PROGRAM LINEAR (Definisi, Metode Grafik, Metode Substitusi ) RATNI PURWASIH, M.PD.

Definisi Program Linear adalah metode optimasi untuk menemukan nlai optimum dari fungsi tujuan linear pada kondisi batas-batas tertentu.

Elemen Program Linear Variabel keputusan (decision variable): x1, x2, ..., xn Fungsi tujuan (objective function): Z= f(x1, x2, ..., xn) Pembatasan (constraints): gi(x1, x2, ..., xn) ≤ bi

Model Pemrograman Linear Model Pemrograman Linear Maksimum Tentukan variabel keputusan: x1, x2, ..., xn Sedemikian rupa sehingga (S.r.s) fungsi tujuan maksimum: Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn Dengan pembatasan-pembatasan (D.p): 𝑎 11 𝑥 1 + 𝑎 12 𝑥 2 +…+ 𝑎 1𝑛 𝑥 𝑛 ≤ 𝑏 1 𝑎 21 𝑥 1 + 𝑎 22 𝑥 2 +…+ 𝑎 2𝑛 𝑥 𝑛 ≤ 𝑏 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 𝑎 𝑚1 𝑥 1 + 𝑎 𝑚2 𝑥 2 +…+ 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 ≤ 𝑏 𝑚 Dimana 𝑥 1 , 𝑥 2 , …, 𝑥 𝑛 ≥0

Model Pemrograman Linear Minimum Tentukan variabel keputusan: x1, x2, ..., xn Sedemikian rupa sehingga (S.r.s) fungsi tujuan minimum: Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn Dengan pembatasan-pembatasan (D.p): 𝑎 11 𝑥 1 + 𝑎 12 𝑥 2 +…+ 𝑎 1𝑛 𝑥 𝑛 ≥ 𝑏 1 𝑎 21 𝑥 1 + 𝑎 22 𝑥 2 +…+ 𝑎 2𝑛 𝑥 𝑛 ≥ 𝑏 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 𝑎 𝑚1 𝑥 1 + 𝑎 𝑚2 𝑥 2 +…+ 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 ≥ 𝑏 𝑚 Dimana 𝑥 1 , 𝑥 2 , …, 𝑥 𝑛 ≥0

Solusi Persoalan Pemrograman Linear Metode Grafik, terdiri dari dua fase yaitu: Menentukan ruang/daerah penyelesaian (solusi) yang feasible. Menentukan solusi optimal dari semua titik di ruang /daerah feasible. Ada dua metode untuk mengidentifikasi solusi optimum yaitu: a. Metode Isoline b. Metode Titik Ekstrim

Perhatikan soal berikut ini : MODEL MATEMATIKA MEMBUAT MODEL MATEMATIKA Perhatikan soal berikut ini : Sebuah pesawat terbang mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 300 kursi ,terdiri atas kelas ekonomi dan VIP Penumpang kelas ekonomi boleh membawa bagasi 3 kg dan kelas VIP boleh membawa bagasi 5 kg sedangkan pesawat hanya mampu membawa bagasi 1200 kg, Tiket kelas ekonomi memberi laba Rp 100.000.00 dan kelas VIP Rp 200.000,00 Berapakah laba maksimum dari penjualan tiket pesawat tersebut ? 7

MODEL MATEMATIKA Pernyataan tersebut dapat dibuat tabel sebagai berikut: Banyak kelas Ekonomi (x1) Banyak kelas VIP (x2) maximum x1 x2 300 Tempat duduk Bagasi 3x1 5x2 1200 8

f: Z = x1 + 2x2 MODEL MATEMATIKA Pertidaksamaan (1) Pertidaksamaan (2) PERMASALAHAN TERSEBUT ADALAH f: Z = x1 + 2x2 Fungsi Tujuan Pertidaksamaan (1) Pertidaksamaan (2) Pertidaksamaan (3) Pertidaksamaan (4) 9

Menentukan DP dari Pertidaksamaan (1) x1 + x2 300 x2 300 DP x1 300 10

Menentukan DP dari Pertidaksamaan (2) x2 3x1 + 5x2 1200 240 DP x1 400 11

Menentukan DP dari Pertidaksamaan (1) dan (2) x2 x1 + x2 300 3x1 + 5x2 1200 300 240 (150, 150) DP x1 300 400 12

Menentukan DP dari Pertidaksamaan (1), (2), (3), & (4) x2 x1 + x2 300 3x1 + 5x2 1200 x1 0 x2 0 300 240 (150,150) DP x1 300 400 13

