Faktorisasi Faktorisasi fungsi adalah menguraikan ruas utama fungsi tersebut menjadi bentuk perkalian ruas-ruas utama dari dua fungsi yang lebih kecil. f(x, y) = g(x, y). h(x, y) Persamaan 2x2 – xy – y2 = 0 faktorisasi persamaan di atas menghasilkan : (x – y) (2x + y) = 0

Faktorisasi: metode abc Persamaan Fungsi: ax2 + bx + c = 0 Kalikan a.c = d Cari alternatif perkalian dua angka misalnya “e.f “ sehingga hasil kalinya sama dengan “d” dan jumlahnya sama dengan “b”. (e).(f) = d dan e + f = b Substitusikan “e” dan “f” kedalam persamaan sehingga: ax2 + bx + c = ax2 + (ex +fx) + c = (ax2 + ex) + (fx + c) = 0 Faktorisasi persamaan menjadi: ax2 + bx + c = (x ± g) (x ± h) = 0 5. Hasil akhir: x1 = g dan x2 = h. http://rosihan.web.id

Tentukan nilai x dengan metoda abc dari persamaan: 6x2 + 11x + 4 = 0 Jawab: a = 6; b = 11; c = 4  a.c = (6).(4) = 24 24 Jumlah 1 25 12 2 14 8 3 11 6 4 10 6x2 + 11x + 4 = (6x2 + 3x) + (8x + 4) = 0 3x(2x +1) + 4(2x + 1) = 0 (3x + 4) (2x + 1) = 0  x1 = - 4/3; x2 = - ½

Rumus abc: 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 → 𝑥 2 + 𝑏 𝑎 𝑥+ 𝑐 𝑎 =0 𝑥 2 + 𝑏 𝑎 𝑥+ 𝑏 2 4 𝑎 2 = 𝑏 2 4 𝑎 2 − 𝑐 𝑎 → 𝑥+ 𝑏 2𝑎 2 = 𝑏 2 −4𝑎𝑐 4 𝑎 2 𝑥+ 𝑏 2𝑎 =± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 1 2 2𝑎 → 𝑥 1, 𝑥 2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 http://rosihan.web.id

6x2 + 11x + 4 = 0 𝑥 1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥 1,2 = −11± 11 2 −4(6)(4) 12 𝑥 1,2 = −11± 121−96 12 → 𝑥 1,2 = −11± 25 12 𝑥 1 = −11+5 12 =− 1 2 ; 𝑥 2 = −11−5 12 =− 4 3 http://rosihan.web.id

Latihan Gambarkan kurva dari persamaan 2x2 – xy – y2 = 0 y3 + xy2 – xy – y2 = 0

Gambarkan kurva dari persamaan 2x2 – xy – y2 = 0 Faktorisasi: (x – y)(2x + y) = 0  Gambar kurva terdiri atas dua garis lurus x – y = 0 dan 2x + y = 0 x – y = 0 2x + y = 0 x y

Gambarkan kurva dari persamaan y3 + xy2 – xy – x2= 0 Faktorisasi: y3 + xy2 – xy – x2 = 0  (y3 + xy2) + (– xy – x2) =0 (y3 + xy2) – (xy + x2) =0 y2 (y + x) – x(y + x) = 0 (y2 – x)(y + x) = 0 (y2 – x) = 0 (y + x) = 0 y x

Persamaan x3 – y2 = 9 a. Cari penggal ke sumbu x dan y b. Selidiki kesimetrian kurvanya c. Selidiki batas perpanjangan kurvanya 2. Buktikan x4 – 9x2 + y2 = 0 a. Simetri thd titik pangkal b. Tidak mempunyai asymtot vertikal dan horizontal

#1. x3 – y2 = 9 Penggal sumbu x dan sumbu y : Titik potong sumbu x → y = 0→ x3 = 9 → x = 3 9 Titik potong sumbu y → x = 0→ y = ± 3 Kesimetrian kurva: f(-x,y) = (-x)3 – y2 = – x3 – y2 ≠ f(x,y) = x3 – y2 = 0 → tidak simetri terhadap sumbu y. f(x,-y) = x3 – (-y)2 = x3 – y2 = f(x,y) = 0 → simetri thd sumbu x f(-x,-y) = (-x)3 – (-y)2 = – x3 – y2 ≠ f(x,y) = 0 → tidak simetri thd titik pangkal (0,0). Batas perpanjangan kurva : 𝑦= 𝑥 3 −9 → perpanjangan searah sb x hanya berlaku utk x3 ≥ 9 𝑥= 3 𝑦 2 +9 → perpanjangan searah sumbu y tidak terbatas.

