P ertemuan 13 Distribusi Teori J0682

Tujuan Belajar Setelah mempelajari bab ini, Mahasiswa diharapkan mampu: Menjelaskan arti bebrapa jenis distribusi teoretis, seperti distribusi binomial, distribusi poisson, distribusi hypergeometrik, distribusi normal Memahami aplikasi berbagai jenis distribusi tersebut dalam menyelesaikan berbagai permasalahan

D D D D Materi istribusi Binomial istribusi Poison istribusi Hypergeometrik istribusi Normal D D D

1 2 Buku Acuan edisi keenam, halaman 31 – 82 Statistika, (2000) kar. J. Supranto, jilid 2 Chap.01 edisi keenam, halaman 31 – 82 Statistika, Teori dan Aplikasi (2001), Bab 10, 11, dan 12, kar. Wayan Koster, edisi pertama, halaman 289 – 371 1 2

Distribusi Teori Dua uang logam berisi muka m dan belakang b maka himpunannya apabila dilempar bersama sama S = {(mm),(mb),(bm),(bb)} misalkan : yang mengandung m dihitung (bb) => 0 (bm) => 1 jadi Rx = {0,1,2} (mb) => 1 (mm) => 2 X = S => Rx Relasi x pada S ke himpunan bagian bilangan rill Rx

Distribusi Probabilitas X=x 0 1 2 3 P(X=x) 1/4 1/2 ¼ Penulisannya : Distribusi x (x1,P(X=x1)),(x2,P(X=x2)),(x3,P(X=x3)) Bagaimana kalau 3 mata uang logam distribusi probabilitas x S={(mmm),(mmb),(mbm),…dll…(bbb)} 0 1 2 3 1/8 3/8 3/8 1/8

Nilai Harapan Nilai harapan atau ekspektasi matematis atau harapan teoritis dari x yang ditulis E(x) Rumus x f(x)= x P(X=x) jika x diskrit E(x)= x  f(x)dx jika x kontinyu

Contoh ~ Pada lemparan 3 mata uang logam, Berapa nilai harapan E(x) =  x f(x) = P(X=x) = (0)1/8 + (1)3/8 + (2)3/8 + 3(1/8) = 1,5 —|——|— E(x)—|———| 0 1 1,5 2 3 Kegunaan Nilai Harapan Mean populasi  = E(x) Variansi populasi 2 = E {(x-)2}= E(x2)-2

3. Standar deviasi   = 2 Contoh: Tentukan mean dan standar devasi dari banyaknya muka pada lemparan 3 mata uang logam. Jawab: Mean  = E(x) = 1,5 Variansi 2 = E(x2)-2 3 E(x2) =  x2 P(X=x) = (0)2 P(X=0) + (1)2 + P(X=1) x=0 + (2)2(P(X=2) + (3)2 P(X=3)

= (0)1/8 + (1)3/8 + (4)3/8 +(9)1/8 = 24/8 = 3 Maka 2 = 3- (1,5)2 = 24/8 = 3 Maka 2 = 3- (1,5)2 = 3- 2,25 = 0,75 Jadi standar deviasi  = 0,75 = 0,87 Rumus Binom lain  = E(x) = np  = E[x –E(x)]2 = E[x – np]2 = npq  = npq

Distribusi Poisson Distribusi Poisson(Perancis, Simoon Denis Poisson 1781-1840) hampir sama dengan binom hanya poisson untuk menghitung n > 100 (n besar) dan p < 0,05 (p kecil) Contoh binom P ( X=4) dengan n =100 = 100! Atau 196! 4!(100-4)! 5!(196-5)! Menghitung ini sulit walaupun mungkin bisa dengan kalkulator :memakan waktu dan h

Hasilnya semakin melenceng Soal diatas dengan poisson lebih mudah. Misal perhitungan poisson • Dering telepon dalam 1 jam di kantor • Banyaknya kesalahan ketik dalam 1 hal skripsi Rumus Poisson P(x)= x e-  = rata-rata distribusi x! e = eksponensial=konstanta =2,71828

Contoh : Tuan Bimo menjual mobil mewahnya dengan memasang iklan pada sebuah surat kabar yang mencapai 100000 pembaca. Dengan anggapan nilai probabilitas, bahwa seorang yang membaca iklan tersebut berminat akan membeli mobil p =1/50000. Jika dari 100000 pembaca ada 2 orang yang berminat membeli mobil( p= 0,00002) dan x= banyaknya pembaca yang berminat. Berapa P(X=0), P(X=1) ,P(X=2), P(X=3) dan P(X=4)

Jawab: n = 100000 (n terlalu besar) P = 1/50000 (p terlalu kecil) = np = (100000)(1/50000) = 2 (rata-rata) Diharapkan 2 orang pembaca akan menanyakan keadaan mobil

P(1)= 0,2707 P(2)= 0,2707 P(3)= 0,1804 P(4)= 0,0902 P(5)= 0,0361 x P(x) = x e- x! 0 P(0)= 0,1353 P(1)= 0,2707 P(2)= 0,2707 P(3)= 0,1804 P(4)= 0,0902 P(5)= 0,0361 P(6)= 0,0002 P(0)= 0,1353 = 20 (2,718)-2 0!

