Bunga Nominal

kebanyakan bank memperhitungkan bunga setiap bulan, bahkan ada yang mingguan. Berarti kita berhadapan pada situasi dimana bunga dibayarkan lebih sering atau beberapa kali dalam setahun. Suku bunga pada kasus ini disebut dengan suku bunga nominal. Simbol untuk suku bunga nominal yang dibayarkan m kali setahun adalah i(m) Dengan suku bunga nominal sebesar i(m), kita artikan tabungan akan mendapat suku bunga sebesar i(m)/m yang dibayarkan m kali setahun, bukan contoh i(12) perbulan.

Contoh. Suku bunga nominal 12% konversi 1 bulanan (m = 12), berarti tiap bulan dikenai bunga 1% (Convertible Monthly) Sebagai contoh, suku bunga nominal 10% konversi 3 bulanan (m = 4) tidak berarti setiap 3 bulan diberi bunga 10%, tetapi bunga yang diberikan adalah 10%/4 = 2,5% setiap 3 bulan. (Payable Quarterly) Demikian juga dengan suku bunga nominal 12% semiannually, bunga diberikan setiap 6 bulan sebesar 12%/2 = 6%. (Compounded Semiannually)

Uang sebesar A mendapat bunga i/4 diberikan setiap 3 bulan sekali Uang sebesar A mendapat bunga i/4 diberikan setiap 3 bulan sekali. Selama 3 bulan di bank, akan bertambah 𝐴 0,25 =𝐴+𝐴× 𝑖 (4) 4 ==𝐴 1+ 𝑖 (4) 4 3 bulan berikutnya, maka uang tersebut akan bertambah menjadi 𝐴 0,5 =𝐴 1+ 𝑖 (4) 4 +𝐴 1+ 𝑖 (4) 4 × 𝑖 (4) 4 =𝐴 1+ 𝑖 (4) 4 2

Dan seterusnya, setelah satu dan dua tahun uangnya akan bertambah menjadi   𝐴 1 =𝐴 1+ 𝑖 (4) 4 4 𝐴[2]=𝐴 1+ 𝑖 (4) 4 4×2 1+ 𝑖 (4) 4 4×2

Secara umum dapat dituliskan nilai akumulasi dari uang kita sebesar A yang mendapat bunga nominal i(m) yang dibayarkan m kali setahun pada waktu ke t adalah 𝐴[𝑡]=𝐴 1+ 𝑖 (𝑚) 𝑚 𝑚×𝑡 dengan t menyatakan tahun.

Contoh. Anda mempunyai rekening 1 jt rupiah di bank, dengan suku bunga nominal 10%. Hitunglah uang anda setelah 1 tahun dengan menggunakan bunga majemuk tahunan dan konversi 3 bulanan. Jawab. Dengan menggunakan suku bunga majemuk tahunan, uang menjadi 1.1 jt. Sedangkan jika dihitung dengan menggunakan bunga majemuk 3 bulanan adalah

Dapat anda lihat bahwa suku bunga nominal 10% konversi tiga bulanan, memberikan suku bunga efektif 10,3813%, yang nilainya lebih besar dari suku bunga tahunan. Cobalah anda hitung dengan bunga majemuk konversi 1 bulanan. Tentu saja akan memberikan suku bunga efektif tahunan yang lebih besar dari suku bunga konversi 3 bulanan.

Berikut diberikan tabel aliran besarnya bunga dan nilai rekening untuk pembungaan nominal   1/m 2/m 3/m m/m Interest i(m)/m (1+ i(m)/m) i(m)/m (1+ i(m)/m)2 i(m)/m (1+ i(m)/m)m-1 i(m)/m Balance 1 1+ i(m)/m (1+ i(m)/m)2 (1+ i(m)/m)3 (1+ i(m)/m)m

