Model Indeks Tunggal (Single Index Model – SIM ) Pertemuan ke-9

Dikembangkan oleh William Sharpe (1963) untuk menyederhanakan perhitungan di model Markowitz. Dasar penyederhanaannya adalah, bahwa return saham /sekuritas dipengaruhi oleh satu faktor umum yaitu return indeks pasar saham / sekuritasnya sendiri  berdasarkan pengamatan orang awam bahwa jika indeks saham suatu negara mengalami peningkatan niscaya saham-saham yang ada di dalamnya cenderung naik juga, dan sebaliknya. Ke depannya kita akan menggunakan indeks saham saja. Pendahuluan

Rumus & Komponen Ri = ai + βi . RM Ri = αi + βi . RM + ei ai = αi + ei Ri = return saham ke-i ai = variabel random yang menunjukkan komponen dari return saham ke-i yang independen terhadap kinerja pasar βi = Beta; koefisien yang mengukur perubahan Ri akibat dari perubahan RM RM = tingkat return dari indeks pasar αi = nilai ekspektasi dari return sekuritas yang independen terhadap return ei = kesalahan residu yang merupakan variabel acak; diekspektasikan nilainya adalah nol Rumus & Komponen

Dari rumus sebelumnya dapat kita lihat bahwa terdapat dua komponen utama dalam SIM adalah: Komponen return yang unik; diwakili oleh αi yang tidak punya hubungan / independen terhadap return pasar Komponen return diwakili oleh βi . RM yang punya hubungan / dependen terhadap return pasar Rumus & Komponen

αi hanya mempengaruhi perusahaan tertentu saja (i) dan tidak mempengaruhi perusahaan pada umumnya. Faktor-faktor mikro yang terkait adalah, misalnya, pemogokan karyawan atau kebakaran gudang pabrik. βi merupakan sensitivitas return suatu saham (i) terhadap return pasar. Beta pasar secara konsensus adalah 1. Misalnya, Beta saham A bernilai 1,5 maka dikatakan bahwa setiap perubahan return pasar sebesar 1% akan diiikuti dengan perubahan return sajam A sebesar 1,5% (entah nilainya naik/positif atau turun/negatif) Rumus & Komponen

Rumus & Komponen Return ekspektasi untuk SIM dapat dinyatakan sebagai: E(Ri) = αi + βi . E(RM) Contoh: Estimasikan besarnya return ekspektasi suatu saham ketika diketahui (1) return ekspektasi dari indeks pasar adalah 20% sedangkan (2) return ekspektasi suatu sekuritas yang independen terhadap pasar adalah 4% dan (3) Beta adalah 0,75 E(Ri) = 4% + (0,75) (20%) = 19% Rumus & Komponen

Dari contoh tadi, kita bisa menyatakan bahwa nilai return realisasi berdasarkan model indeks tunggal untuk saham ini adalah Ri = 19% + ei Makna: Jika ternyata nantinya diketahui bahwa return saham tersebut yang sebenarnya adalah 21% itu berarti bahwa terjadi penyimpangan estimasi sebesar 2% Penyimpangan estimasi (kesalahan residu) diharapkan untuk semakin mendekati angka 0  estimasi kita, sebagai investor pengguna SIM, semakin baik. Rumus & Komponen

Asumsi utama: kesalahan residu dari saham ke-i (ei) tidak berkorelasi dengan kesalahan residu dari saham ke-j (ej) Asumsi kedua: return indeks pasar (RM) dan kesalahan residu untuk tiap-tiap sekuritas (ei) merupakan variabel acak  ei tidak berkorelasi dengan RM Implikasi dari kedua asumsi ini  saham-saham bergerak bersama-sama bukan karena efek di luar pasar, melainkan karena mempunyai hubungan yang umum terhadap indeks pasar. Karena asumsi dibuat untuk menyederhanakan masalah, maka seberapa besar model ini dapat diterima dan mewakili kenyataan sebenarnya akan bergantung dari seberapa besar asumsi-asumsi ini realistis. Jika tidak realistis, maka model ini tidak akurat. Asumsi-Asumsi

