GAS ELEKTRON BEBAS DALAM SATU DIMENSI Refka Mahera 10302249003

MATERI 6.1. elektron bebas dalam satu dimensi. 6.1.1.tingkat energi 6.1.2.distribusi Fermi-Dirac 6.1.3.energi Fermi 6.2. elektron bebas dalam tiga dimensi. 6.2.1.energi Fermi untuk tiga dimensi. 6.2.2.kecepatan Fermi 6.1.3.temperatur Fermi 6.1.4.kapasitas panas elektron bebas.

MODEL ELEKTRON BEBAS (Free Elektron Models) sebuah elektron yang bergerak di dalam kotak energi potensial satu dimensi yang biasa digambarkan oleh sebuah garis yang dibatasi oleh energi potensial penghalang yang tingginya tak-hingga, seperti ditunjukkan pada Gambar dibawah ini. Energi potensial di dalam kotak kita misalkan sama dengan nol, sehingga kita memiliki V(x) sebagai berikut: V(x) = 0 untuk 0 < x < L V(x) =∞ untuk 0 < x dan x > L

Kita tahu persamaan gelombang Schrodinger untuk fungsi Gelombang adalah. ................... ( 1 ) dimana energi potensial dari persamaan tersebut sama dengan 0 (nol), dan ………… (2) Solusi umum untuk persamaan (2 ) di atas memiliki bentuk: 𝜑(x) = A sin kx + B cos kx.

Agar 𝜑(x=0)= 𝜑 (L=x=0) = 0 maka… Agar 𝜑(x=0)= 𝜑 (L=x=0) = 0 maka…. 𝜑(0) = A sin k(0) + B cos k(0) = 0 𝜑(x) = A sin kx ……….(3) persamaan 3 disubtitusikan ke persamaan 2 maka diperoleh maka didapat persamaan

kita ingat lagi bahwa 𝜑(𝑥=0)= 𝜑 (L=𝑥=0) = 0 𝝋(𝑥 =L) A sin kL = 0 Berarti kL = n𝝅 atau k= 𝒏𝝅 𝑳 ……………. (5) Jika persamaan ke 4 dan 5 kita subsitusikan maka akan menjadi. ………. .(6) dari persamaan diatas (6) diats kita ketahui bahwa untuk *n = 1 maka L = 𝑙𝑎𝑚𝑑 2 *n =2 maka L = Lamda *n =3 maka L = 3 𝑙𝑎𝑚𝑑 2

Apabila jumlah bilangan kuantumnya kita tambah terus sampai n buah, maka energinya dapat digambarkan oleh persamaan : Dalam setiap tingkat energi (n), maka ditempati oleh 2 elektron dimana masing-masing elektron tersebut ada yang spin up dan spin down. Oleh karena itu apabila ada N buah elektron maka terdapat n = 𝑵 𝟐 tingkat energi, maka tingkat energi tertinggi yang ditempati elektron pada keadaan dasar (temperatur 𝑂 0 k) adalah energi Fermi.

DISTRIBUSI FERMI DIRACT Pengaruh suhu terhadap distribusi elektron ini diatur oleh fungsi distribusi yang dikemukakan oleh Fermi dan Dirac, sehingga fungsi distribusi ini sering disebut Fungsi Distribusi Fermi-Dirac. Fungsi ini secara matematik ditulis sebagai berikut: Dimana f(E) = peluang untuk menemukan elektron di tingkat energi E, kB = konstanta Boltzmann, T = suhu dalam satuan Kelvin, 𝜇 = energi potensial kimia dan nilainya bergantung pada suhu (atau merupakan fungsi suhu), dan E = energi dari suatu tingkat energi. Pada T = 0 0 K, 𝜇= Ef.

Pada keadaan dasar (T = 0 0 K) semua tingkat energi yang terletak di bawah energi Fermi dan energi Fermi itu sendiri akan diisi penuh oleh elektron. Artinya, pada keadaan dasar peluang untuk menemukan elektron di tingkat-tingkat energi tersebut adalah 1 atau 100 %. Sebaliknya tidak satu pun tingkat energi yang terletak di atas energi Fermi akan diisi elektron, sehingga peluang untuk menemukan elektron di tingkat energi yang lebih besar dari energi Fermi adalah 0 atau 0%. Apabila suhunya sedikit lebih besar dari 0 0 k sedemikian rupa sehingga E - 𝜇 > kBT maka beberapa elektron yang terletak sedikit di bawah energi Fermi akan memperoleh cukup energi untuk locat ke tingkat energi yang lebih tinggi dari energi Fermi, sehingga peluang untuk menemukan elektron di tingkat energi yang lebih tinggi dari energi Fermi itu tidak lagi 0.

Untuk T= 0 E < Ef maka f(E) = 1 E > Ef maka f(E) = 0 Untuk T > 0 Dari grafik diatas tingkat energi (E) makin tinggi maka peluang untuk tetap diam semakin kecil sehingga peluang untuk loncat akan semakin besar. Sehingga tingkat energi yang lebih tinggi dari Ef juga ada yang terisi (memiliki peluang)