Hubungan Antara Suku Bunga Nominal dan Efektif Suku bunga nominal yang diberikan m kali setahun, i(m), tidak sama dengan suku bunga efektif. Jelas i(m) < i. Kita dapat juga mencari besaran i(m) yang membuat bunga nominal memberikan hasil yang ekivalen bunga efektif tahunan, dengan membuat kesamaan.   1+𝑖­­­­= 1+ 𝑖 (𝑚) 𝑚 𝑚 Yaitu uang 1 rupiah yang ditabungkan selama 1 tahun dengan bunga efektif i % = 1 rupiah yang ditabungkan 1 tahun dengan bunga nominal i(m). Akhirnya diperoleh 𝑖 (𝑚) =𝑚 (1+𝑖) 1 𝑚 −1

Contoh. Carilah nilai suku bunga nominal dibayarkan (konvertible) 3 bulanan yang memberikan hasil ekuivalen dengan suku bunga efektif 6% pertahun. Jawab. Dengan menggunakan persamaan di atas, diperoleh 𝑖 (4) =4 (1+0,06) 1 4 −1 =0,058695 =5,8695% Dapat diartikan suku bunga nominal quarterly 5,8695% secara efektif menghasilkan suku bunga 6% dalam waktu setahun.

Berikut akan diberikan contoh tabel hubungan antara suku bunga nominal 1 bulanan, m=12, dengan suku bunga efektif pertahun No Nominal Rate Efektif Rate 1 0,02 0,020184 2 0,03 0,030416 3 0,04 0,040742 4 0,05 0,051162 5 0,06 0,061678 6 0,07 0,07229

Contoh. Pada suku bunga nominal konvertibel triwulanan berapa, uang 1 juta rupiah akan menjadi 1,6 juta rupiah dalam waktu 6 tahun. ? Jawab.

Contoh. Anda mendepositokan 1000 juta ke rekening bank yang memberikan bunga nominal i konvertibel 6 bulanan untuk 7 tahun pertama dan selanjutnya memberi bunga 2i konvertibel triwulanan. Nilai akumulasi rekening anda pada akhir tahun ke 5 adalah X. Sedangkan nilai rekening pada akhir tahun ke 10.5 adalah 1980 juta. Hitunglah nilai X.

Jawab. Pada waktu akhir tahun ke 5 1000(1+i/2)10 = X Pada waktu akhir tahun 10.5 1000(1+i/2)2x7(1+2i/4)3,5x4 = 1980 (1+i/2)10 = 1,901/18

Misal anda mendepositokan 100 juta dengan suku bunga 6% (convertible quaterannualy). Enam bulan berikutnya anda mendepositokan lagi 200 juta. Berapa jutakah uang anda setelah dua tahun dari deposito yang kedua? Rekening P mendapat bunga tunggal sebesar 4% setahun. Sementara itu rekening Q mendapat bunga tunggal sebesar i% pertahun. Uang sebesar 10 juta ditabungkan di rekening P dan 12 juta di rekening Q. Setelah 5 tahun, uang di kedua rekening P dan Q sama. Tentukan besarnya suku bunga i

Bunga Kontinu Kita dapat terus menggunakan pemajemukan setiap jam, setiap menit, setiap detik dan seterusnya sampai tak terbatas (infinity) yang berarti bunga dibayarkan setiap saat. Pemajemukan yang dilakukan secara terus menerus ini disebut pemajemukan berkelanjutan (continuous compounding). Jika pada bunga nominal nilai m→∞ (i(m) = δ), maka diperoleh hasil AV = lim 𝑚→∞ 1+ 𝑖 (𝑚) 𝑚 𝑚𝑡 =𝑒 𝛿𝑡

Suku Bunga Kontinu Cara Lain Force of interest atau suku bunga kontinu pada waktu t didefinisikan sebagai Selanjutnya dengan mengintegralkan formula di atas antara waktu 0 sd t, diperoleh

Jika suku bunga kontinu bernilai tetap selama periode 0 ≤ t ≤ n, δt = δ, maka diperoleh fungsi amount Kita tahu sebelumnya bahwa a(n) = (1+i)n. Selanjutnya diperoleh hubungan antara suku bunga efektif dan kontinu i dan δ sebagai berikut : eδn = (1+i)n, i = eδ-1, δ = ln (1+i)

