RUANG VEKTOR REAL Kania Evita Dewi

Definisi Vektor adalah besaran yang mempunyai arah. Notasi: Notasi panjang vektor: Vektor satuan  Vektor dengan panjang atau norm sama dengan satu

Operasi vektor Penjumlahan antar vektor Misalkan dan adalah vektor – vektor yang berada di ruang yang sama, maka vektor didefinisikan

Operasi Vektor 2 Perkalian vektor Perkalian dengan skalar dengan skalar k, didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang vektor dengan arah Jika k > 0  searah dengan Jika k < 0  berlawanan arah dengan

Ruang Vektor Misalkan dan V dikatakan Ruang Vektor jika terpenuhi aksioma:

LATIHAN Misal V=R2 adalah himpunan vektor-vektor yang didefinisikan sebagai berikut dan Misal dengan penambahan matriks dan perkalian skalar

SUBRUANG Jika S adalah himpunan bagian tidak kosong dari suatu ruang vektor V dan S memenuhi syarat-syarat berikut ini maka berlaku: a) jika Untuk sebarang skalar k b) jika Maka S disebut subruang dari V

LATIHAN Cek apakah himpunan berikut subruang. Semua vektor yang berbentuk Matriks

Definisi Kombinasi linier Sebuah vektro w dinamakan kombinasi linier vektor-vektor dari v1, v2, …, vr jika vektor tersebut dapat ditulis dalam bentuk dimana k1, k2, …, kr adalah skalar

contoh Tentukanlah kombinasi linier dan

Definisi merentang Jika v1, v2, …, vr adalah vektor-vektor pada ruang vektor V dan jika masing-masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier v1, v2, …, vr maka dapat dikatakan vektor- vektor ini merentang.

contoh Tentukan apakah vektor-vektor yang diberikan dibawah ini merentang R3.

Definisi Bebas linier Jika S = {v1, v2, …, vr} adalah himpunan vektor, maka persamaan vektor Mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yakni Jika ini adalah satu-satunya pemecahan, maka S dinamakan himpunan bebas linier. Tetapi jika ada solusi lain maka S dikatakan himpunan tak bebas linier.

teorema Himpunan S dengan dua vektor atau lebih adalah Tak bebas linier jika dan hanya jika paling tidak satu diantara vektor S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor S lainnya. Bebas linier jika dan hanya jika tidak ada vektor S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor S lainnya.

teorema Jika sebuah himpunan mengandung vektor nol, maka himpunan itu tak bebas linier. Sebuah himpunan yang mempunyai persis dua vektor takbebas linier jika dan hanya jika salah satu vektor adalah perkalian vektor lainnya dengan skalar.

contoh Yang manakah diantara himpunan-himpunan vektor berikut pada R3 berbentuk tak bebas linier?

Definisi BASIS NB: Basis untuk setiap ruang vektor tidak tunggal Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S = {v1, v2, …,vr} merupakan himpunan berhingga dari vektor-vektor pada V, maka S dinamakan basis untuk V jika S bebas linier S merentang V NB: Basis untuk setiap ruang vektor tidak tunggal

contoh Jelaskan mengapa himpunan-himpunan vektor dibawah ini bukan merupakan basis untuk ruangan yang ditunjukkan.

Definisi dimensi Dimensi adalah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis untuk V. Catatan: Ruang vektor nol mempunyai dimensi nol

teorema Jika S = {v1, v2, …, vn} adalah sebuah himpunan n vektor bebas linier pada sebuah ruang V yang berdimensi n, maka S adalah sebuah basis untuk V. Jika S = {v1, v2, …, vn} adalah sebuah himpunan n yang merentang ruang V yang berdimensi n, maka S adalah sebuah basis untuk V.

contoh Tentukanlah dimensi dan basis untuk ruang pemecahan sistem berikut.

Vektor Koordinat Vektor Koordinat terhadap basis B adalah: Misalkan V adalah ruang vektor dengan basis B = {v1, v2, …, vn} dan Vektor Koordinat terhadap basis B adalah: Vektor koordinat terhadap suatu basis tertentu adalah tunggal

Contoh Tentukan vektor koordinat terhadap basis

Latihan vektor koordinat Tentukan vektor koordinat terhadap basis: 1. 2.

Matriks transisi Misalkan B = {b1, b2, …,bn} dan U = {u1, u2, …,un} basis untuk ruang vektor V. Matriks transisi dari B ke U adalah Dan memenuhi persamaan

Contoh Jika ke dimana dan tentukan Carilah matriks transisi dari perubahan basis ke dimana dan Jika tentukan

Latihan matriks transisi Tentukan matriks transisi dari basis {u1, u2} ke {v1, v2} Misalkan V = {v1, v2, v3} dan U = {u1, u2, u3} dan V dan U adalah basis R3, dimana Tentukan matriks transisi dari basis U ke V Jika , tentukan vektor koordinat x terhadap basis U

Rank dan nulitas Jika A adalah matriks mxn maka subruang Rm yang direntang oleh vektor-vektor baris dari A disebut ruang baris dari A. Subruang dari Rn yang direntang oleh vektor-vektor kolom dari A disebut ruang kolom dari A. Ruang penyelesaian dari sistem persamaan homogen adalah subruang dari Rn disebut ruang null/ruang kosong dari A dinotasikan N(A)

Contoh Misal Tentukan vektor baris dan vektor kolom matriks A

Teorema NB: untuk ruang baris transpose ruang kolom Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris sebuah matriks Vektor-vektor baris taknol berbentuk eselon baris dari matriks A membentuk basis untuk ruang kolom A. NB: untuk ruang baris transpose ruang kolom

Contoh Misal Tentukan basis untuk ruang baris dan ruang kolom

Definisi Dimensi ruang baris atau ruang kolom matriks A dinamakan rank A dan dinyatakan dengan rank(A). Nulitas adalah dimensi dari ruang nol. Pada umumnya jumlah rank dan nulitas akan selalu sama dengan banyak kolom dari matriks.

Contoh 1 Tentukan basis dan dimensi dari ruang kosong A jika ada

Contoh 2 Tentukan basis dari ruang yang direntang oleh vektor-vektor berikut ini!