PERSAMAAN non linier 3

Pendahuluan Beberapa metode untuk mencari akar-akar suatu persamaan. Untuk polinomial derajat dua Misalkan bentuk persamaan : Dapat dicari akar-akarnya secara analitis dengan rumus berikut : a x2 + b x + c = 0

Untuk polinomial derajat tiga atau empat Untuk polinomial berderajat tiga atau lebih, atau fungsi-fungsi transenden, bahkan fungsi yang merupakan hasil dari suatu aplikasi, sangat jarang diperoleh hasilnya (solusinya) secara analitis. Contoh : f(x) = x3 + 4x2 + x - 6 = 0 f(x) = x5 + 2x4 +3x3 +4x2 -3x-1 = 0 f(x) = ex -3x = 0 f(x) = 3x + sin x – ex = 0 dan sebagainya

Bentuk persamaan-persamaan seperti tersebut diatas sulit bahkan tidak mungkin diselesaikan secara analitis Metode numerik memberikan cara-cara untuk menyelesaikan bentuk persamaan tersebut secara perkiraan sampai diperoleh hasil yang mendekati penyelesaian eksak. Penyelesaian numerik dilakukan dengan perkiraan yang berurutan (iterasi). Dengan melakukan sejumlah iterasi yang dianggap cukup akhirnya di dapat hasil perkiraan yang mendekati hasil eksak (hasil yang benar) dengan toleransi kesalahan yang diijinkan

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan. Metode ini merupakan penyelesaian perkiraan, tetapi lebih sistematis untuk menghitung akar-akar persamaan. Dalam metode numerik, pencarian akar f(x)=0 dilakukan secara lelaran (iteratif). Secara umum, semua metode pencarian akar dapat dikelompokkan menjadi 2 golongan besar :

1. Metode tertutup atau metode pengurung (bracketing method) Metode yang termasuk ke dalam golongan ini mencari akar di dalam selang [a,b]. Selang [a,b] sudah dipastikan berisi minimal satu buah akar, karena itu metode jenis ini selalu berhasil menemukan akar. Dengan kata lain, lelarannya selalu konvergen (menuju) ke akar, karena itu metode tertutup kadang-kadang dinamakan juga metode konvergen. Metode yang termasuk dalam golongan ini antara lain : Metode Biseksi atau Metode Setengah Interval Metode Regula Falsi atau Metode Interpolasi Linier

2. Metode terbuka Yang diperlukan pada metode ini, adalah tebakan awal akar, lalu dengan prosedur lelaran, kita menggunakannya untuk menghitung hampiran akar yang baru. Pada setiap lelaran, hampiran akar lama yang dipakai untuk menghitung hampiran akar yang baru. Mungkin saja hampiran akar yang baru mendekati akar sejati (konvergen), atau mungkin menjauhinya (divergen). Karena itu, metode terbuka tidak selalu berhasil menemukan akar, kadang-kadang konvergen, kadangkala ia divergen. Metode yang termasuk dalam golongan ini antara lain : Metode Newton Raphson Metode Secant Metode Iterasi

Metode Biseksi Metode Biseksi atau Metode Setengah Interval merupakan bentuk paling sederhana diantara beberapa metode yang akan dipelajari. Langkah-langkah yang dilakukan dalam penyelesaian persamaan dengan metode biseksi adalah sebagai berikut : Hitung fungsi pada interval yang sama dari x sampai pada perubahan tanda dari fungsi f(xn) dan f(xn+1), yaitu : f(xn) . f(xn+1) < 0 2. Estimasi pertama dari akar xt dihitung dengan

Buat evaluasi berikut untuk menentukan di dalam sub interval mana akar persamaan berada : f(xn).f(xt) < 0, akar persamaan berada pada sub interval pertama, kemudian tetapkan xn+1 = xt dan lanjutkan pada langkah ke-4 f(xn).f(xt) > 0, akar persamaan berada pada sub interval kedua, kemudian tetapkan xn = xt dan lanjutkan pada langkah ke-4 f(xn).f(xt) = 0, akar persamaan adalah xt dan hitungan selesai

Hitung perkiraan baru dari akar dengan Apabila perkiraan baru sudah cukup kecil (sesuai dengan batasan yang ditentukan), maka hitungan selesai, dan xt adalah akar persamaan yang dicari. Jika belum, maka hitungan kembali ke langkah ke-3