#2 x4 – 9x2 + y2 = 0 Kesimetrian: f(-x,-y) = (-x)4 – 9 (-x)2 + (y)2 = x4 – 9x + y2 = 0 → simetri terhadap titik pangkal. Asymtot: y2 = – x4 + 9x2 → y2 = – x4 + 9x2 = (x2 – 3x) (– x2 – 3x) jika y→ +~ maka x→ +~ jika y → – ~ maka x→– ~  asymtot vertikal tidak ada. jika x → +~ maka y → +~ jika x → - ~ maka y → - ~  asymtot horizontal tidak ada.

Hubungan Linear Jumat, 18 Oktober 2013 http://rosihan.web.id

Materi yang dipelajari Penggal dan lereng garis lurus Pembentukan Persamaan Linear - Cara dwi- kordinat - Cara koordinat- lereng - Cara Penggal lereng - Cara dwi- penggal Hubungan dua garis lurus Pencarian Akar- akar persamaan linear Cara substitusi Cara eliminasi Cara determinan http://rosihan.web.id

Hubungan sebab- akibat antara berbagai variabel ekonomi Hubungan linear: Hubungan sebab- akibat antara berbagai variabel ekonomi Misalnya antara permintaan dan harga, antara investasi dan tingkat bunga, dapat dengan mudah dinyatakan serta diterangkan dalam bentuk fungsi. Hubungan linear merupakan bentuk yang paling dasar dan paling sering digunakan dalam analisis ekonomi. P Q Qs QD P* Q* P = a1 – b1Q P = a2 + b2Q http://rosihan.web.id

PENGGAL DAN LERENG GARIS LURUS fungsi linear atau fungsi berderajat satu ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu. Bentuk umum persamaan linear adalah y = a + bx a adalah penggal garisnya pada sumbu vertical – y (pada saat nilai x = 0), sedangkan b adalah koefisien arah atau lereng garis yang bersangkutan (kemiringan). y Koefesien arah a y = a – bx x a/b http://rosihan.web.id

a: penggal garis y= a + bx, yakni nilai y pada x = 0 1 2 3 4 5 x y y = a + bx ∆x ∆y=b b a: penggal garis y= a + bx, yakni nilai y pada x = 0 b: lereng garis, yakni pada x = 0, pada x = 1, pada x = 2, lereng fungsi linear selalu konstan http://rosihan.web.id

Dalam kasus- kasus tertentu, garis dari sebuah persamaan linear dapat berupa garis horizontal sejajar sumbu - x atau garis vertical sejajar sumbu - y. Hal ini terjadi apabila lereng garisnya sama dengan nol, sehingga ruas kanan persamaan hanya tinggal sebuah konstanta yang melambangkan penggal garis tersebut. http://rosihan.web.id

y x a c x = c y=a 0 y = c – x  x = c y = a berupa garis lurus sejajar sumbu horizontal x, besar kecilnya nilai x tidak mempengaruhi nilai y x = c berupa garis lurus sejajar subu vertikal y, besar kecilnya nilai y tidak mempengaruhi nilai x y = a + 0 x  y = a http://rosihan.web.id

PEMBENTUKAN PERSAMAAN LINEAR Pada prinsipnya persamaan linear bisa dibentuk berdasarkan dua unsur. Unsur tersebut dapat berupa penggal garisnya, lereng garisnya, atau koordinat titik- titik yang memenuhi persamaannya. empat macam cara yang dapat ditempuh untuk membentuk sebuah persamaan linear 1. Dwi koordinat 2. cara koordinat- lereng 3. cara penggal- lereng 4. cara dwi- penggal http://rosihan.web.id

