Matematika Keuangan “ANUITAS DIMUKA” Due-Annuity

Nilai sekarang suatu anuitas akhir = present value dari masing-masing pembayaran. Present value pembayaran 1 rupiah di awal periode pertama adalah 1. present value pembayaran 1 rupiah yang dilakukan pada awal periode ke dua adalah v . Proses ini berlanjut sampai present value dari pembayaran 1 rupiah pada awal periode ke n adalah vn-1.

Nilai total dari present value sama dengan jumlahan dari present value tiap-tiap pembayaran, yaitu

Nilai Akumulasi Nilai akumulasi dari pembayaran 1 rupiah pada awal periode pertama pada akhir tahun ke n adalah (1+i)n. Nilai akumulasi dari pembayaran 1 rupiah pada awal periode kedua pada akhir tahun ke n adalah (1+i)n-1. Proses ini berlanjut sampai pada nilai akumulasi pembayaran 1 rupiah saat periode terakhir n, yang sama dengan 1+i.

Nilai akumulasi total anuitas akhir sama dengan jumlahan dari nilai akumulasi pembayaran tiap-tiap periode.

ANUITAS DI MUKA UNTUK NILAI SEKARANG PV = present value atau nilai di awal periode atau nilai sekarang i = tingkat bunga per periode n = jumlah periode A = anuitas atau pembayaran per periode

Contoh Hitunglah nilai sekarang dari Rp 2.000.000 yang diterima setiap bulan selama 5 kali mulai hari ini jika tingkat bunga yang relevan adalah 18% p.a. atau 1,5% per bulan.

Contoh Alya meminjam Rp 20.000.000 dengan bunga 12% p.a. Jika pinjaman harus dilunasi dalam 24 kali cicilan bulanan mulai hari ini, berapa besar cicilan?

Contoh Seorang karyawan yang sudah bekerja selama 30 tahun harus purnabakti dan mendapatkan uang pensiun sebesar Rp 200.000.000 sekaligus. Dia memutuskan untuk mengambil sebesar Rp 6.000.000 setiap 3 bulan mulai hari ini dan menyimpan sisanya dalam deposito 3 bulanan dengan bunga sebesar 6% p.a. Dalam berapa tahun depositonya akan habis?

Jawab. Karena uang pensiun pertama sebesar Rp 6. 000 Jawab. Karena uang pensiun pertama sebesar Rp 6.000.000 akan langsung diambil dari Rp 200.000.000 maka PV = Rp 194.000.000 dengan i = 1,5% per 3 bulan, A = Rp 6.000.000

Contoh 6.6 Sebuah perhiasan berharga tunai Rp 30.000.000 bisa dibeli dengan 12 kali angsuran bulanan masing-masing sebesar Rp 2.758.973 dimulai pada hari pembelian. Berapa tingkat bunga yang dikenakan? Jawab: Karena pembayaran pertama adalah pada tanggal transaksi jual beli maka soal tersebut dapat disederhanakan menjadi utang Rp 27.241.027 (Rp 30.000.000 – Rp 2.758.973) dibayar dengan 11 kali cicilan bulanan sebesar Rp 2.758.973 mulai bulan depan.

Sehingga mencari i pada kasus ini sama seperti mencari i pada kasus anuitas biasa. Dengan trial and error, diperoleh i = 1,85% per periode atau 22,2% p.a.

ANUITAS DI MUKA UNTUK NILAI AKAN DATANG Sn = future value atau nilai di akhir periode ke-n atau nilai akan datang i = tingkat bunga per periode n = jumlah periode A = anuitas atau pembayaran per periode

Contoh Seseorang ingin memiliki uang sebesar Rp 1 milyard pada saat ia pensiun nanti, tepatnya 20 tahun lagi. Untuk tujuan itu, dia akan menyisihkan gajinya setiap bulan untuk ditabung mulai hari ini karena hari ini adalah hari gajian selama 20 tahun ke depan. Berapa besar tabungan bulanan yang harus ia sisihkan jika tingkat bunga 9% p.a.? Jawab :

Contoh 6.12 Seorang pedagang kecil berencana untuk menabung Rp 1.000.000 setiap bulan untuk bisa mendapatkan uang sebesar Rp 20.000.000. Jika tingkat bunga yang bisa didapatnya adalah 6% p.a., berapa lama waktu yang diperlukan?

Jawab:

Contoh Delapan kali setoran masing-masing Rp 350.000 mulai hari ini menjadi Rp 3.342.500 pada akhir bulan ke-8. Berapa tingkat bunga per periode? Dengan trial and error, kita akan mendapatkan i = 3,92%

Soal A-10 PAI 2013 Suatu perpetuitas tahunan di awal tahun 2012 membayar 40 pada tahun-tahun genap (2012,2014,...) dan membayar 70 di tahun ganjil (2013,2015,...). Hitunglah nilai sekarang dari perpetuitas tersebut pada tingkat bunga efektif 5%.

Dihitung nilai d=iv = 0,047619 Present value tahun ganjil = 1+v2+v4+... = 1/(1-v2) Present value tahun genap = v+v3+v5+..=v/(1-v2) Present value total = 40. 10,7561 + 70. 10,2439 = 1147,317

Amanda menabung sebesar 10 juta di setiap awal tahun dimulai hari ini untuk 10 tahun ke depan. Setelah 25 tahun dari sekarang, dia berharap mendapatkan pembayaran tahunan yang sama dan berlanjut selamanya. Berapakah besarnya pembayaran tersebut ? Jawab : solusi dilihat 25 tahun dari sekarang