P(9) = 29 (2,718) –2 = (512) (0,135363) 9! 362880 Atau dengan tabel poisson dengan  = 2 Contoh: Seorang pemilik pabrik rokok akan promosi penjualan.Diantara 1000 batang rokok terdapat 5 batang yang bertuliskan”berhadiah” dicampur secara acak

X= banyaknya batang rokok yang bertuliskan”berhadiah” dari 1 bungkus berisi 20 batang. Berapa P(X=0),P(X=1),P(X=2), dan P(X=4) Jawab: N = 20 P = 5/1000 = 0,005 = np = 20 (0,005) = 0,1 x 0 1 2 4 P(x) 0,9048 0,0905 0,0045 0,0000

Seorang kepala bagian kredit dari suatu bank beranggapan bahwa 4 % dari nasabahnya marasa tidak puas dengan pelayanan bank. Kemudian 50 nasabah dipilih secara acak. X = banyaknya nasabah tidak puas Hitung P(X) untuk x=2 dan x=9 Jawab: n = 50 = 50 (0,04) = 2 P(x=2) = 0,2707 P(x=9) = 0,0002

Hipergeometrik Sangat erat dengan distribusi binom. Hanya pada hipergeometrik, percobaannya tidak bebas(independent) tapi dependent artinya antara percobaan yang satu dengan yang lainnya sangat berkait. Notasi : r = jumlah unit/elemen dalam populasi berukuran n yang dikategorikan sukses n = jumlah percobaan N-r = jumlah unit yang gagal

N = jumlah elemen dalam populasi Rumus: P(X) = rCx N-rC n-x , 0  x  r NC n Contoh : Sebuah anggota komite terdiri 5 orang, dimana 3 adalah wanita dan 2 laki-laki. Misalkan 2 orang dari 5 anggota tsb dipilih untuk mewakili delegasi dalam sebuah konvensi.

• Berapa probabilitas bahwa dari pemilihan acak didapat 2 wanita • Berapa probabilitas kalau 1 laki-laki 1 wanita. Jawab : n =2 N =5 r =3 x=2 3! 2! • P (2) = 3C2 2C0 = 2! 1! 2! 0! = 3/10 5C 2 5! 2! 3! = 0,3

3! 2! • P(1) = 3C 1 2C1 = 1! 2! 1! 1! = 6/10 =0,6 5C 2 5! 2! 3! Jadi probabilitas terpilih 1 orang wanita dan I orang pria = 0,6 Soal : Pengurus himpunan mahasisiwa ada 15 orang. 10 orang pria dan 5 wanita. Sampel 5 orang anggota dipilih secara acak untuk menghadiri seminar. Hitung apabila :

Semua wanita • Semua pria • Paling sedikit 1 pria • 2 wanita, 3 pria dan bila 1 wanita dan 1 pria tertentu harus ikut Jawab: • Banyaknya sampel yang bisa dibentuk ialah 15 = 3003, yang masing-masing 5 mempunyai peluang yang sama

Sedangkan sampel terdiri 5 wanita = 5 10 = 1 cara maka P(5w) = 1/3003 5 0 10 5 • P(5L) = 5 0 = 12/143 15 5 • P(L > 1 ) = P(1L)+P(2L)+P(3L)+P(4L)+P(5L) = 1- P(0L) = 1 – P(5w) = 3002/3003

Seorang pria dan seorang wanita harus ikut, berarti tinggal 9 pria dan 4 wanita yang harus dipilih untuk membentuk sampel yang terdiri dari 1 wanita dan 2 pria sehingga : P(2w dan 3L ; 1w dan 1L harus ikut) = 4 9 1 2 = 72/143 13 3

Combinasi dan Permutasi Permutasi(P) mis: huruf, misal: himpunan {a,b,c} n =3 •Kita ambil 1 per satu r=1 susunannya : a b c •Kita ambil 2 dua r=2 susunannya ab ac bc ba ca cb Disini ab tidak sama dengan ba karena a pada susunan pertama letaknya berbeda dengan a pada susunan kedua Rumus : nPr = n! Cara lain penulisan nPr (n-r)! atau P(n,r)

P = susunan yang dibentuk dari anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan dan memberi arti pada urutan anggotanya. Combinasi ( C ) Himpunan {a,b,c} • Diambil dua-dua r=2 ab ba ac ca bc cb disini ab=ba ac=ca bc=cb

Rumus : nCr = n = n! dapat ditulis C(n,r) r r! (n-r)! Atau C n,r C = susunan yang dibentuk dari anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota tanpa memberi arti atau tidak diperhatikan Bila dari himpunan {a,b,c,d} diambil 3 objek maka banyaknya C dan P

C Permutasi Abc abc acb bac bca cab cba Acd abd adb bad cda dab dba Abd acd adc cad bda dac dca bcd bcd bdc cbd cdb dbc dcb 4 4 x 6 = 24 4P 3 = 24 4C 2 = 4 Contoh : Ada 4 orang bernama A B C D bila dipilih 2 orang, ada berapa banyak pilihan ?

Jawab: 4 = 6 AB AC AD BC BD CD 2 Suatu kelompok terdapat 4 kimiawan dan 3 fisikawan, buatlah panitia 3 orang yang terdiri dari 2 kimiawan dan 1 fisikawan Jawab : Misalkan kimiawan={K1,K2,K3,K4} fisikawan={ F1,F2,F3 } 2 kimiawan dipilih dari 4 = 4 = 6

1 fisikawan dipilih dari 3 = 3 = 3 Banyak panitia = 6 x 3 = 18

►Selamat Mengikuti Ujian Akhir