Varian Return Saham – SIM Rumus varian return saham berdasarkan SIM adalah: σi2 = βi2 . σM2 + σei2 Risiko (varian return) saham yang dihitung berdasarkan model ini terdiri dari dua bagian: risiko yang berhubungan dengan pasar (βi2 . σM2) dan risiko unik masing-masing perusahaan (σei2) Varian Return Saham – SIM

Varian Return Saham – SIM Contoh: Tabel di bawah ini merekam data return saham PT A dan return indeks pasar selama 7 periode waktu dan Beta = 1,7 Periode ke- Return saham PT A (RA) Return indeks pasar (RM) 1 0,060 0,040 2 0,077 0,041 3 0,095 0,050 4 0,193 0,055 5 0,047 0,015 6 0,113 0,065 7 0,112 Rata-Rata 0,09957 0,04586 Varian Return Saham – SIM

Varian Return Saham – SIM E(RA) = αA + βA . E(RM) 0,09957 = αA + (1,7)(0,04586) αA = 0,0216 RA = αA + βA . RM + ei menjadi eA = RA - αA – (βA . RM) Hitung masing-masing kesalahan residu (eA) tiap periodenya! Periode 1 = -0,0296 Periode 5 = 0,0001 Periode 2 = -0,0143 Periode 6 = -0,0191 Periode 3 = -0,0116 Periode 7 = -0,0031 Periode 4 = 0,0779 Varian Return Saham – SIM

Varian Return Saham – SIM Setelah tahu kesalahan residu masing-masing periode, kita bisa mulai mencari total risikonya, yang dilambangkan dengan varian return saham (σA2) Pertama-tama, ingat bahwa kita punya rumus baku yaitu σA2 = βA2 . σM2 + σeA2 yang artinya kita harus mencari tahu nilai dari kedua variabel yang ada di rumus tersebut: varian kesalahan residu yang menunjukkan besarnya risiko tidak sistematik di perusahaan A (σeA2) dan varian dari return pasar yang menunjukkan risiko indeks pasar yang sistematik (σM2) Varian Return Saham – SIM

Varian Return Saham – SIM σeA2 = [ −0,0296 −0 2+ −0,0143−0 2+.. .. .. .. .. .. .. ..+ 0,055−0 2] (7−1) = 0,00768 ÷ 6 = 0,00128 Note: mengapa nol ? Karena sudah disebutkan dalam teori bahwa, secara konstruktif, nilai kesalahan residu diharapkan / diekspektasikan sama dengan nol σM2 = [ 0,040 −0,04586 2+ 0,041−0,04586 2+.. .. .. .. .. .. .. ..+ 0,055−0,04586 2] (7−1) = 0,00156 ÷ 6 = 0,00026 Varian Return Saham – SIM

Varian Return Saham – SIM Risiko sistematik untuk saham perusahaan A yang terjadi karena pengaruh pasar  βA2 . σM2 = (1,7)2.(0,00026) = 0,00075 Sehingga total risiko untuk saham perusahaan A berdasarkan SIM: σA2 = βA2 . σM2 + σeA2 = 0,00075 x 0,00128 = 0,002 Cara alternatif; hanya bisa dipakai jika memang soalnya hanya menyajikan satu perusahaan saja: σA2 = [(0,060 −0,09957)2+ 0,077−0,09957 2+.. .. .. .. .. .. .. ..+ 0,112−0,09957 2] (7−1) = 0,002 Varian Return Saham – SIM

Kovarian Return Antar Saham – SIM Bagaimana jika bukan hanya perusahaan A, tapi ada juga perusahaan B di dalam portofolio kita? Maka kita memakai tambahan variabel bernama Kovarian dalam perhitungan total risiko portofolio kita nantinya. Rumus: σi,j = βi . βj . σM2 Kovarian Return Antar Saham – SIM