CONTOH Hitung salah satu akar dari f(x) = x4 – x3 + 2x2 – 2x – 12 = 0 pada interval [1.75 , 2.55] dengan metode Biseksi.   Jawab : Iterasi 1, t = 1 xn = 1.75 dan xn+1 = 2.55 f(1.75) = 1.754 – 1.753 + 2*1.752 – 2*1.75 – 12 = - 5.3555 f(2.55) = 2.554 – 2.553 + 2*2.552 – 2*2.55 – 12 = 21.6061 f(2.15) = 2.154 – 2.153 + 2*2.152 – 2*2.15 – 12 = 4.3741 f(xt) dengan f(xn) mempunyai tanda berbeda, maka akar f(x) berada pada interval [1.75 , 2.55] → menuju iterasi 2  

Iterasi 2, t = 2 xn = 1.75 dan xn+1 = 2.15 f(1.75) = 1.754 – 1.753 + 2*1.752 – 2*1.75 – 12 = - 5.3555 f(2.15) = 2.154 – 2.153 + 2*2.152 – 2*2.15 – 12 = 4.3741 f(1.95) = 1.954 – 1.953 + 2*1.952 – 2*1.95 – 12 = -1.2509 f(xt) dengan f(xn) mempunyai tanda berbeda, maka akar f(x) berada pada interval [1.95 , 2.15] → menuju iterasi 3  

Iterasi 3, t = 3 xn = 1.95 dan xn+1 = 2.15 f(1.95) = 1.954 – 1.953 + 2*1.952 – 2*1.95 – 12 = -1.2509 f(2.15) = 2.154 – 2.153 + 2*2.152 – 2*2.15 – 12 = 4.3741 f(2.05) = 2.054 – 2.053 + 2*2.052 – 2*2.05 – 12 = 1.3509 f(xt) dengan f(xn) mempunyai tanda berbeda, maka akar f(x) berada pada interval [1.95 , 2.05] → menuju iterasi 4  

Iterasi 4, t = 4 xn = 1.95 dan xn+1 = 2.05 f(1.95) = 1.954 – 1.953 + 2*1.952 – 2*1.95 – 12 = -1.2509 f(2.05) = 2.054 – 2.053 + 2*2.052 – 2*2.05 – 12 = 1.3509 f(2.00) = 24 – 23 + 2*22 – 2*2 – 12 = 0 → stop Jadi hingga iterasi yang keempat diperoleh akar pendekatan sebesar xt = 2. Dan bila melihat nilai f(xt) = 0 dan   xt = 2 sekaligus sebagai salah satu akar eksaknya

Prosedur hitungan tersebut ditunjukkan pada tabel berikut :

Contoh :  

f(xt) = f(1,5) = (1.5)3 + (1,5)2 – 3(1,5) – 3 = -0,01831 Mengingat fungsi adalah kontinu, berarti perubahan tanda dari fungsi antara x1 = 1 dan x2 = 2 akan memotong sumbu x paling tidak satu kali. Titik perpotongan antara sumbu x dan fungsi merupakan akar-akar persamaan. Dihitung nilai xt , dan kemudian dihitung fungsi f(xt) f(xt) = f(1,5) = (1.5)3 + (1,5)2 – 3(1,5) – 3 = -0,01831

Oleh karena fungsi berbeda tanda antara x = 1,5 dan x = 2, maka akar terletak diantara kedua nilai tersebut. Langkah selanjutnya adalah membuat setengah interval berikutnya sehingga interval yang dihasilkan akan semakin kecil, yang merupakan letak dari akar persamaan yang dicari.

Prosedur hitungan tersebut ditunjukkan pada tabel berikut :

Latihan  

Metode Regula Falsi ( Metode Interpolasi Linier ) Metode biseksi adalah mudah tapi tidak efisien. Untuk mendapatkan hasil yang mendekati nilai eksak diperlukan langkah iterasi yang cukup panjang. Metode Regula Falsi dapat menutup kekurangan itu. Metode Regula Falsi didasarkan pada interpolasi antara dua nilai dari fungsi yang mempunyai tanda berlawanan

Langkah-langkah yang dilakukan dalam penyelesaian persamaan dengan metode Regula Falsi adalah sebagai berikut : Hitung fungsi pada interval yang sama dari x sampai pada perubahan tanda dari fungsi f(xn) dan f(xn+1), yaitu f(xn) . f(xn+1) < 0 Mencari nilai x* dengan persamaan :

Nilai tersebut digunakan untuk menghitung nilai f(x Nilai tersebut digunakan untuk menghitung nilai f(x*), yang kemudian digunakan lagi untuk interpolasi linier dengan nilai f(xn) atau f(xn+1) sedemikian sehingga kedua fungsi mempunyai tanda berbeda. Prosedur diulang lagi sampai didapat nilai f(x*) mendekati nol