NILAI OPTIMUM MENCARI NILAI OPTIMASI DENGAN TITIK EKSTRIM x1 + x2 300 f: x1 + 2x2 A(0,240) 0+2.240=480 max D(300,0) 300+2.0=300 E(150,150) 150+2.150=450 Titik f : x + 2y A(0,240) E(150,150) DP x1 D(300,0) 14

MENCARI NILAI OPTIMASI DENGAN GARIS SELIDIK GARIS SELIDIK (ISOLINE) MENCARI NILAI OPTIMASI DENGAN GARIS SELIDIK x2 C(0,300) f : x1 + 2x2 A(0,240) A(0,240) E(150,150) DP x1 D(300,0) B(400,0) f : x1 + 2x2

Metode Substitusi Solusi pemrograman linear dapat dilakuakan dengan metode Substitusi dengan beberapa tahapan, yaitu: Mengubah ketidaksamaan pembatasan menjadi kesamaan pembatasan dengan cara menambahkan variabel slack (surplus) untuk persoalan maksimum (minimum). Tentukan seluruh pemecahan dasar dari persamaan pembatasan dan tentukan pemecahan yang memenuhi semua syarat pembatasan (solusi feasible). Tentukan salah satu dari solusi feasible tersebut yang memenuhi syarat fungsi tujuan atau solusi optimum.

Model Persoalan Pemrograman Linear Awal Persoalan Pemrograman Linear dimana pembatasannya masih dalam bentuk ketidaksamaan (≤𝑎𝑡𝑎𝑢 ≥ ). Tentukan : x1, x2, ..., xn S.r.s : Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn : Optimum D.p : 𝑎 11 𝑥 1 + 𝑎 12 𝑥 2 +…+ 𝑎 1𝑛 𝑥 𝑛 ≤ ≥ 𝑏 1 𝑎 21 𝑥 1 + 𝑎 22 𝑥 2 +…+ 𝑎 2𝑛 𝑥 𝑛 ≤ ≥ 𝑏 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 𝑎 𝑚1 𝑥 1 + 𝑎 𝑚2 𝑥 2 +…+ 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 ≤ ≥ 𝑏 𝑚 Dimana 𝑥 1 , 𝑥 2 , …, 𝑥 𝑛 ≥0

Model Persoalan Pemrograman Linear Standar Persoalan Pemrograman Linear dimana pembatasannya sudah dalam bentuk kesamaan (=). Tentukan : x1, x2, ..., xn, s1, s2, ..., sn S.r.s : Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn + 0s1 + 0s2 + ... + 0sn : Optimum D.p : 𝑎 11 𝑥 1 + 𝑎 12 𝑥 2 +…+ 𝑎 1𝑛 𝑥 𝑛 ±0 𝑠 1 = 𝑏 1 𝑎 21 𝑥 1 + 𝑎 22 𝑥 2 +…+ 𝑎 2𝑛 𝑥 𝑛 ±0 𝑠 2 = 𝑏 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 𝑎 𝑚1 𝑥 1 + 𝑎 𝑚2 𝑥 2 +…+ 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 ±0 𝑠 𝑛 = 𝑏 𝑚 Dimana 𝑥 1 , 𝑥 2 , …, 𝑥 𝑛 , 𝑠 1 , 𝑠 2 ,…, 𝑠 𝑛 ≥0

Contoh Metode Substitusi: Tentukan solusi dari persoalan pemrograman linear berikut: Cari x1 dan x2 S.r.s: Z = 8x1 + 6x2 (maksimum) D.p: 4x1 + 2x2 ≤ 60 2x1 + 4x2 ≤ 48 x1, x2 ≥ 0 Solusi: Transformasi persoalan pemrograman linear ke dalam bentuk standar: Cari x1, x2, s1 dan s2 S.r.s: Z = 8x1 + 6x2 + 0s1 + 0s2(maksimum) D.p: 4x1 + 2x2 + s1 = 60 2x1 + 4x2+ s2 = 48 x1, x2, s1,s2 ≥ 0 Mencari Solusi feasible : a). 𝑥 1 =0 𝑑𝑎𝑛 𝑥 2 =0 4 𝑥 1 +2 𝑥 2 + 𝑠 1 =60→ 𝑠 1 =60 2 𝑥 1 +4 𝑥 2 + 𝑠 2 =48→ 𝑠 2 =48≫𝑍=8 𝑥 1 +6 𝑥 2 +0 𝑠 1 +0 𝑠 2 =0