Contoh. Misal anda punya uang sebesar Rp Contoh. Misal anda punya uang sebesar Rp.1 juta, mendapat bunga efektif tahunan i = 10% dan ditabungkan selama 5 tahun. Pada berbagai periode pemajemukan per tahun, kita mendapatkan nilai akumulasi 5 tahun ke depan sebagai berikut : Periode Formula Future Value Tahunan FV = 1000.000 (1 + 0.1/1)1×5 1.610.510 Semesteran FV=1000.000 (1 + 0.1/2)2×5 1.628.895 Bulanan FV=1000.000 (1 + 0.1/12)12×5 1.645.309 Harian FV=1000.000 (1 + 0.1/365)365×5 1.648.608 Kontinu FV=1000.000e0.10×5 1.648.721

Contoh. Jika diketahui suku bunga kontinu 6%, berapakah suku bunga efektif tahunan yang bersesuaian ? Jawab. Suku bunga efektif dihitung pertahun, untuk t =1. Suku bunga kontinu 6% akan menghasilkan suku bunga efektif tahunan sebesar 1+i = e0,06  i = e0,06 – 1 = 0,06184

Jika diketahui δ(t) = 2/(1+t) , berapakah nilai dari a(t) Jawab :

Soal A10-24 Juni 2013 Dina mendepositokan uangnya USD 5.000 dengan tingkat 5% (compounded annually) untuk 2 tahun pertama dan bunga kontinu dengan δ(t) = 2/(1+t) untuk tahun berikutnya. Berapakah akumulasi deposito setelah 5 tahun ?

Soal A10-24 Juni 2013 Suatu Bank menawarkan beberapa pilihan deposito seperti berikut Deposito tersebut hanya boleh dicairkan pada saat jatuh tempo. Tommy mendepositokan $ 10.000 dan mencairkan modal dan bunganya di akhir tahun ke-6. Hitunglah tingkat bunga efektif maksimum yang bisa diperoleh Tommy. Jangka Waktu Nominal Interest rate Convertible Quarterly 1 4 % 3 5 % 5 5,65 %

Jangka waktu 6 tahun dapat dicapai dari Jangka waktu 3 tahun + 3 tahun. Ieff = (1+0,05/4)^4 - 1 = 0,0509 Jangka waktu 5 tahun + 1 tahun Ieff (5 th) = (1+0,0565/4)^4 - 1 = 0,057708 Ieff (6 th) = 5/6*0,057708 + 1/6*0,04 = 0,0548 Yang maksimum adalah 5,48%

Soal A-10 PAI 2013 Jika diketahui nilai sekarang dari anuitas kontinu = 4 dan nilai akumulasinya = 12 untuk n periode, berapakah nilai δ ? Jawab : (1-vn)/ δ = 4  (1+i)n = 1/(1-4δ) ((1+i)n -1)/ δ = 12 δ = 1/6

Jika diketahui i(4) = 7%, berapakah nilai d(2) ? Jawab : dipunyai rumus d(m) = m (1-(1-d)1/m) ieff = (1+0,07/4)4 – 1 = 0,071859 d= iv = 0,067041 d(2) = 2(1-(1-0,067041)1/2 = 6,82%

Soal A-10 PAI 2013 Dana X terakumulasi pada bunga 8% compounded quarterly. Sedang dana Y 6% compounded semiannually. Diperoleh informasi : Pada akhir tahun ke-5, total dana X adalah 2 kali total dana Y Pada akhir tahun ke-10, total kedua dana adalah 10 juta Berapakah total dana X dan Y di akhir tahun ke-2 ?

Jawab : Pada akhir tahun ke-5 Pada akhir tahun ke-10 X.(1+0,08/4)4.5 = 2.Y.(1+0,06/2)2.5 X = 1.81 Y Pada akhir tahun ke-10 X.(1+0,08/4)4.10 + Y.(1+0,06/2)2.10 = 10 X = 1.724 Y = 3.118 Pada akhir tahun ke-2 total dana X dan Y adalah 1.724 x 1,028 + 3.118 x 1,034 = 5.594,5