Contoh : Penyelesaian : f(x) = x3 + x2 – 3 x – 3 = 0 Hitung salah satu akar dari persamaan : f(x) = x3 + x2 – 3 x – 3 = 0 dengan metode Regula Falsi Penyelesaian : Seperti dalam metode biseksi , langkah pertama adalah menghitung nilai f(x) pada interval antara dua titik sedemikian sehingga nilai f(x) pada kedua titik tersebut berlawanan tanda. Untuk x1 =1 maka f(x1) = f(1) = (1)3 + (1)2 – 3(1) – 3 = -4 Untuk x2 =2 maka f(x2) = f(2) = (2)3 + (2)2 – 3(2) – 3 = 3

Dengan menggunakan rumus : f( x*) = f(1,57142) = (1,57142)3 + (1,57142)2 – 3(1,57142) – 3 = -1,36449

Karena f(x*) bertanda negatif maka akar terletak antara x = 1,57142 dan x = 2. Selanjutnya dihitung nilai x* f(x*)=f(1,70540) = (1,70540)3 + (1,70540)2 – 3(1,70540) – 3 = -0,24784

Prosedur hitungan seperti diatas dilanjutkan sampai akhir didapat nilai f(x )≈ 0. Dan ditunjukkan dalam tabel dibawah ini :

Metode Newton-Raphson Metode ini paling banyak digunakan dalam mencari akar-akar dari suatu persamaan. Langkah-langkah yang dilakukan dalam penyelesaian persamaan dengan metode Newton-Raphson adalah sebagai berikut : Pilih nilai awal xi sembarang Hitung xi+1 dan f (xi+1) dengan rumus : Demikian seterusnya sampai didapatkan f (xi+1) yang kecil

Contoh : f(x) = x3 + x2 – 3 x – 3 = 0 dengan metode Newton Raphson Selesaikan persamaan : f(x) = x3 + x2 – 3 x – 3 = 0 dengan metode Newton Raphson Penyelesaian : Persamaan yang diselesaikan : f (x) = x3 + x2 – 3 x – 3 = 0 Turunan pertama dari persamaan itu adalah : f ’(x) = 3x2 + 2 x – 3

Dengan menggunakan persamaan : Pada awal hitungan ditentukan nilai xi sembarang, misalnya x1 = 1 ; f (x1) = f(1) = (1)3 + (1)2 – 3 (1) – 3 = –4 f ’(x1) = f’ (1) = 3(1)2 + 2 (1) – 3 = 2

Langkah berikutnya ditetapkan x2 = 3 f (x2) = f(3) = (3)3 + (3)2 – 3 (3) – 3 = 24 f ’(x2 ) = f’(3) = 3(3)2 + 2 (3) – 3 = 30

Hitungan dilanjutkan dengan prosedur yang sama dan hasilnya diberikan dalam tabel berikut ini : Jumlah iterasi xi xi+1 f(xi) f(xi+1) 1 1,0 3,0 -4,0 24,0 2 2,2 5,888 3 1,83 0,987387 4 1,73778 0,05442 5 1,73207 0,0001816

Metode Secant Kekurangan Metode Newton Raphson adalah diperlukannya turunan pertama (differensial) dari f(x) dalam hitungan. Kadang-kadang sulit untuk mendiferensialkan persamaan yang diselesaikan. Untuk itu maka bentuk diferensial didekati dengan nilai perkiraan berdasarkan diferensial beda hingga.

Dalam metode ini pendekatan memerlukan dua nilai awal dari x Yang disubstitusikan dalam persamaan : Dalam metode ini pendekatan memerlukan dua nilai awal dari x

Contoh : Selesaikan persamaan : f(x) = x3 + x2 – 3 x – 3 = 0 dengan metode Secant Penyelesaian : Iterasi 1 Diambil dua nilai awal x1 =1 dan x2 = 2 Untuk x1 =1 maka f(x1) = f(1) = (1)3 + (1)2 – 3(1) – 3 = - 4 Untuk x2 =2 maka f(x2) = f(2) = (2)3 + (2)2 – 3(2) – 3 = 3 Dengan menggunakan persamaan :

Maka : f(x3)= (1,57142)3 + (1,57142)2 – 3(1,57142) – 3 = -1,36449 Iterasi 2 Untuk x2 =2 maka f(x2) = f(2) = (2)3 + (2)2 – 3(2) – 3 = 3 Untuk x3 =1,57142 maka Dengan menggunakan persamaan :

Hitungan dilanjutkan dengan prosedur yang sama dan hasilnya diberikan dalam tabel berikut : Jumlah iterasi x1 x2 x3 f(x1) f(x2) f(x3) 1 1,0 2,0 1,57142 -4,0 3,0 -1,36449 2 1,70540 +3,0 -0,24784 3 1,73513 0,02920 4 1,73199 -0,000575 5 1,73205