Return indeks pasar (RM) Contoh: Tabel di bawah ini merekam data return saham PT A, return saham PT B, dan return indeks pasar selama 7 periode. Beta A = 1,7 dan Beta B = 1,3 Note: karena data dari perusahaan A sama dengan sebelumnya, kita replikasi dulu langkah-langkah yang sudah diterapkan untuk perusahaan A ke perusahaan B Periode ke- Return saham PT A (RA) Return saham PT B (RB) Return indeks pasar (RM) 1 0,060 0,15 0,040 2 0,077 0,25 0,041 3 0,095 0,30 0,050 4 0,193 0,40 0,055 5 0,047 0,27 0,015 6 0,113 0,065 7 0,112 0,55 Rata-Rata 0,09957 0,2957 0,04586

RB = αB + βB . RB + ei menjadi eB = RB - αB – (βB . RM) E(RB) = αB + βB . E(RM) 0,2957 = αB + (1,3)(0,04586) αB = 0,236 RB = αB + βB . RB + ei menjadi eB = RB - αB – (βB . RM) Hitung masing-masing kesalahan residu (eB) tiap periodenya! Periode 1 = -0,1381 Periode 5 = 0,0144 Periode 2 = -0,0394 Periode 6 = -0,1706 Periode 3 = -0,0011 Periode 7 = 0,2424 Periode 4 = 0,0924

σeB2 = [ −0,1381 −0 2+ −0,0394−0 2+.. .. .. .. .. .. .. ..+ 0,2424−0 2] (7−1) = 0,11724 ÷ 6 = 0,01954 Untuk kali ini, karena σM2 sudah ditemukan ketika kita tadi menghitung segala sesuatunya di perusahaan A, maka kita bisa langsung mencari nilai risiko sistematik untuk sekuritas perusahaan B yang terjadi karena pengaruh pasar  βB2 . σM2 = (1,3)2.(0,00026) = 0,00044 Sehingga total risiko untuk saham perusahaan B berdasarkan SIM: σB2 = βB2 . σM2 + σeB2 = 0,00044 x 0,01954 = 0,01998

σP2 = wA.σA2 + wB.σB2 + 2.wA.wB.σA,B Ingat! Karena ada dua perusahaan yang terlibat, maka risiko total portofolio tidak bisa dengan naifnya menjumlahkan antara risiko total PT A dengan PT B. Kita menggunakan bantuan Kovarian. σA,B = βA . βB . σM2 = (1,7)(1,3)(0,00026) = 0,00057 Tambahan soal: asumsikan bahwa bobot dana yang dialokasikan ke saham PT A dan PT B masing-masing adalah 50%. Tentukan risiko total dari portofolionya (σP2)! σP2 = wA.σA2 + wB.σB2 + 2.wA.wB.σA,B σP2 = (0,5)(0,002) + (0,5)(0,00057) + 2(0,5)(0,5)(0,00057) σP2 = 0,0035

Jika kita sudah menemukan risiko total portofolio berisi PT A dan PT B tadi, bagaimana menghitung return portofolio yang diharapkan / diekspektasikan berdasarkan SIM? Ingat bahwa dulu, E(Rp) = 𝑖=1 𝑛 𝑤𝑖 .𝐸(𝑅𝑖) yang artinya bahwa secara naif kita tinggal menjumlahkan hasil perkalian antara bobot PT A dan return PT A yang diharapkan (dari rata-ratanya) dengan bobot PT B dan return PT B yang diharapkan (dari rata-ratanya) Tapi di sini kita bicara tentang Model Indeks Tunggal (SIM). Maka caranya harus sesuai dengan logika penggunaan SIM.

Rumus (sesuai dengan SIM): E(Rp) = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒘𝒊 . α𝒊 + 𝒊=𝟏 𝒏 𝒘𝒊 . βi . 𝑬(𝑹M) Jika diimplementasikan dari contoh kita barusan: E(Rp) = 𝒘𝑨 . α𝑨 + 𝒘𝑩 . α𝑩 +𝒘𝑨 . βA . 𝑬(𝑹M) +𝒘𝑩 . βB . 𝑬(𝑹M) E(Rp) = (0,5)(0,0216) + (0,5)(0,236) + (0,5)(1,7)(0,04586) + (0,5)(1,3)(0,04586) E(Rp) = 0,19139 atau 19,14% (dibulatkan)