2 1 𝑋 2 ∗ 𝑓 2 𝑆 2 𝑆 2 ≥6.5 TAHAP 2 𝑆 2 𝑋 2 1 𝑋 2 ∗ 𝑓 2 𝑆 2 𝑆 2 ≥6.5 0+54.2 31.4+54.2 90.6 3.8≤ 𝑆 2 <6.5 31.4+0 54.2 2.7≤ 𝑆 2 <3.8 0+0 31.4 34.4 𝑆 2 <2.7 −

Pemrograman Dinamik Ruang Kontinyu TAHAP 3

Tidak perlu dihitung karena tidak akan optimal Pemrograman Dinamik Ruang Kontinyu TAHAP 3 𝑆 3 𝑋 3 1 𝑋 3 ∗ 𝑓 3 𝑆 3 8.0≤ 𝑆 3 ≤10 0+90.6 65.7+59.2 124.9 6.9≤ 𝑆 3 <8.0 65.7+31.4 97.1 6.5≤ 𝑆 3 <6.9 Tidak perlu dihitung karena tidak akan optimal 4.2≤ 𝑆 3 <6.5 3.8≤ 𝑆 3 <4.2 2.7≤ 𝑆 3 <3.8 𝑆 2 <2.7

Pemrograman Dinamik Ruang Kontinyu 𝑆 4 𝑋 4 1 𝑋 4 ∗ 𝑓 4 𝑆 4 10 0+124.9 TAHAP 4 𝑆 4 𝑋 4 1 𝑋 4 ∗ 𝑓 4 𝑆 4 10 0+124.9 40.8+124.9 165.7 Semua interval pada suatu tahap akan muncul pada tahap sesudahnya dengan dipecah menjadi beberapa interval karena adanya sisipan nilai variabel keputusan.

Pemrograman Dinamik Ruang Kontinyu

Tugas 7 Kerjakan satu contoh soal atau soal pemrograman dinamik deterministic diskrit yang ada di buku referensi dengan terlebih dahulu menggambar pentahapannya, merancang formulasi pemrograman dinamiknya, kemudian menyelesaikannya dengan menggunakan table seperti yang diberikan pada bahan kuliah, menginterpretasikan penyelesaian optimal, dan melakukan satu analisis sensitivitas akibat perubahan nilai S1. Idem nomer 1, untuk ruang kontinyu atau faktor diskon (pilih salah satu) dengan rekursif mundur (bukan rekursif maju)