b). 𝑥 1 =0 𝑑𝑎𝑛 𝑠 1 =0 4 𝑥 1 +2 𝑥 2 + 𝑠 1 =60→ 2𝑥 2 =60 → 𝑥 2 =30 2 𝑥 1 +4 𝑥 2 + 𝑠 2 =48→ 4 𝑥 2 +𝑠 2 =48→ 𝑠 2 =−72 Karena 𝑠 2 negatif , tidak feasible sehingga Z tidak dihitung. c). 𝑥 1 =0 𝑑𝑎𝑛 𝑠 2 =0 4 𝑥 1 +2 𝑥 2 + 𝑠 1 =60→ 2 𝑥 2 +𝑠 1 =60→ 𝑠 1 =36 2 𝑥 1 +4 𝑥 2 + 𝑠 2 =48→ 4𝑥 2 =48→ 𝑥 2 =12 ≫𝑍=8 𝑥 1 +6 𝑥 2 +0 𝑠 1 +0 𝑠 2 =0 ≫𝑍=8 0 +6 12 +0 36 +0 0 =72 d). 𝑥 2 =0 𝑑𝑎𝑛 𝑠 1 =0 4 𝑥 1 +2 𝑥 2 + 𝑠 1 =60→4 𝑥 1 =60→ 𝑥 1 =15 2 𝑥 1 +4 𝑥 2 + 𝑠 2 =48→ 2𝑥 1 + 𝑠 2 =48→ 𝑠 2 =18 ≫𝑍=8 15 +6 0 +0 0 +0 18 =120

e). 𝑥 2 =0 𝑑𝑎𝑛 𝑠 2 =0 4 𝑥 1 +2 𝑥 2 + 𝑠 1 =60→ 4𝑥 1 + 𝑠 1 =60 → 𝑠 1 =−36 2 𝑥 1 +4 𝑥 2 + 𝑠 2 =48→2 𝑥 1 =48→ 𝑥 1 =24 Karena 𝑠 1 negatif , tidak feasible sehingga Z tidak dihitung. f). 𝑠 1 =0 𝑑𝑎𝑛 𝑠 2 =0 4 𝑥 1 +2 𝑥 2 + 𝑠 1 =60→ 4𝑥 1 +2 𝑥 2 =60→ 𝑥 2 =30−2 𝑥 1 =30−2 12 =6 2 𝑥 1 +4 𝑥 2 + 𝑠 2 =48→ 2𝑥 1 +4 𝑥 2 =48→2 𝑥 1 +4 30−2 𝑥 1 =48 2 𝑥 1 +120−8 𝑥 1 =48→−6 𝑥 1 =−72→ 𝑥 1 =12 ≫𝑍=8 𝑥 1 +6 𝑥 2 +0 𝑠 1 +0 𝑠 2 =0 ≫𝑍=8 12 +6 6 +0 0 +0 0 =132 Jadi, solusi optimum terjadi pada 𝑥 1 =12 𝑑𝑎𝑛 𝑥 2 =6 dengan Z = 132.

LATIHAN Seorang pembuat kue mempunyai 8 kg tepung dan 2 kg gula pasir. Ia ingin membuat dua macam kue yaitu kue dadar dan kue apem. Untuk membuat kue dadar dibutuhkan 10 gram gula pasir dan 20 gram tepung sedangkan untuk membuat sebuah kue apem dibutuhkan 5 gram gula pasir dan 50 gram tepung. Jika kue dadar dijual dengan harga Rp 300,00/buah dan kue apem dijual dengan harga Rp 500,00/buah, tentukanlah pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut. Seorang pedagang furnitur ingin mengirim barang dagangannya yang terdiri atas 1.200 kursi dan 400 meja. Untuk keperluan tersebut, ia akan menyewa truk dan colt. Truk dapat memuat 30 kursi lipat dan 20 meja lipat, sedangkan colt dapat memuat 40 kursi lipat dan 10 meja lipat. Ongkos sewa sebuah truk Rp 200.000,00 sedangkan ongkos sewa sebuah colt Rp 160.000,00. Tentukan jumlah truk dan colt yang harus disewa agar ongkos pengiriman minimum. Sumber: http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2014/10/contoh-soal-cerita-program-linear-dan-pembahasan.html Content is Courtesy of bahanbelajarsekolah.blogspot.com

SELESAI DAN TERIMA KASIH