Cara Dwi- Koordinat Apabila diketahui dua buah titik A dan B dengan koordinat masing- masing (x1, y1) dan (x2, y2), maka rumus persamaan linearnya adalah: y x A (x1, y1) B (x2, y2) = A(3; 2) dan B(7; 12)  (y – 2)/(12 – 2) = (x – 3)/(7 – 3) 4(y – 2) = 10(x – 3)  y = 2,5 x – 5,5 http://rosihan.web.id

y – y1 = (a + bx) – (a + bx1) = b(x – x1) y – y1 = x – x1 y2 – y1 = x2 – x1 http://rosihan.web.id

Cara Koordinat- Lereng Apabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat (x1, y1) dan lereng garisnya adalah b, maka rumus persamaan linearnya adalah: y – y1 = b (x – x1) b = lereng garis Contoh: A(5; 8) dan b = 3  y – 8 = 3 (x – 5) y = 3x – 7 Bukti: y – y1 = (a + bx) – (a + bx1) y – y1 = b(x – x1) http://rosihan.web.id

Cara Penggal- Lereng y = a + bx; (a= penggal, b= lereng) Sebuah persamaan linear dapat pula dibentuk apabila diketahui penggalnya pada salah satu sumbu dan lereng garis yang memenuhi persamaan tersebut. y = a + bx; (a= penggal, b= lereng) Jika x = 0 maka y = 4; b = 2  y = 4 + 2x Jika y = 0 maka x = 12; b = 0.75  y = a + 0,75 x 0 = a + 0,75 (12)  a = - 8 y = - 8 + 0,75 x http://rosihan.web.id

Cara Dwi-Penggal Sebuah persamaan linear dapat dibentuk apabila diketahui penggal garis tersebut pada masing- masing sumbu, penggal pada sumbu vertical (ketika x = 0) penggal pada sumbu horizontal (ketika y = 0). Apabila a dan c masing-masing ádalah penggal pada sumbu- sumbu vertikal dan horizontal dari sebuah garis lurus, maka persamaan garisnya adalah : y x A P b B c 1 2 3 4 5 6 a a = penggal vertikal c = penggal horizontal y = a + bx x = 0  y = a y = 0  x = (- a/b) = c  b = -a/c  y = a + bx = a – (a/c) x http://rosihan.web.id

Menurut cara dwi koordinat, rumus persamaan linear adalah : Lereng sebuah garis lurus tak lain adalah hasil bagi selisih antara dua ordinat(y2 – y1) terhadap selisih antara dua absis (x2 - x1). Lereng = b = y2 – y1 x2 – x1 Menurut cara dwi koordinat, rumus persamaan linear adalah : ↓ lereng persamaan linear http://rosihan.web.id

Bila di uraikan : http://rosihan.web.id

Resume: CARA RUMUS SYARAT Dwi koordinat y – y1 = x – x1 Dua buah titik A(x1; y1) dan B(x2; y2) Koordinat lereng Y – y1 = b(x – x1) Satu buah titik A(x1; y2) dan lereng garis (b). Penggal lereng y = a + bx Titik penggal sumbu y (a) dan lereng garis (b) Penggal lereng (variasi) Y = a + bx Titik penggal sumbu-x (c = -b/a) dan lereng garis. Dwi penggal y = a – (a/c) x Penggal sumbu y (a) dan sumbu x (c) http://rosihan.web.id

HUBUNGAN DUA GARIS LURUS Dalam sistem sepasang sumbu silang, dua buah garis lurus mempunyai empat macam kemungkinan bentuk hubungan yang: berimpit, sejajar, berpotongan dan tegak lurus. http://rosihan.web.id