Metode Iterasi Dalam metode iterasi ini digunakan suatu persamaan untuk memperkirakan nilai akar persamaan. Persamaan tersebut dikembangkan dari fungsi f(x) = 0 sehingga parameter x berada disisi kiri dari persamaan, yaitu : x= g(x) Persamaan ini menunjukkan bahwa nilai x merupakan fungsi dari x, sehingga dengan memberi nilai perkiraan awal dari akar dapat dihitung perkiraan baru dengan rumus iteratif berikut :

Besar kesalahan dihitung dengan rumus berikut :

Contoh : dengan metode Iterasi Penyelesaian : Selesaikan persamaan : f(x) = x3 + x2 – 3 x – 3 = 0 dengan metode Iterasi Penyelesaian : Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk : x3 = - x2 + 3 x + 3 → x = (- x2 + 3 x + 3 )1/3 Kemudian persamaan diubah menjadi : xi+1 = (- x2 + 3 x + 3 )1/3 Apabila ditentukan perkiraan awal x1 = 2 maka didapat : x2 = (- x12 + 3 x1+ 3 )1/3 = (- 22 + 3 x 2 + 3 )1/3 = 1,70998

Hitungan dilanjutkan dengan prosedur yang sama dan hasilnya diberikan dalam tabel berikut : Iterasi (i) xi (%) 1 2,00000 2 1,70998 16,9607 3 1,73313 1,3362 4 1,73199 0,0658 5 1,73205 0,0034 6 0,0002 Dari tabel terlihat bahwa hasil hitungan pada iterasi yang lebih tinggi semakin dekat dengan akar persamaan yang benar, dengan kata lain kesalahan yang terjadi semakin kecil. Penyelesaian persamaan seperti ini disebut konvergen

Persamaaan x3 + x2 – 3 x – 3 = 0 dapat juga diubah dalam bentuk berikut : Dalam bentuk iterasi persamaan diatas menjadi : Untuk perkiraan awal x1 = 2 maka didapat : Besar kesalahan :

Dengan prosedur yang sama hitungan dilanjutkan dan hasilnya diberikan dalam tabel berikut ini : Iterasi (i) xi (%) 1 2,00000 2 3,00000 33,3333 3 11,00000 72,7273 4 483,00000 97,7226 5 37637290,0 99,9987 Tampak bahwa hasil hitungan pada iterasi yang lebih tinggi semakin menjauhi nilai akar persamaan yang benar. Keadaan hitungan seperti ini disebut divergen.

SOAL-SOAL LATIHAN Tentukan akar persamaan : f(x) = -0.9 x2 + 1.7 x + 2.5 = 0 Dengan menggunakan rumus akar kuadrat (rumus abc) Dengan menggunakan metode Biseksi pada interval [2.8,3.0] sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka di belakang koma. Dengan menggunakan metode regula falsi pada interval [2.8,3.0] sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka dibelakang koma.

2. Tentukan akar dari persamaan : f(x) = -2 + 6.2x - 4 x2 + 0.7 x3 = 0 Dengan menggunakan metode Biseksi pada interval [0.4,0.6] sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka dibelakang koma. Dengan menggunakan metode Regula Falsi pada interval [0.4,0.6] sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka dibelakang koma.

3. Tentukan akar dari persamaan : f(x) = 9.34 - 21.97x +16.3 x2+3.07 x3= 0 Dengan menggunakan metode Newton Raphson dengan akar pendekatan awal adalah 1.00 sebanyak 5 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 2 angka dibelakang koma. Dengan menggunakan metode Secant dengan akar pendekatan awalnya 0.9 dan 1.00 sebanyak 5 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 2 angka dibelakang koma.

4. Tentukan akar dari persamaan : 1 – 0.61 x f(x) = ----------------- = 0 x Dengan menggunakan metode Newton Raphson dengan akar pendekatan awal adalah 1.50 sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka dibelakang koma. Dengan menggunakan metode Secant dengan akar pendekatan awalnya 1.5 dan 2.00 sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka dibelakang koma.

5. Tentukan akar dari persamaan : f (x) = x3 - 6 x2 + 11 x – 5.9 = 0 Dengan menggunakan metode Biseksi pada interval [2.5,3.5] sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka dibelakang koma. Dengan menggunakan metode Regula Falsi pada interval [2.5,3.5] sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka dibelakang koma. Dengan menggunakan metode Newton Raphson dengan akar pendekatan awal 3.5 sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka dibelakang koma. Dengan menggunakan metode Secant dengan akar pendekatan awal 2.5 dan 3.5 sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka dibelakang koma.

6.Tentukan akar dari persamaan-persamaan berikut dengan metode Iterasi, masing-masing 6 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 4 angka dibelakang koma: f(x) = sin x – 5x = 0, dengan akar pendekatan awal 0.1 f(x) = x2 + 4 x – 3 , dengan akar pendekatan awal 0.65