Berimpit : y1 = a1 + b1x y1 = ny2 y2 = a2 + b2x a1 = na2 b1 = nb2 Sejajar : a1 ≠ a2 b1 = b2 y1 = a1 + b1x y2 = a2 + b2x http://rosihan.web.id

y1 = a1 + b1x Berpotongan : b1 ≠ b2 y2 = a2 + b2x Tegak Lurus : http://rosihan.web.id

PENCARIAN AKAR- AKAR PERSAMAAN LINEAR Pencarian besarnya harga bilangan- bilangan anu dari beberapa persamaan linear, dengan kata lain penylesaian persamaan- persamaan linear secara serempak (simultaneously), dapat dilakukan melalui tiga macam cara : cara substitusi cara eliminasi cara determinan http://rosihan.web.id

Cara Substitusi Dua persamaan dengan dua bilangan anu dapat diselesaikan dengan cara menyelesaikan terlebih dahulu sebuah persamaan untuk salah satu bilangan anu, kemudian mensubstitusikannya ke dalam persamaan yang lain. Contoh : Carilah nilai variable- variable x dan y dari dua pers: 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23 Jawab: x + 4y = 23 → x = 23-4y 2x + 3y = 21 2(23 – 4y) + 3y = 21 46 – 8y + 3y = 21  46 – 5y = 21→ y = 5; x = 23 – 4(5) = 3 http://rosihan.web.id

Cara Eliminasi Dua persamaan dengan dua bilangan anu dapat diselesaikan dengan cara menghilangkan untuk sementara (mengeliminasi) salah satu dari bilangan anu yang ada, sehingga dapat dihitung nilai dari bilangan anu yang lain. http://rosihan.web.id

Cara Determinan Cara determinan bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang jumlahnya banyak. Determinan secara umum dilambangkan dengan notasi http://rosihan.web.id

= (a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32) – (a31.a22.a13 + a32.a23.a11 + a33.a21.a12) http://rosihan.web.id

𝐷 𝑥 = 𝑐 𝑏 𝑓 𝑒 =𝑐𝑒−𝑏𝑓 𝐷 𝑦 = 𝑎 𝑐 𝑑 𝑓 =𝑎𝑓−𝑐𝑑 ax + by = c dx + ey = f 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑥 𝑦 = 𝑐 𝑓 𝐷= 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 =𝑎𝑒−𝑏𝑑 𝐷 𝑥 = 𝑐 𝑏 𝑓 𝑒 =𝑐𝑒−𝑏𝑓 𝐷 𝑦 = 𝑎 𝑐 𝑑 𝑓 =𝑎𝑓−𝑐𝑑 𝑥= 𝐷 𝑥 𝐷 = 𝑐𝑒−𝑏𝑓 𝑎𝑒−𝑏𝑑 𝑦= 𝐷 𝑦 𝐷 = 𝑎𝑓−𝑐𝑑 𝑎𝑒−𝑏𝑑 http://rosihan.web.id

Penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan : Ada 2 persamaan : ax + by = c dx + ey = f Penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan : Determinan http://rosihan.web.id

dengan cara determinan Contoh 2x + 3y = 21 x + 4y = 23 Selesaikan dengan cara determinan http://rosihan.web.id

2𝑥+3𝑦=21 𝑥+4𝑦=23 2 3 1 4 𝑥 𝑦 = 21 23 𝐷= 2 3 1 4 =8−3=5 𝐷 𝑥 = 21 3 23 4 =84−69=15 𝐷 𝑦 = 2 21 1 23 =46−21=25 𝑥= 𝐷 𝑥 𝐷 = 15 5 =3 𝑦= 𝐷 𝑦 𝐷 = 25 5 =5 http://rosihan.web.id

Penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan : Contoh : 2x + 3y = 21 x + 4y = 23 Penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan : http://rosihan.web.id

Carilah x, y dan z dari persamaan: x + 2y – z = 0 2x + 5y + 2z = 14 Carilah nilai variable- variable x dan y dari dua pers: 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23 Carilah x, y dan z dari persamaan: x + 2y – z = 0 2x + 5y + 2z = 14 y – 3z = – 7 http://rosihan.web.id

http://rosihan.web.id

PENERAPAN DALAM EKONOMI Penerapan Fungsi Linear dalam Teori Ekonomi Mikro Fungsi permintaan, fungsi penawaran dan keseimbangan pasar Pengeruh pajak-spesifik terhadap keseimbangan pasar Pengaruh pajak-proporsional terhadap keseimbangan pasar Pengaruh subsidi terhadap keseimbangan pasar Keseimbangan pasar kasus dua macam barang Fungsi biaya dan fungsi penerimaan Keuntungan, kerugian dan pulang-pokok Fungsi anggaran Penerapan Fungsi Linear dalam Teori Ekonomi Makro Fungsi konsumsi, fungsi tabungan dan angka-pengganda Pendapatan disposibel Fungsi pajak Fungsi investasi Fungsi impor Pendapatan Nasional Analisis IS-LM http://rosihan.web.id

Fungsi permintaan, penawaran dan keseimbangan pasar Bentuk umum fungsi permintaan Q = a - bP atau Kurva permintaan a Q P Bentuk umum fungsi penawaran Q = - a + bP atau Kurva penawaran -a http://rosihan.web.id Q

Qd = Qs Keseimbangan pasar P -a a Q Qs E Pe Qd Qe Qe Q http://rosihan.web.id

Pengaruh pajak terhadap keseimbangan pasar: Fungsi permintaan: P= 15 – Q Fungsi penawaran: P = 3 + 0,5 Q Terhadap barang tersebut ddikenakan pajak 3 per unit. Berapa keseimbangan harga dan kesimbangan barang sebelum dikenakan pajak? Berapa keseimbangan harga dan keseimbangan barang setelah dikenakan pajak? http://rosihan.web.id

Keseimbangan sebelum dikenakan pajak: 15 – Q = 3 + 0,5 Q → Q = (12) (2/3) = 8 P = 15 – 8 = 7 Keseimbangan setelah dikenakan pajak: Penawaran setelah dikenakan pajak: P = (3 + 0,5 Q) + 3 Keseimbangan: 15 – Q = 6 + 0,5 Q → Q = (9) (2/3) = 6 P = 15 – 6 = 9 http://rosihan.web.id

P P = 6 + 0,5 Q P= 15 – Q 9 7 P = 3 + 0,5 Q Q 6 8 http://rosihan.web.id

Pengaruh subsidi: Fungsi permintaan: P = 15 – Q Fungsi penawaran : P = 3 + ½ Q Subsidi sebesar 2 per unit barang yang di produksi. Berapa keseimbangan sebelum kebijakan subsidi dan berapa keseimbangan setelah subsidi? Jawab: Sebelum subsidi: 15 – Q = 3 + ½ Q  Q = 8 dan P = 7. Sesudah subsidi:15 – Q = 3 +½ Q – 2 Q= 9⅓ dan P=5⅔ Subsidi yg dinikmati konsumen per unit barang = 7 - 5⅔ = 1⅓ Subsidi yg dinikmati produsen per unit barang = 2 – 1⅓ = ⅔ http://rosihan.web.id

Keseimbangan pasar kasus dua macam barang Fungsi Barang X Barang Y Permintaan Qdx = 10 – 4 Px + 2 Py Qdy = 9 – 3 Py + 4 Px Penawaran Qsx = - 6 + 6 Px Qsy = - 3 + 7 Py Keseimbangan Pasar barang X: Qdx = Qsx 10 – 4 Px + 2 Py = - 6 + 6 Px  10 Px – 2 Py = 16  Py = 5 Px – 8 Keseimbangan Pasar barang Y: Qdy = = Qsy 9 – 3 Py + 4 Px = - 3 + 7 Py  4 Px – 10 Py = – 12  4 Px – 10 (5 Px – 8) = – 12  Px = 2; Py= 2. Qdx = Qsx = - 6 + 6 (2) = 6 Qdy = Qsy = -3 + 14 = 11 Keseimbangan Pasar: Barang x  Px = 2; Qdx = Qsx = 6 Barang y  Py = 2; Qdx = Qdy = 11 http://rosihan.web.id